中華計(jì)算中的數(shù)學(xué)文化

童廣鵬

(河南省民權(quán)縣高級中學(xué) 476800)

中華民族在計(jì)算機(jī)未發(fā)明之前，諦造出諸多計(jì)算方法與工具，尤其是大衍無限的洛書、卓著非凡的籌算、玄奧神妙的筆算、博大精深的寫算等，對推進(jìn)國際計(jì)算發(fā)展影響深遠(yuǎn)．下面結(jié)合數(shù)學(xué)文化題舉例淺析之．

1 古今大衍乃洛書

圖1

例1我國的《洛書》中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：將1,2,…,9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列、對角線的三個(gè)數(shù)之和都等于15，如圖1所示．

一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,…,n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和相等，這個(gè)正方形叫做n階幻方．記n階幻方的數(shù)的和即方格內(nèi)的所有數(shù)的和為Sn，如圖三階幻方記為S3=45，那么S9=( )．

A．3 321 B．361 C．99 D．33

命題背景作為華夏文化源頭的《洛書》是中國古代人民在實(shí)踐中運(yùn)用古代數(shù)學(xué)、天文歷法、陰陽五行來探索宇宙淵源和矩矱的智慧結(jié)晶，可謂是我國宇宙結(jié)構(gòu)模型的鼻祖，在天人合一的文化范疇及履踐中震古爍今、彪炳千古，應(yīng)運(yùn)而起的傳統(tǒng)美學(xué)格致的作用更為深遠(yuǎn)．洛書中呈現(xiàn)的數(shù)的組合構(gòu)成了正自然數(shù)范圍內(nèi)“滿十進(jìn)一”的十進(jìn)制計(jì)數(shù)法規(guī)則的全集，為突顯其卓著成效和萌芽時(shí)間進(jìn)而稱為加法進(jìn)位規(guī)則集，研究此數(shù)理意義正是不同術(shù)數(shù)模型最精華、最深度的應(yīng)用規(guī)則部分，充分彰顯了洛書的內(nèi)涵．洛書進(jìn)位規(guī)則是處理兩數(shù)相加有進(jìn)位時(shí)的位間關(guān)系的，對應(yīng)于珠算中用口訣“一上一、二上二……九上九”來處理，這是河圖對應(yīng)的術(shù)數(shù)方式，標(biāo)志著加法的產(chǎn)生，加法相對于術(shù)數(shù)在便捷性、運(yùn)算速度及記數(shù)范圍上都有質(zhì)的飛躍，洛書確是具有“大衍”功能的“大衍之?dāng)?shù)”．

2 問君能有幾多“籌”

例2《孫子算經(jīng)》中對算籌計(jì)數(shù)法的描述是“凡算之法，先識(shí)其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)……”，說明計(jì)數(shù)有縱、橫兩種形式，計(jì)數(shù)時(shí)為避免混淆將縱、橫交錯(cuò)放置，以空位表示零.這是世界上最早的十進(jìn)位值制計(jì)數(shù)體系，對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展有劃時(shí)代意義．圖2為縱式計(jì)數(shù)形式，一豎表示1個(gè)單位，一橫表示5個(gè)單位，例如三豎一橫表示8．

圖2

A．1 B．2 C．3 D．4

解析 正整數(shù)1～9中能構(gòu)成等比數(shù)列的三個(gè)數(shù)一共有四組，分別是1，2，4；2，4，8；1，3，9；4，6，9．其中6，8，9的縱式計(jì)數(shù)形式中各有一橫且9出現(xiàn)兩次，共計(jì)4橫．故選D．

命題背景古代用算籌來進(jìn)行計(jì)數(shù)和計(jì)算，以縱橫兩種排列方式來表示單位數(shù)目的算籌，其中1～5分別以縱橫方式排列相應(yīng)數(shù)目的算籌來表示，6～9則以上面的算籌再加下面相應(yīng)的算籌來表示．表示多位數(shù)時(shí)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空．纖細(xì)、輕巧的算籌完成的運(yùn)算龐大、繁復(fù)，不僅能計(jì)數(shù)，而且能計(jì)算;它能完成四則運(yùn)算和開方，還能做特定的演算．由此，方能“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”．

3 指尖珠算嘖盛贊

例3算盤是中國發(fā)明的一種手動(dòng)操作計(jì)算輔助工具，迄今已有二千六百多年的歷史．珠算被譽(yù)為中國的第五大發(fā)明，最早見于漢朝徐岳撰寫的《數(shù)術(shù)記遺》，2013年聯(lián)合國教科文組織正式將中國珠算項(xiàng)目列入教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．如圖3，我國傳統(tǒng)算盤每一檔為兩粒上珠、五粒下珠，也稱為“七珠算盤”.未記數(shù)(或表示零)時(shí)，每檔的各珠位置均與圖中最左檔一樣；記數(shù)時(shí)，要撥珠靠梁，一個(gè)上珠表示“5”，一個(gè)下珠表示“1”.現(xiàn)有一種算盤(圖3(1))共兩檔，自右向左分別表示個(gè)位和十位．檔中橫以梁，梁上一珠，撥下記作數(shù)字5，梁下四珠，上撥每珠記作數(shù)字1．現(xiàn)拔動(dòng)算盤中兩枚算珠，如圖3(2)則表示51，如圖3(3)則表示20．如果撥動(dòng)圖3(1)算盤中的三枚算珠，表示的整數(shù)超過24的概率為( )．

圖3

解析 撥動(dòng)三枚算珠，有如下12種可能：

若3枚算珠都在個(gè)位，則共有2種情況，分別是3和7；

當(dāng)十位選梁下1枚算珠，個(gè)位2枚算珠時(shí)，共有2種情況，分別是12和16；

當(dāng)十位選梁下2枚算珠，個(gè)位1枚算珠時(shí)，共有2種情況，分別是21和25；

當(dāng)十位選梁上1枚算珠，個(gè)位2枚算珠時(shí)，共有2個(gè)整數(shù)，分別是52和56；

當(dāng)十位選梁上1枚、梁下1枚算珠，個(gè)位1枚算珠時(shí)，共有2種情況，分別是61和65；

當(dāng)十位選3枚算珠時(shí)，共有2種情況，分別是30和70.

命題背景被稱為中國“第五大發(fā)明”的珠算是人類計(jì)算史上一顆永放光芒的明珠，為人類的進(jìn)步和發(fā)展做出了巨大的、不可替代的偉大貢獻(xiàn)．從歷史上看，珠算是從籌算演變來的，籌算的數(shù)字表示方法也是在十進(jìn)制中間加入一個(gè)單位5，作為表示數(shù)的一種方法．方方正正的算盤，噼噼啪啪的撥珠，穩(wěn)穩(wěn)當(dāng)當(dāng)?shù)墓π?，卻造就了不同凡響的數(shù)學(xué)技藝．

4 格子乘法看寫算

圖4

例4寫算，是一種格子乘法，也是筆算乘法的一種，用以區(qū)別籌算與珠算，它由明代數(shù)學(xué)家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出，是從天元式的乘法演變而來的．例如計(jì)算89×61，將被乘數(shù)89計(jì)入上行，乘數(shù)61計(jì)入右行，然后以乘數(shù)61的每位數(shù)字乘被乘數(shù)89的每位數(shù)字，將結(jié)果計(jì)入相應(yīng)的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來，滿十向上斜行進(jìn)一，如圖4，即得5 429．類比此法畫出354×472的表格，若從表內(nèi)的18個(gè)數(shù)字(含相同的數(shù)字，表周邊數(shù)據(jù)不算在內(nèi))中任取1個(gè)數(shù)字，則這個(gè)數(shù)大于5的概率為( )．

圖5

命題背景寫算為中國古算名．“寫算”分“寫乘”與“寫除”兩種．寫乘，計(jì)算完成后猶如鋪好的地板，所以程大位稱“鋪地錦”，系一種格子乘法．中國的“寫乘”似從天元式的乘法演變而來，“寫除”是程大位改進(jìn)吳敬的“河圖算法”而得來的．

上述幾例闡釋了洛書、算籌、算盤、寫算等中華計(jì)算在古今世界科技文化征程中留下的不可磨滅的光輝印記，期待中華計(jì)算這顆明珠在數(shù)學(xué)發(fā)展史里永放光芒．