伺服機(jī)構(gòu)故障下運(yùn)載火箭自適應(yīng)重構(gòu)方法

胡存明，張衛(wèi)東，張?zhí)以?，張曉東，王鵬

（1.上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109；2.上海航天技術(shù)研究院，上海 201109）

0 引言

新一代捆綁運(yùn)載火箭采用模塊化設(shè)計(jì)，其芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)和助推發(fā)動(dòng)機(jī)一起參與姿態(tài)控制［1-2］，以提高控制能力，但這也導(dǎo)致伺服機(jī)構(gòu)數(shù)量增加、故障概率增大。為了保證運(yùn)載火箭安全可靠飛行，進(jìn)一步提高故障情況下的適應(yīng)能力，亟需開展針對(duì)伺服機(jī)構(gòu)故障的高可靠冗余重構(gòu)控制方法研究［3］?？刂浦貥?gòu)方法是伺服機(jī)構(gòu)故障重構(gòu)控制的關(guān)鍵點(diǎn)。常見的重構(gòu)方法可歸納為非優(yōu)化分配方法和優(yōu)化分配方法。非優(yōu)化分配方法主要包括：按比例系數(shù)分配、按指令需求分配、鏈?zhǔn)竭f增法分配［4-5］等。優(yōu)化分配方法主要包括，偽逆法［6-8］、線性規(guī)劃法［9-11］以及二次規(guī)劃法［12］等。

目前，重構(gòu)飛行控制主要以飛機(jī)為研究對(duì)象［13-14］，運(yùn)載火箭重構(gòu)控制研究剛剛起步。馮昊等［15］采用離線控制策略，基于控制力矩不變?cè)瓌t對(duì)運(yùn)載火箭伺服機(jī)構(gòu)卡死故障進(jìn)行了重構(gòu)，離線控制策略需要裝訂大量數(shù)據(jù)，適應(yīng)性較差。BODSON［16］提出了迭代偽逆法，但當(dāng)期望目標(biāo)不可達(dá)時(shí)易引起較大平均誤差，不適于在線控制分配。程堂明等［17］將伺服機(jī)構(gòu)故障下的擺角分配問(wèn)題轉(zhuǎn)化為1 范數(shù)單目標(biāo)約束優(yōu)化問(wèn)題，采用線性規(guī)劃方法實(shí)現(xiàn)姿控重構(gòu)。PETERSON等［18］認(rèn)為針對(duì)考慮約束的二次規(guī)劃最優(yōu)求解，收斂速率慢，不適用于實(shí)時(shí)控制。黃盤興等［19］針對(duì)重型運(yùn)載火箭，考慮位置飽和約束限制，提出了一種偽逆法和不動(dòng)點(diǎn)法相結(jié)合的混合優(yōu)化控制策略。

本文針對(duì)運(yùn)載火箭伺服機(jī)構(gòu)故障帶來(lái)的控制重構(gòu)問(wèn)題，提出一種計(jì)算效率高、誤差小的自適應(yīng)重構(gòu)方法，給出完整推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)了數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證。

1 捆綁火箭動(dòng)力學(xué)模型

以某捆綁運(yùn)載火箭為研究對(duì)象，該火箭配置4 臺(tái)助推器，各助推器配置單臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，芯級(jí)配置1 臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)，芯級(jí)與助推發(fā)動(dòng)機(jī)推力和最大擺角均相同。發(fā)動(dòng)機(jī)和伺服機(jī)構(gòu)布局示意如圖1 所示。

圖1 某捆綁火箭發(fā)動(dòng)機(jī)和伺服機(jī)構(gòu)布局示意Fig.1 Layout of the engines and servo mechanisms of a launch vehicle

為考核伺服機(jī)構(gòu)故障對(duì)姿態(tài)控制系統(tǒng)影響，需將伺服機(jī)構(gòu)加入閉環(huán)控制，建立伺服機(jī)構(gòu)與等效擺角關(guān)系。完整的閉環(huán)控制流程框如圖2 所示。

圖2 運(yùn)載火箭控制分配及合成控制流程框Fig.2 Flow chart of the control allocation and synthesis of a launch vehicle

基于發(fā)動(dòng)機(jī)和伺服機(jī)構(gòu)布局，建立考慮發(fā)動(dòng)機(jī)振動(dòng)方程的箭體動(dòng)力學(xué)模型，在此只描述伺服故障重構(gòu)所用模型。

式中：φ、ψ、γ分別為俯仰、偏航、滾動(dòng)姿態(tài)角偏差；ωz、ωy、ωx分別為俯仰、偏航、滾動(dòng)角速率；θ、σ分別為彈道傾角、彈道偏角；δφ、δψ、δγ分別為三通道發(fā)動(dòng)機(jī)合成等效擺角；δφ_SF、δψ_SF、δγ_SF分別為三通道伺服合成等效擺角；Ωpj、ζpj分別為晃動(dòng)頻率和阻尼比；ypj、Zpj分別為貯箱等效晃動(dòng)質(zhì)量位移；ωi、ξi、qi分別為火箭第i階空間模態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率、阻尼比和廣義坐標(biāo)；ωR、ξR分別為發(fā)動(dòng)機(jī)頻率和阻尼比；分別為剛體運(yùn)動(dòng)方程系數(shù)。未說(shuō)明的模型符號(hào)的含義參見文獻(xiàn)［20］。

針對(duì)上述動(dòng)力學(xué)模型，定義狀態(tài)量x和控制輸入u，建立其狀態(tài)空間模型。

2 控制重構(gòu)方法研究

基于運(yùn)載火箭姿態(tài)控制模型，開展針對(duì)伺服機(jī)構(gòu)故障控制中重構(gòu)方法的研究。系統(tǒng)可控性要求故障后系統(tǒng)對(duì)箭體仍具有一定的控制能力，完成規(guī)定任務(wù)?？刂浦貥?gòu)方法中使用到的優(yōu)化算法主要包括偽逆法、線性規(guī)劃法、混合優(yōu)化法。

2.1 基于SVD 改進(jìn)的控制重構(gòu)方法

假設(shè)rank(B)=r，控制分配模型為f(u)=Bu=Pδ=δf，定義擺角δ和矩陣系數(shù)P，控制矩陣B的奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）為

式中：U=(Ur Um-r)；V=(Vr Vn-r)；Σr為單位陣。

建立目標(biāo)函數(shù)：

得到：

求取其無(wú)窮范數(shù)，可得：

可得到最終的操縱輸入：

式中：ρ為比例縮放因子。

可以看出ud無(wú)窮范數(shù)的最小化保證了ρ的最大化，使得式（6）中：

為滿足約束的共線最優(yōu)解，等價(jià)于線性規(guī)劃解。由于最小化無(wú)窮范數(shù)在實(shí)際情況中不便于使用，需近似處理。注意到：

又因?yàn)?/p>

因此當(dāng)n較小時(shí)，可用‖ur‖∞來(lái)近似最小化無(wú)窮范數(shù)，近似誤差隨n減小而減小。又

在火箭的控制重構(gòu)中，一般有n?m，假設(shè)r=m，此時(shí)：

就是無(wú)約束偽逆法的最優(yōu)解。最終輸入為

2.2 方法對(duì)比分析

針對(duì)自變量帶約束的f(u)=Pδ問(wèn)題，當(dāng)Pδ1在可行集時(shí)，能找到u1滿足f(u1)=Pδ1，當(dāng)Pδ2在非可行集時(shí)，只能通過(guò)優(yōu)化算法求解。以自變量約束在自由度xn，xn+1上形成的可行集邊界為例，3 種常用優(yōu)化算法差異對(duì)比如圖3 所示。

圖3 控制重構(gòu)優(yōu)化算法對(duì)比Fig.3 Comparison of several control reconfiguration optimization algorithms

偽逆法極小化輸入范數(shù)，但是不能充分考慮輸入約束，常用的對(duì)輸入直接截?cái)喾椒m然高效，但是會(huì)造成部分通道喪失控制能力。帶截?cái)嗟膫文娣ㄔ趫D3 中的優(yōu)化結(jié)果為f(u11)到f(u12)的扇形區(qū)域，最終的值取決于xn，xn+1對(duì)截?cái)噍斎氲囊蕾嚦潭取?/p>

線性規(guī)劃法在Pδ2矢量方向?qū)ふ艺`差范數(shù)最小的解，最優(yōu)解為目標(biāo)矢量方向與對(duì)應(yīng)可行集邊界的交點(diǎn)，如圖3 所示。因?yàn)榫€性規(guī)劃法保證了優(yōu)化結(jié)果與目標(biāo)矢量方向相同，適用于產(chǎn)生目標(biāo)力和目標(biāo)力矩的應(yīng)用場(chǎng)合。

混合優(yōu)化法綜合考慮了輸入需求和輸出誤差范數(shù)。通過(guò)加權(quán)值改變輸入代價(jià)和輸出誤差代價(jià)的權(quán)重，其可退化為偽逆法和誤差最小法。誤差最小法的優(yōu)化目標(biāo)為誤差范數(shù)最小，最優(yōu)解為目標(biāo)矢量與可行集邊界最近的點(diǎn)，即Pδ2在邊界的垂線交點(diǎn)f(u3)。誤差最小法適用于距離誤差需求優(yōu)于方向誤差的應(yīng)用場(chǎng)合。

偽逆法便于實(shí)現(xiàn)，復(fù)雜計(jì)算可離線實(shí)現(xiàn)，但會(huì)造成控制耦合問(wèn)題；而線性規(guī)劃法雖然優(yōu)化輸出始終保持與目標(biāo)等效擺角矢量共線，但需要實(shí)時(shí)進(jìn)行在線線性規(guī)劃求解，對(duì)系統(tǒng)計(jì)算能力要求較高，且輸入易飽和；混合優(yōu)化法存在收斂問(wèn)題和控制耦合問(wèn)題。本文針對(duì)現(xiàn)有方法存在的缺點(diǎn)，提出了一種基于SVD 改進(jìn)的控制重構(gòu)方法。

基于SVD 的改進(jìn)算法優(yōu)化目標(biāo)與線性規(guī)劃法相同，在輸入無(wú)約束情況下計(jì)算輸入解集，通過(guò)最小化解集元素的無(wú)窮范數(shù)得到初始解，初始解是最有可能滿足輸入約束的解。若初始解u*滿足輸入約束，則直接得到最終輸入為u*；否則，通過(guò)比例縮放因子ρ，使得輸入u4=ρu*滿足約束邊界條件，同時(shí)由于：

保證了u4為滿足共線輸出特性的最優(yōu)解，等價(jià)于線性規(guī)劃解。改進(jìn)方法與線性規(guī)劃法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如圖4 所示。

圖4 中：f(u42)=f(u2)為線性規(guī)劃算法得到的最優(yōu)解，也是改進(jìn)方法得到次優(yōu)解的上邊界，f(u41)=為改進(jìn)方法得到次優(yōu)解的下邊界，出現(xiàn)下邊界的必要條件為

圖4 基于SVD 改進(jìn)的控制重構(gòu)算法優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Optimization results of the improved control reconstruction algorithms based on SVD

即當(dāng)所有的操縱量相同時(shí)才有可能出現(xiàn)，而在實(shí)際情況中優(yōu)化得到的操縱量通常集中在幾個(gè)伺服機(jī)構(gòu)。

3 仿真與分析

3.1 性能對(duì)比分析

基于偽逆法、線性規(guī)劃法、混合優(yōu)化方法以及改進(jìn)方法的理論分析，以伺服機(jī)構(gòu)故障為例對(duì)各優(yōu)化算法進(jìn)行性能仿真對(duì)比分析，仿真中用到的評(píng)價(jià)因素主要包括計(jì)算效率、等效擺角誤差、操縱能量消耗、等效擺角矢量夾角。

假設(shè)δdx=[δφ_SFδψ_SFδγ_SF]T中δψ_SF=5°、δγ_SF=5°，δφ_SF在0.1°～40°范圍內(nèi)變化，各伺服最大擺角限幅取5°，模擬SF21、SF41 機(jī)構(gòu)失效。對(duì)以上算法進(jìn)行仿真得到的結(jié)果如圖5 所示。

圖5 優(yōu)化算法性能評(píng)估對(duì)比曲線Fig.5 Comparison curves for performance evaluation of optimization algorithms

續(xù)圖5 優(yōu)化算法性能評(píng)估對(duì)比曲線ContinuedFig.5 Comparison curves for performance evaluation of optimization algorithms

首先，基于SVD 改進(jìn)算法首先通過(guò)解除約束條件，SVD 得到滿足分配方程所有解組成的可行解集，該解集可精確產(chǎn)生目標(biāo)等效擺角；其次，通過(guò)縮放調(diào)整可行解集，使得新可行解集包含在約束邊界形成的超平面內(nèi)；然后，通過(guò)最小化可行解的無(wú)窮范數(shù)來(lái)最大化縮放因子得到滿足共線特性的最優(yōu)操縱輸入，等價(jià)于線性規(guī)劃解；最后，通過(guò)對(duì)最小化無(wú)窮范數(shù)的估計(jì)提高計(jì)算效率。

從圖5（a）計(jì)算時(shí)間仿真對(duì)比可知，因改進(jìn)方法使用范數(shù)估計(jì)，取消了迭代過(guò)程，顯著提高了計(jì)算效率，使得改進(jìn)方法和偽逆法具備最高的計(jì)算效率。而線性規(guī)劃法需要迭代求解，導(dǎo)致計(jì)算時(shí)間增加?；旌蟽?yōu)化法計(jì)算時(shí)間與迭代步數(shù)直接相關(guān)，過(guò)高的迭代步數(shù)顯著增加計(jì)算時(shí)間，而過(guò)低的迭代步數(shù)影響混合優(yōu)化算法收斂效果。圖5（b）等效擺角幅值仿真對(duì)比曲線表明，基于SVD 改進(jìn)方法相比線性規(guī)劃和偽逆法具有稍大的幅值誤差。改進(jìn)方法針對(duì)所有可行解集選取具備共線特性的最優(yōu)解，在不使用范數(shù)估計(jì)時(shí)，理論上改進(jìn)方法將獲得與線性規(guī)劃相同的解。范數(shù)估計(jì)在提高計(jì)算效率的同時(shí)，引入了估計(jì)誤差。

圖5（c）操縱輸入對(duì)比可知改進(jìn)方法具有較小的操縱輸入。因線性規(guī)劃法迭代過(guò)程容易使操縱輸入陷入約束邊界，易使伺服機(jī)構(gòu)動(dòng)作過(guò)大進(jìn)入飽和狀態(tài)?；旌蟽?yōu)化法通過(guò)加權(quán)值綜合考慮了等效擺角誤差和操縱能量消耗，使得操縱能量消耗相對(duì)較小。相比偽逆法，改進(jìn)方法使用了縮放因子，因此，操縱輸入相對(duì)較小。圖5（d）矢量夾角仿真結(jié)果表明，改進(jìn)方法和線性規(guī)劃法由于具備輸出共線特性，與目標(biāo)等效擺角矢量不存在方向誤差，而混合優(yōu)化法和偽逆法方向誤差隨目標(biāo)等效擺角增加而增大。

定義控制重構(gòu)相對(duì)誤差：

經(jīng)推導(dǎo)，理論誤差上邊界為

仿真算例實(shí)際誤差、理論誤差上邊界繪制如圖6 所示。由于實(shí)際操縱量集中在幾個(gè)通道，因此范數(shù)估計(jì)引入的理論誤差上邊界與理論邊界相差較遠(yuǎn)，實(shí)際誤差近似上邊界更接近算例中仿真實(shí)際誤差。各伺服機(jī)構(gòu)擺角控制曲線如圖7、圖8 所示。

圖6 范數(shù)估計(jì)引入的相對(duì)誤差Fig.6 Relative error introduced by norm estimation

圖7 俯仰方向伺服機(jī)構(gòu)擺角控制曲線（SVD 改進(jìn)方法）Fig.7 Swing angle curves of pitch servomechanism（improved method based on SVD）

圖8 偏航方向伺服機(jī)構(gòu)擺角控制曲線（SVD 改進(jìn)方法）Fig.8 Swing angle curve of yaw servomechanism（improved method based on SVD）

對(duì)比分析仿真性能，充分表明了改進(jìn)方法具有操縱能量消耗相對(duì)較小的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)結(jié)合了偽逆法計(jì)算高效、線性規(guī)劃法輸出共線的特點(diǎn)。改進(jìn)方法的優(yōu)勢(shì)為：便于實(shí)現(xiàn)，控制不耦合，可實(shí)時(shí)計(jì)算，伺服機(jī)構(gòu)能量消耗小等，而增加的相對(duì)較小的等效擺角誤差可通過(guò)適當(dāng)增加控制時(shí)長(zhǎng)等方法彌補(bǔ)。

3.2 數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證

為考核基于SVD 的改進(jìn)方法在運(yùn)載火箭伺服機(jī)構(gòu)故障重構(gòu)控制中應(yīng)用的可行性和有效性，需基于運(yùn)載火箭帶控制分配及合成閉環(huán)控制模型開展數(shù)字仿真驗(yàn)證。仿真算例條件為：起飛后30 s，助推器Ⅰ的SF21 卡死在5°，起飛后50 s，助推器Ⅲ的SF41 也卡死在-5°。仿真結(jié)果對(duì)比如圖9～圖14 所示。由圖可知：SF21 在30 s 出現(xiàn)卡死故障后，如果不采取重構(gòu)措施，在30～50 s，依靠箭體自身的魯棒性，剩余正常伺服機(jī)構(gòu)擺角增大，姿態(tài)角偏差振蕩后收斂；但當(dāng)SF41 在50 s 也發(fā)生故障后，伺服控制擺角限幅，姿態(tài)快速發(fā)散，而采用改進(jìn)方法進(jìn)行在線分配，可以實(shí)現(xiàn)伺服故障下控制力矩快速在線重構(gòu)。同時(shí)，將故障伺服機(jī)構(gòu)卡死擺角引入前饋控制，可實(shí)現(xiàn)姿態(tài)角偏差與正常狀態(tài)一致，系統(tǒng)穩(wěn)定，證明了該方法的可行性和有效性。

圖9 俯仰姿態(tài)角偏差曲線對(duì)比Fig.9 Comparison of the deviation curves of the pitch attitude angle

圖10 滾動(dòng)姿態(tài)角偏差曲線對(duì)比Fig.10 Comparison of the deviation curves of the roll attitude angle

圖11 伺服機(jī)構(gòu)SF21 擺角曲線對(duì)比Fig.11 Comparison of the swing angle curves of servomechanism SF21

圖12 助推伺服機(jī)構(gòu)SF41 擺角曲線對(duì)比Fig.12 Comparison of the swing angle curves of booster servomechanism SF41

圖13 芯級(jí)伺服機(jī)構(gòu)SF11 擺角曲線對(duì)比Fig.13 Comparison of the swing angle curves of corestage servomechanism SF11

圖14 助推伺服機(jī)構(gòu)SF31 擺角曲線對(duì)比Fig.14 Comparison of the swing angle curves of booster servomechanism SF31

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)捆綁運(yùn)載火箭飛行中伺服故障下控制重構(gòu)問(wèn)題，完成了對(duì)偽逆法、線性規(guī)劃法、混合優(yōu)化法3 種常用優(yōu)化算法的分析和評(píng)估，并針對(duì)現(xiàn)有算法存在的缺點(diǎn)，提出了基于SVD 改進(jìn)的控制重構(gòu)方法。理論分析和性能仿真對(duì)比都充分表明該方法兼顧了偽逆法的計(jì)算高效、線性規(guī)劃法的輸出共線等優(yōu)點(diǎn)，對(duì)不同構(gòu)型火箭都有較高的拓展應(yīng)用價(jià)值。通過(guò)開展運(yùn)載火箭伺服機(jī)構(gòu)故障重構(gòu)控制的數(shù)值仿真，驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，證明可滿足工程應(yīng)用條件。