新時(shí)代、新工科、新文科背景下的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教學(xué)

尹海燕，崔海波

（華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021）

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”是一門有重要應(yīng)用價(jià)值的數(shù)學(xué)課程，是經(jīng)濟(jì)、生物和管理等眾多理工科專業(yè)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，對于培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)事件應(yīng)對能力、理性處理事件的能力、數(shù)據(jù)分析處理與建模能力，以及提高學(xué)生的綜合素質(zhì)及思想政治水平等方面起著十分重要的作用。高校各專業(yè)都開設(shè)了這門課程，甚至在中學(xué)教學(xué)中也涉及概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識。傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，如啟發(fā)式、歸納類比式等教學(xué)模式，雖然能夠使學(xué)生掌握一些數(shù)學(xué)概念、公式和方法，但已遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能跟上新時(shí)代、新工科和新文科的步伐，也不能滿足學(xué)生未來的學(xué)習(xí)需要，不能更好地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和解決問題能力。因此，在新時(shí)代、新工科和新文科背景下，課堂教學(xué)模式的改革是必然的，教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念和方法十分必要。教師需設(shè)計(jì)新的教學(xué)模式以適應(yīng)當(dāng)前和未來的教育，在實(shí)踐中創(chuàng)新教學(xué)方法、豐富課程內(nèi)涵、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)、改進(jìn)課堂管理，在教學(xué)中結(jié)合學(xué)生的專業(yè)知識，準(zhǔn)確地把握這門課程與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的結(jié)合點(diǎn)，不斷地滲透該課程的思想方法，突出其應(yīng)用性，不斷增加并調(diào)整教學(xué)實(shí)例，將理論與實(shí)際問題相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)的知識解決具體實(shí)際問題的能力，提高教學(xué)效率，從而讓學(xué)生從學(xué)習(xí)中獲得樂趣。本文結(jié)合“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程，討論翻轉(zhuǎn)課堂、數(shù)學(xué)建模和課程思政在該課程教學(xué)中的應(yīng)用。

一、翻轉(zhuǎn)課堂（顛倒課堂）在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)中的應(yīng)用

在傳統(tǒng)的教學(xué)模式中，由于該課程概念抽象且定義、公式和例子等知識點(diǎn)繁多、專業(yè)性強(qiáng)，所以采用傳統(tǒng)的課程教學(xué)［1］，學(xué)生易產(chǎn)生枯燥感，失去主動學(xué)習(xí)和思考的能力及動力。特別是學(xué)生的自主思考能力完全受到限制，幾乎沒有興趣更沒有時(shí)間自我審視學(xué)習(xí)內(nèi)容，從而學(xué)習(xí)比較盲目，缺乏主動性，方法單一。在新時(shí)代背景下，網(wǎng)絡(luò)平臺上的教學(xué)資源非常豐富，為教師、學(xué)生提供了各種方便。通過網(wǎng)絡(luò)，學(xué)生可以輕松、方便地獲取學(xué)習(xí)資源，教師分析和了解學(xué)生的學(xué)習(xí)行為也更加方便。翻轉(zhuǎn)課堂是新時(shí)代的產(chǎn)物，顛覆了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，改變了以教師為中心“滿堂灌”的方式，為新時(shí)代教學(xué)提供了一種發(fā)展思路，為學(xué)生提供了自我審視的機(jī)會和針對性的補(bǔ)強(qiáng)機(jī)會。

另外，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程使用翻轉(zhuǎn)課堂具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，學(xué)生在課前完成自主學(xué)習(xí)，按照教師布置的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過觀看教師提前布置的微課視頻、網(wǎng)絡(luò)講座、播客、閱讀功能強(qiáng)的電子書或課本，在網(wǎng)絡(luò)上與其他同學(xué)討論，能隨時(shí)查閱所需材料，且把學(xué)習(xí)中遇到的難題記下來。

在課堂上，教師則采用講授法和協(xié)作法以滿足學(xué)生的需要并促成他們的個(gè)性化學(xué)習(xí)。例如，教師把學(xué)生分成若干小組，要求學(xué)生以小組討論的形式討論教師布置的任務(wù)及課前學(xué)習(xí)中遇到的問題，并及時(shí)把結(jié)果反饋給教師。在課后，學(xué)生把課堂知識和課前任務(wù)相結(jié)合，邊看邊琢磨復(fù)習(xí)課堂上的問題。翻轉(zhuǎn)課堂可以讓學(xué)生提前學(xué)習(xí)，自主規(guī)劃學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)節(jié)奏、風(fēng)格和呈現(xiàn)知識的方式，培養(yǎng)了學(xué)生的時(shí)間管理能力和自我控制能力，增強(qiáng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。例如，在《方差》這一節(jié)，如果僅依靠課堂的教學(xué)時(shí)間傳授知識，那么很難在有限的時(shí)間把內(nèi)容高效率地傳達(dá)給學(xué)生，難以滿足教學(xué)要求，并且不能兼顧所有學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。為了增加這一節(jié)應(yīng)用性和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，教師可以采用翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)方式。如課前教師分組布置任務(wù)，提前精心準(zhǔn)備微視頻，要求學(xué)生查找文獻(xiàn)，尋找并說明期望（中心位置）相同但集中程度不同的實(shí)際例子，并提出問題：（1）為什么使用X 和X 的期望之差的平方的期望，而不使用X 和X 的期望之差的期望？也不使用X 和X的期望絕對值之差的期望？（2）為什么又引入均方差，量綱的作用是什么？（3）如何計(jì)算離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差？（4）方差和期望有什么區(qū)別和聯(lián)系？再結(jié)合微課視頻，學(xué)生可以隨時(shí)隨地地觀看視頻，還可以邊看邊琢磨這些問題；教師創(chuàng)新設(shè)置微課長度，課程內(nèi)容要保證10～15分鐘，不能照本宣科，內(nèi)容要全面精致，質(zhì)量要達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)要求；設(shè)計(jì)附有詳細(xì)答案解析的微課配套習(xí)題及難度不同的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習(xí)微課視頻和書本內(nèi)容，收集遇到的難題。在課中，教師把學(xué)生分成若干小組，鼓勵(lì)學(xué)生之間以小組討論形式進(jìn)行學(xué)習(xí)；教師和學(xué)生充分討論課前學(xué)習(xí)中遇到的問題，再結(jié)合計(jì)算類的例子來說明方差在隨機(jī)變量中的意義。教師就某一難題或該難題下若干問題進(jìn)行分組，要求每組該一名學(xué)生上臺講授問題的解決方法，然后臺下其他學(xué)生可以對該學(xué)生的講授內(nèi)容進(jìn)行補(bǔ)充和點(diǎn)評，教師對所有學(xué)生的講解做點(diǎn)評并給出解法。在這個(gè)實(shí)施過程中，由于學(xué)生需要自己查找資料，與同學(xué)互相討論，與教師溝通交流，并且通過上臺講授可以感受教師的角色，所以在無形當(dāng)中，學(xué)生查閱文獻(xiàn)的能力、交際溝通能力、語言表達(dá)能力、分析問題和解決問題的能力等都會得到提高。最后，在作業(yè)設(shè)置環(huán)節(jié)，教師針對實(shí)際學(xué)習(xí)情況布置作業(yè)，讓學(xué)生帶著問題思考習(xí)題，完成作業(yè)，將這些作業(yè)作為問題驅(qū)動，從而促使學(xué)生更加深入地了解方差的知識點(diǎn)，與此同時(shí)，教師處于一種共同學(xué)習(xí)、共同思考的關(guān)系中，也參與了整個(gè)思考過程。

二、數(shù)學(xué)建模在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的應(yīng)用

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的模型化就是把所考慮的具體實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，首先構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析研究，然后轉(zhuǎn)化為概率統(tǒng)計(jì)問題，從而解決實(shí)際問題。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)的三大思想之一［2，3］，是解決一些實(shí)際問題的重要工具。在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中建立數(shù)學(xué)模型，是為了針對具體的實(shí)際問題，運(yùn)用所學(xué)的概率統(tǒng)計(jì)知識進(jìn)行科學(xué)合理的分析和計(jì)算。在授課時(shí)注重模型的引入，既提供了理論知識應(yīng)用于實(shí)際問題的平臺，又可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識分析和解決問題的能力及創(chuàng)新意識，避免了學(xué)生“只見樹木不見林”的短期效應(yīng)及“學(xué)數(shù)學(xué)沒有用途”的偏見。教師可以結(jié)合生活實(shí)例，運(yùn)用“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程知識，引導(dǎo)學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，促進(jìn)數(shù)學(xué)能力的提升與轉(zhuǎn)移。實(shí)際問題中很大一部分可以用概率模型進(jìn)行描述，如等可能概型（古典概型）、伯努利概型（二項(xiàng)分布）、泊松分布、均勻分布、正態(tài)分布等。根據(jù)所考慮的問題，構(gòu)建抽象模型，反映考慮隨機(jī)問題的內(nèi)在規(guī)律，選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)工具對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”教學(xué)應(yīng)重視對概率模型的理解，并且淡化繁雜的計(jì)算，使學(xué)生感受從多個(gè)實(shí)例中概括具體概率模型的過程，體會這些實(shí)例的共同點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生建立模型的能力，因此，探討應(yīng)用數(shù)學(xué)建模思想是十分必要的。

在《數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用》這一節(jié)，教師一般先引入例子或者通過引入期望的歷史由來說明考慮期望的必要性。如果這一節(jié)僅依靠課堂的教學(xué)時(shí)間傳授知識，那么很難在有限的時(shí)間把內(nèi)容高效率地傳達(dá)給學(xué)生，難以滿足教學(xué)要求，并且不能兼顧所有學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。為了增加這一節(jié)應(yīng)用性和學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，教師可以采用考慮先引入一個(gè)具體的例子，如銷售利潤最大化問題。例如，某超市按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)商品，每售出1kg獲利6 元，如到季末尚有剩余商品，則每千克凈虧損2元，設(shè)某商店在季節(jié)內(nèi)這種商品的銷售量X（以kg計(jì)）是一隨機(jī)變量，X在區(qū)間（8，16）內(nèi)服從均勻分布，問商店應(yīng)進(jìn)多少貨，使商店所獲利潤最大？對于類似這樣的問題，首先建立具體函數(shù)模型，即利潤和進(jìn)貨量、銷售量的函數(shù)關(guān)系，然后考慮利潤最大。

三、課程思政元素在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中的應(yīng)用

習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會議上指出：“要堅(jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人，……其他各門課都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)?！保?］所以，立德樹人是高校立身之本。課堂教學(xué)是育人主渠道［5-7］。在課程思政理念下，作為“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教師應(yīng)從育人的本質(zhì)要求出發(fā)，提高自身的育德意識和育德能力，圍繞立德樹人這一根本任務(wù)，充分發(fā)掘和運(yùn)用“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中蘊(yùn)含的思想政治教育資源，凸顯其在知識傳授、能力培養(yǎng)和品質(zhì)塑造等方面的教育價(jià)值，通過融入社會主義核心價(jià)值觀的精髓要義，引導(dǎo)學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀，發(fā)揮思想政治教育作用。“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程在開展課程思政教學(xué)上有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢，通過引入大量的生活常識與耳熟能詳?shù)闹V語、搭建知識結(jié)構(gòu)體系等教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生用概率的眼光解讀未知的世界，用統(tǒng)計(jì)的方法指導(dǎo)工作與生活。在關(guān)注知識傳授、能力培養(yǎng)、情感價(jià)值塑造的同時(shí)，將辯證唯物主義、科學(xué)精神、家國情懷、人生觀及社會主義核心價(jià)值觀等思政元素，潤物細(xì)無聲地融入“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程教學(xué)，使知識傳授與價(jià)值引領(lǐng)同頻共振，最終實(shí)現(xiàn)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程立德樹人的核心功能。通過豐富課堂案例，結(jié)合案例分析進(jìn)行道德品質(zhì)、人生觀、價(jià)值觀教育。挖掘案例中的德育內(nèi)涵，詮釋知識背后的價(jià)值取向和人文精神，起到育才與育人一舉兩得的效果。

1.通過博餅介紹閩南民俗文化，增加學(xué)生對隨機(jī)數(shù)學(xué)的認(rèn)識。投骰子試驗(yàn)在“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”課程中多次出現(xiàn)。為了讓學(xué)生能夠切身體驗(yàn)投骰子試驗(yàn)，在第一堂課互動并介紹博餅（起源于福建廈門鼓浪嶼，始于清初，是一種獨(dú)特的中秋習(xí)俗），從而了解隨機(jī)事件及概率。啟發(fā)學(xué)生思考獲得“對堂”和“三紅”的概率有多大？隨機(jī)包含兩方面的含義：一方面，單一事件的不確定性和不可預(yù)見性；另一方面，事件在經(jīng)歷大量重復(fù)試驗(yàn)中表現(xiàn)出規(guī)律性。

2.二項(xiàng)分布問題。在教學(xué)中通過這樣的例子讓學(xué)生認(rèn)識二項(xiàng)分布。假定某工廠有同型號紡織機(jī)80臺，各臺是否正常工作是相互獨(dú)立的。每臺紡織機(jī)發(fā)生故障的概率都是0.01。工廠有機(jī)器維修工4人。試求下面兩種情況下紡織機(jī)發(fā)生故障來不及維修的概率，這里假定1臺紡織機(jī)可由1 個(gè)人處理故障。（1）每人各自負(fù)責(zé)指定的20臺紡織機(jī)；（2）4人共同負(fù)責(zé)80臺紡織機(jī)。“紡織機(jī)發(fā)生故障來不及維修的概率”與同一時(shí)刻紡織機(jī)發(fā)生故障的臺數(shù)有關(guān)，與具體是哪幾臺紡織機(jī)發(fā)生故障無關(guān)，把一臺紡織機(jī)是否發(fā)生故障看成一次試驗(yàn)，假設(shè)服從伯努利試驗(yàn)，因此構(gòu)建二項(xiàng)分布的概率模型。通過計(jì)算第一種情況各人來不及維修的概率是0.0169，第二種情況4個(gè)人來不及維修的概率是0.0013。由0.0013＜0.0169知，雖然第二種情況每人維修的數(shù)量也是20臺，但整體工作效率卻比第一種情況要高。所以在工作中應(yīng)發(fā)揚(yáng)團(tuán)結(jié)互助精神。

3.《伊索寓言》中《孩子與狼》的故事。在教學(xué)中，我們可以以“故事中的村民對孩子的可信度是如何下降的”這個(gè)問題為先導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生用概率語言表示故事中的事件，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生利用概率知識解決上述問題。首先設(shè)事件A為“小孩說謊”，事件B為“小孩可信”，再假設(shè)“可信的孩子說謊的概率為0.1，不可信的孩子說謊的概率為0.5”，即村民原來對這個(gè)孩子的印象是較為可信的，不妨設(shè)0.8是先驗(yàn)概率。在獲得新的信息時(shí)（第一次村民上山打狼，發(fā)現(xiàn)狼沒有來，即孩子說謊），村民對這個(gè)小孩的可信度進(jìn)行了重新評估，利用貝葉斯公式可以計(jì)算出村民對孩子的可信度改變?yōu)?.444；當(dāng)小孩第二次說謊后，在可信度為0.444的基礎(chǔ)上，再一次用貝葉斯公式計(jì)算得村民對小孩的可信度變成了0.138。經(jīng)過兩次上當(dāng)，村民對這個(gè)小孩的可信度已經(jīng)從0.8下降到0.138，如此低的可信度，村民聽到第三次呼叫時(shí)怎么會再上山打狼呢？故事詮釋了誠信的重要性。