航天器網(wǎng)絡基于四元數(shù)表征的全局姿態(tài)同步

孟德元,傘揚,張凡

(北京航空航天大學 自動化科學與電氣工程學院,北京 100191)

自20世紀90年代以來，隨著小衛(wèi)星技術的發(fā)展，以小衛(wèi)星編隊為代表的航天器網(wǎng)絡逐漸成為姿態(tài)控制問題的研究熱點.航天器網(wǎng)絡通常由空間上呈現(xiàn)一定構型的多個航天器構成[1].為實現(xiàn)特定的合作目標，航天器網(wǎng)絡的姿態(tài)協(xié)同至關重要，其中姿態(tài)同步是姿態(tài)協(xié)同中的重要研究部分[2].如深空探測中，航天器網(wǎng)絡中的遙測設備等有效載荷需指向同一方向，才能實現(xiàn)完整的信息采集；交會對接時，主從航天器的姿態(tài)同步是安全對接的必要條件[3].因此，探索如何實現(xiàn)航天器網(wǎng)絡的姿態(tài)同步具有重要的實際意義和研究價值.

對于航天器網(wǎng)絡的全局姿態(tài)同步，如何合理表征各航天器的姿態(tài)是關鍵問題之一.常用的姿態(tài)表征方法主要有旋轉(zhuǎn)矩陣、歐拉角和四元數(shù).文獻[4-5]使用旋轉(zhuǎn)矩陣法表征姿態(tài)信息，但這種方法參數(shù)量大，計算復雜，且9個參數(shù)內(nèi)含冗余信息.文獻[6]中提出在大角度機動中，歐拉角法可能會因為旋轉(zhuǎn)角度特殊而出現(xiàn)奇點.與以上兩種方法相比，四元數(shù)法表征參數(shù)少，不存在奇點問題，因而在全局姿態(tài)表征方面具有天然優(yōu)勢.然而，四元數(shù)在表征姿態(tài)中存在著非唯一映射的問題，即同一個物理姿態(tài)可以映射為一對共軛四元數(shù)，導致全局姿態(tài)同步協(xié)議設計和分析上的困難[7].

另一個關鍵問題是如何設計姿態(tài)協(xié)議實現(xiàn)全局姿態(tài)同步.由于四元數(shù)處于非歐氏空間，且利用四個參數(shù)表征三維空間的指向信息，若同步協(xié)議設計不當可能出現(xiàn)“非同步陷阱”，即僅矢量部分收斂，而標量部分不收斂，從而姿態(tài)并未實現(xiàn)同步.文獻[8-9]針對航天器網(wǎng)絡，構造基于四元數(shù)矢量的控制協(xié)議，僅能實現(xiàn)矢量部分的收斂，但未考慮四元數(shù)標量的收斂.文獻[10]利用四元數(shù)的矢量和標量相除設計控制協(xié)議，雖然成功地將拓撲結(jié)構放寬到非結(jié)構平衡的強連通圖，但對于初始姿態(tài)僅能得到幾乎全局同步.因此，構造全局姿態(tài)同步協(xié)議仍具有挑戰(zhàn)性.

受上述已有工作的啟發(fā)，本文提出了兩類基于四元數(shù)表征的姿態(tài)同步協(xié)議，實現(xiàn)強連通航天器網(wǎng)絡的全局姿態(tài)同步.第一類協(xié)議僅使用四元數(shù)的矢量部分，對四元數(shù)標量初值進行非負處理，然后分別對標量部分和矢量部分的演化進行分析，得到數(shù)學意義下的姿態(tài)同步結(jié)果.第二類協(xié)議進一步引入實時四元數(shù)標量符號，避免對標量部分的單獨分析，最終得到更一般性的物理意義下的姿態(tài)同步結(jié)論.最后通過仿真分析，驗證了兩類協(xié)議在任意初始物理姿態(tài)下的姿態(tài)同步效果.

1 預備知識

1.1 網(wǎng)絡拓撲

網(wǎng)絡拓撲是研究航天器網(wǎng)絡的基礎，描述了各航天器之間的通信連接方式.網(wǎng)絡拓撲可以利用有向圖G={N,E,A}進行描述，其中N={1,2,…,n}表示n個航天器的集合，E?N×N表示代表通信與感知的邊的集合，A=[aij]∈Rn×n表示G的鄰接矩陣.有向邊(j,i)∈E表示航天器j是航天器i的鄰居，此時aij=1(i≠j)，否則，aij=0.航天器i的所有鄰居節(jié)點構成的集合定義為Ni={j:j∈N且(j,i)∈E}.如果從航天器i到航天器j之間存在有向邊的序列，那么這個序列稱為有向路徑.如果任意一個航天器均存在到達其他航天器的有向路徑，則稱有向圖G是強連通.相應的拉普拉斯矩陣定義為L=[lij]∈Rn×n，其中對于i≠j，lij=-aij，否則，對于i=j,lii=∑j∈Niaij.

1.2 姿態(tài)表征

四元數(shù)(ε,q)∈R×R3是一種基于歐拉旋轉(zhuǎn)定理的姿態(tài)表征方式.歐拉旋轉(zhuǎn)定理是指剛體繞定點的任意有限轉(zhuǎn)動可由繞過該點的某根軸的一次轉(zhuǎn)動實現(xiàn).具體來說，四元數(shù)的具體定義如下[11]：

(1)

其中單位矢量e∈R3表示歐拉軸，φ∈R表示繞e旋轉(zhuǎn)的歐拉角.根據(jù)(1)式，可得單位約束如下:

ε2+qTq=1.

(2)

注1根據(jù)(1)和(2)式，可知(ε,q)和(-ε,-q)表示相同的物理姿態(tài)，因此相同的四元數(shù)表示相同的物理姿態(tài)，而相同的物理姿態(tài)可以表示為不同的四元數(shù).根據(jù)如上表述，在下一節(jié)中對同步問題進行分類考慮.

2 問題描述

考慮由n個航天器組成的航天器網(wǎng)絡，根據(jù)四元數(shù)定義，可以得到第i個航天器的姿態(tài)運動學為[11]：

(3)

其中，εi(t)和qi(t)分別為本體系相對于慣性系的四元數(shù)標量和矢量，ωi(t)為本體系相對于慣性系的旋轉(zhuǎn)角速度在本體系上的投影，×表示矢量叉乘運算.

根據(jù)姿態(tài)運動學(3)式，本文的目標為設計關于ωi(t)的姿態(tài)同步協(xié)議，對于任意初始物理姿態(tài)，實現(xiàn)基于強連通拓撲的航天器網(wǎng)絡的姿態(tài)同步.具體來講，分為如下兩個目標：

(a)數(shù)學意義下的姿態(tài)同步：當時間趨于無窮時，強連通網(wǎng)絡下所有航天器的四元數(shù)(εi,qi)最終達到一致，即對于任意i∈N和j∈N，

(4)

(5)

(b)物理意義下的姿態(tài)同步：當時間趨于無窮時，強連通網(wǎng)絡下所有航天器的物理姿態(tài)最終達到同步，即對于i∈N和j∈N，

(6)

其中，對于任意x∈R，符號函數(shù)定義為：如果x≥0，則sgn(x)=1，否則sgn(x)=-1.

注3需要注意的是，盡管四元數(shù)遵循單位約束(2)，但是目標(a)中僅根據(jù)(5)式，并不能得到(4)式，因此(4)和(5)式必須同時成立，否則可能導致所謂的“非同步陷阱”，即僅矢量部分收斂，而標量部分不收斂.

3 主要結(jié)果

本節(jié)分別給出基于初始四元數(shù)標量符號的控制協(xié)議和基于實時四元數(shù)標量符號的控制協(xié)議，并分別證明了在相應控制協(xié)議下航天器網(wǎng)絡最終能夠達到姿態(tài)同步.

3.1 基于初始四元數(shù)標量符號的協(xié)議設計

首先，給出基于初始四元數(shù)標量符號的同步協(xié)議：

(7)

在此控制協(xié)議的基礎上，對四元數(shù)標量進行分析，進而推導出航天器網(wǎng)絡的全局姿態(tài)同步結(jié)果.

3.1.1四元數(shù)標量分析

在對航天器四元數(shù)進行分析時，根據(jù)單位限制(2)可知，四元數(shù)會出現(xiàn)非唯一映射問題.為解決這一問題，本節(jié)給出一個強連通拓撲下有關四元數(shù)映射唯一性的引理.該引理說明了四元數(shù)映射的唯一性與標量初值之間的關系.

引理1針對由n個航天器組成的強連通網(wǎng)絡(3)，采用同步協(xié)議(7)，如果所有航天器四元數(shù)標量均滿足εi(0)≥0，則對于t>0，有εi(t)≥0，?i∈N.

證明假定k(t)為t時航天器網(wǎng)絡中標量最小的航天器編號，即

(8)

則有εk(t)(t)≤εj(t),?j∈Nk(t).進而，可知εk(t)(t)為連續(xù)分段可導函數(shù).根據(jù)(2)和(8)式可得

(9)

注4根據(jù)引理1，如果所有航天器均符合εi(0)≥0，則同步協(xié)議(7)可以保證所有的四元數(shù)標量始終保持非負.考慮單位限制(2)，若已知四元數(shù)的矢量，則可以唯一確定對應的標量數(shù)值，這樣即可避免“非同步陷阱”.另外，根據(jù)四元數(shù)定義(1)，εi(0)≥0可以映射所有物理姿態(tài)，即可進行全局姿態(tài)表征.

3.1.2數(shù)學意義下的姿態(tài)同步分析

本節(jié)對強連通拓撲下航天器網(wǎng)絡的姿態(tài)同步進行分析，首先給出關于強連通拓撲的一個引理.

引理2[13]針對由n個航天器組成的強連通網(wǎng)絡(3)，存在p=[pi]∈Rn，其中pi>0，?i∈N，使得

(10)

引理1和引理2給出了在強連通拓撲下網(wǎng)絡中航天器四元數(shù)標量和矢量的性質(zhì).要證明航天器網(wǎng)絡的全局姿態(tài)同步，還需對整個時域上航天器四元數(shù)的一致性進行分析.進一步，給出基于初始四元數(shù)標量符號的協(xié)議設計的定理：

定理1針對由n個航天器組成的強連通網(wǎng)絡(3)，對于任意初始物理姿態(tài)，如果εi(0)≥0，且采用同步協(xié)議(7)，所有航天器的四元數(shù)表征最終趨于一致，實現(xiàn)全局同步，即(4)和(5)式成立.

證明考慮以下能量函數(shù)：

(11)

對(11)式中的能量函數(shù)求導，并考慮姿態(tài)運動學(3)和協(xié)議(7)，可得

(12)

將(10)式代入(12)式，可得

注5定理1中的條件εi(0)≥0，?i∈N是合理的.根據(jù)(1)式，可知當εi(0)≥0，相應的歐拉角φi(0)范圍為[-π,π]，即符合此初值的四元數(shù)集合可以映射所有物理姿態(tài)空間.另外需要說明的是，如果四元數(shù)初值(εi(0),qi(0))中εi(0)<0，根據(jù)注1可以將四元數(shù)初值預處理為(-εi(0),-qi(0)).

注6相比于文獻[8]，本文提出的基于初始四元數(shù)標量符號的協(xié)議設計，可以保證四元數(shù)的標量部分和矢量部分分別收斂，從而保證姿態(tài)同步，避免了文獻[8]中的“非同步陷阱”.

3.2 基于實時四元數(shù)標量符號的協(xié)議設計

在定理1的基礎上，進一步將四元數(shù)標量的符號引入控制協(xié)議，就可以避免對四元數(shù)初始值標量符號的判斷和處理，只需根據(jù)控制協(xié)議直接對航天器網(wǎng)絡進行同步分析.同樣地，首先給出同步協(xié)議為：

(13)

基于此協(xié)議(13)，給出如下姿態(tài)同步定理.

定理2針對由n個航天器組成的強連通網(wǎng)絡(3)，給定任意初始四元數(shù)，若采用分布式同步協(xié)議(13)，則所有航天器的物理姿態(tài)最終趨于同步，即(6)式成立.

證明采用定理1中的能量函數(shù)(11)，對其求導并代入姿態(tài)運動學(3)和姿態(tài)協(xié)議(13)，可得

(14)

根據(jù)引理2，對(14)式進行進一步化簡：

注7相比于定理1，定理2在姿態(tài)同步協(xié)議(13)中引入了符號函數(shù)，這種方式的優(yōu)勢在于，在分析收斂性時不必考慮航天器四元數(shù)標量的符號.盡管當時間趨于無窮時，各個航天器的四元數(shù)未必趨于相同，但是保證了物理意義下的姿態(tài)同步目標的實現(xiàn)，符合實際應用需求.

4 數(shù)值仿真

在本節(jié)中，對所提兩類姿態(tài)同步協(xié)議(7)和(13)的有效性進行驗證，利用剛體航天器網(wǎng)絡進行數(shù)值仿真，仿真步長為0.1 s，仿真時長為20 s.鄰接矩陣A的非零項設置為a12=1,a15=1,a23=1,a24=1,a34=1,a41=1,a54=1.四元數(shù)初值矢量部分分別為：

q1(0)=[0.293 4,-0.155 6,0.769 5]T,q2(0)=[-0.248 0,0.305 9,-0.876 1]T,

q3(0)=[-0.255 8,-0.730 6,0.556 5]T,q4(0)=[0.763 1,-0.306 8,0.381 5]T,

q5(0)=[-0.521 1,0.077 5,0.841 6]T.

為驗證仿真協(xié)議(7)，取標量的初值為：

ε1(0)=0.684 6,ε2(0)=0.219 4,ε3(0)=0.279 8,ε4(0)=0.410 3,ε5(0)=0.093 9.

為驗證仿真協(xié)議(13)，取標量的初值為：

ε1(0)=-0.684 6,ε2(0)=0.219 4,ε3(0)=-0.279 8,ε4(0)=0.410 3,ε5(0)=-0.093 9.

對標量和矢量分別作圖，以判斷其收斂性.結(jié)果如圖1和圖2所示.

從圖1中可以看出，四元數(shù)矢量和標量分別收斂，此時航天器之間達成姿態(tài)一致.另外，通過標量的變化曲線可以看出，在初始值非負時，標量在整個時域內(nèi)保持非負.因此，根據(jù)定理1的結(jié)論和圖1的仿真結(jié)果可知，對于任意初始物理姿態(tài)的航天器網(wǎng)絡，使用本文提出的控制協(xié)議(7)能夠使系統(tǒng)實現(xiàn)全局姿態(tài)同步.

從圖2中四元數(shù)標量部分的變化曲線可以看出，在對控制協(xié)議引入符號函數(shù)之后，即使存在標量初值為負的航天器四元數(shù)，在整個時域上各個航天器的四元數(shù)仍能趨于一致.因此，根據(jù)定理2的結(jié)論和圖2的仿真結(jié)果可知，對于任意初始物理姿態(tài)的航天器網(wǎng)絡，使用本文提出的控制協(xié)議(13)也能夠使系統(tǒng)實現(xiàn)全局姿態(tài)同步.需要說明的是，定理2可以實現(xiàn)物理意義下的姿態(tài)同步，但并不能保證四元數(shù)一定實現(xiàn)同步.

5 結(jié) 論

本文針對拓撲結(jié)構為強連通的航天器網(wǎng)絡的全局姿態(tài)同步問題，設計了兩類基于四元數(shù)的同步協(xié)議.第一類協(xié)議僅使用四元數(shù)矢量部分.首先，基于四元數(shù)非唯一映射，通過預處理保證初始四元數(shù)標量非負，進而證明在第一類協(xié)議下，標量部分始終非負.然后，通過構造能量函數(shù)證明趨于一致.根據(jù)單位約束，可以證明標量部分也收斂到相同的數(shù)值，即數(shù)學意義下的姿態(tài)同步.第二類協(xié)議在第一類協(xié)議的基礎上，引入實時四元數(shù)標量符號，無需對標量部分的演化單獨分析，可以得到更一般性的物理意義下的姿態(tài)同步.通過對給定的強連通航天器網(wǎng)絡的仿真分析，驗證了兩類協(xié)議的全局姿態(tài)同步效果.