一種面向非線性材料的二維高階ANCF 梁?jiǎn)卧?/h1>

2022-12-01 08:39:00郭嘉輝趙春花獨(dú)亞平周川

農(nóng)業(yè)裝備與車(chē)輛工程訂閱 2022年11期 收藏

關(guān)鍵詞：變形模型

郭嘉輝，趙春花，獨(dú)亞平，周川

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院）

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，機(jī)械系統(tǒng)中出現(xiàn)了柔性可變形構(gòu)件。構(gòu)件在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不僅存在剛性運(yùn)動(dòng)，也發(fā)生了彈性變形，其影響不可忽視。人們創(chuàng)建KED 法、浮動(dòng)坐標(biāo)法以及絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法解決這類(lèi)柔性多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法[1]將單元節(jié)點(diǎn)定義在全局坐標(biāo)系下，利用梯度向量作為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)，因此具有常數(shù)質(zhì)量矩陣以及不存在科氏力和離心力項(xiàng)。此外，運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論不僅可以建立線彈性力矩陣，還可以方便地引入非線性彈性模型建立非線性彈性力矩陣。因此相比其它方法，它可以更方便地建立系統(tǒng)的非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，在描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的大轉(zhuǎn)動(dòng)大變形情況比其它方法更具有優(yōu)勢(shì)。多年以來(lái)，絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法因此而受到廣泛關(guān)注和研究。人們基于這種方法開(kāi)發(fā)了梁、板、殼以及實(shí)體單元。

盡管如此，人們通過(guò)絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建立的單元也存在著一些問(wèn)題，本文主要研究的是含非線性彈性力作用下的二維ANCF 剪切梁?jiǎn)卧膯卧阅?。有關(guān)研究中，Maqueda[2]等人在三維ANCF 梁?jiǎn)卧薪⒘薓ooney-Rivlin 和Neo-Hookean 彈性力模型；Jung[3]等人通過(guò)橡膠單擺運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)觀察比較了三維ANCF 梁?jiǎn)卧? 種超彈性本構(gòu)彈性力模型下的仿真結(jié)果；Orzechowski[4]通過(guò)選擇性簡(jiǎn)約積分法以及罰函數(shù)方法緩解了低階三維梁?jiǎn)卧拈]鎖問(wèn)題；Xu[5]等人通過(guò)實(shí)驗(yàn)和仿真分析了由Shen[6]提出的42 節(jié)點(diǎn)高階單元能夠解決非線性本構(gòu)方程帶來(lái)的單元閉鎖問(wèn)題。此外，Xu[7]還在ANCF 梁?jiǎn)卧⒘薃rruda-Boyce 非線性彈性力模型。

本文利用基于Yeoh 模型建立二維梁?jiǎn)卧姆蔷€性彈性模型，對(duì)二維ANCF 梁?jiǎn)卧M(jìn)行深入研究，在此基礎(chǔ)上提出了一種面向非線性彈性材料的二維高階梁?jiǎn)卧?，利用大變形深梁靜力學(xué)算例以及懸臂梁運(yùn)動(dòng)學(xué)算例驗(yàn)證模型性的有效性，并通過(guò)與ABAQUS 軟件的仿真情況和不同二維高階ANCF 單元進(jìn)行比較分析，討論了單元的精度問(wèn)題。

1 單元模型：二維高階ANCF 剪切梁?jiǎn)卧?/h2>

Zhao[8]等人在剪切梁?jiǎn)卧猍9]的位移模式中引入了y2項(xiàng)。本文通過(guò)對(duì)位移模式的深入研究，進(jìn)一步將x2y 項(xiàng)引入位移模式中，建立新的絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法梁?jiǎn)卧˙-2n）位移模式。在全局坐標(biāo)系下定義的二維單元位移矢量ri表示單元內(nèi)任意一點(diǎn)的位置矢量（ri1，ri2），其中ri1和ri2可用全局坐標(biāo)x、y 的多項(xiàng)式表示。另外，位移模式ri也可以表示成節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)e 和相應(yīng)的形函數(shù)S，表達(dá)式為：

2 基于Yeoh 非線性彈性模型下的彈性力及運(yùn)動(dòng)方程的推導(dǎo)

Yeoh 模型[10]為橡膠材料的常用本構(gòu)模型之一，其物理特性可由應(yīng)變能密度函數(shù)W 表示：

式中：C10，C20，C30——材料系數(shù)。C——右Cauchy-Green 變形張量，C=JTJ；J——位置梯度矩陣；tr（C）——矩陣C的跡。

此外，橡膠材料被認(rèn)為具有體積近似不可壓縮特性。文獻(xiàn)[2] 指出可利用罰函數(shù)對(duì)應(yīng)變能方程密度函數(shù)進(jìn)行修改，以確保材料的不可壓縮性。其中，α取值越大越有利于保證材料的不可壓縮性。不可壓縮Yeoh模型的總應(yīng)變能密度函數(shù)為：

對(duì)式（6）求積分，可得不可壓縮Yeoh 模型的總應(yīng)變能

接下來(lái)，根據(jù)拉格朗日方程推導(dǎo)運(yùn)動(dòng)方程。

式中：T——單元?jiǎng)幽?；U——單元應(yīng)變能；QK——廣義外力矢量陣；t ——時(shí)間；——節(jié)點(diǎn)廣義坐標(biāo)e 對(duì)時(shí)間t 的導(dǎo)數(shù)向量。

根據(jù)式（7），可以推出單元彈性力QT為：

另外，單元?jiǎng)幽芤罁?jù)定義推導(dǎo)，如式（10）：

式中：ρ——單元材料密度；V——單元體積；M——單元質(zhì)量矩陣；——節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)e 的向量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)。根據(jù)式（10），可提取單元的質(zhì)量矩陣為

則單元運(yùn)動(dòng)微分方程表示如下：

3 數(shù)值算例

3.1 靜力學(xué)算例：大變形深梁模型

本節(jié)采用的深梁模型如圖1 所示。由于深梁橫截面有較大變形，使得單元閉鎖情況加大，便于檢測(cè)單元受到較大變形時(shí)的靜力學(xué)計(jì)算[11]。深梁物理參數(shù)：長(zhǎng)L=2 m，寬W=0.1 m，高H=0.5 m；不可壓縮Yeoh 本構(gòu)模型的材料系數(shù)分別為C10=0.545 235 MPa，C20=0.061 049 8 MPa，C30=-0.000 802.537 MPa；罰函數(shù)U 的系數(shù)α=1 000 MPa。深梁的端部末端受到集中力為F=-1 000 N。本算例中使用的參考解為有限元軟件ABAQUS 計(jì)算的收斂解。在表1 中顯示了深梁端部位移的計(jì)算結(jié)果。

圖1 深梁模型Fig.1 Deep beam model

從表1 中可以看出，隨著單元數(shù)的增加，本文所建立的單元B-2n 的計(jì)算結(jié)果收斂，表明該單元模型的是有效的。與單元2D2N[8]計(jì)算結(jié)果相比較，模型B-2n 的計(jì)算結(jié)果與ABAQUS 的仿真結(jié)果更接近，說(shuō)明加入x2y 項(xiàng)使得單元精度變得更高了。

表1 深梁端部在Y 方向位移比較Tab.1 End displacement comparison of deep beam in Y direction

3.2 動(dòng)力學(xué)算例：受重力作用懸臂梁模型

利用受重力作用的懸臂梁模型分析單元閉鎖問(wèn)題對(duì)單元?jiǎng)恿W(xué)特性的影響。如圖2所示，懸臂梁物理參數(shù)：長(zhǎng)L=1 m，寬W=0.1 m，高H=0.1 m；不可壓縮Yeoh本構(gòu)模型材料系數(shù)：C10=0.545 235 MPa，C20=0.061 049 8 MPa，C30=-0.000 802 537 MPa；罰函數(shù)Up的系數(shù)α取1 000 MPa。擺的初始狀態(tài)是水平的，其初始速度為0，重力加速度為g=9.81 m/s2。在重力的作用下懸臂梁在XY 平面內(nèi)從右側(cè)往下擺動(dòng)至最左端，整個(gè)仿真時(shí)間為0.6 s。

圖2 重力作用下的懸臂梁擺動(dòng)模型Fig.2 Swing model of cantilever beam under gravity

圖3 是在不同單元數(shù)下，利用本文的ANCF 高階梁?jiǎn)卧狟-2n 對(duì)懸臂梁末端點(diǎn)的位移計(jì)算結(jié)果。

圖3 單元收斂性分析Fig.3 Convergence analysis of the element

由圖3 見(jiàn)，隨著單元數(shù)的增加，單元計(jì)算結(jié)果是收斂的。當(dāng)單元數(shù)到達(dá)32 時(shí)，模型已經(jīng)開(kāi)始收斂，圖中64 個(gè)單元結(jié)果與128 個(gè)單元結(jié)果一致。因此，采用64 個(gè)單元數(shù)下的計(jì)算結(jié)果作為收斂結(jié)果分別與ANCF 高階單元2D2N[8]和有限元軟件ABAQUS的仿真結(jié)果進(jìn)行比較，其結(jié)果如圖4 所示。

圖4 不同單元下的懸臂梁端部位移分析比較Fig.4 End displacement comparison of cantilever beam using different elements

從圖4 可以看出，本文提出的單元計(jì)算結(jié)果與ABAQUS 仿真結(jié)果趨于一致，而2D2N[8]模型計(jì)算的結(jié)果也接近ABAQUS 仿真結(jié)果。兩者相比較，本文提出的單元可以更有效地模擬非線性彈性下的懸臂梁大變形運(yùn)動(dòng)過(guò)程。

4 結(jié)論

本文構(gòu)建了一個(gè)2 節(jié)點(diǎn)二維高階ANCF 剪切梁?jiǎn)卧?，通過(guò)靜態(tài)以及動(dòng)態(tài)算例分析，并將得到的結(jié)果與ABAQUS 軟件中仿真結(jié)果進(jìn)行比較、分析，得出結(jié)論：（1）在靜力學(xué)中，本文提出的梁?jiǎn)卧Ｐ湍軌蛴行У胤治錾盍耗Ｐ偷拇笞冃?，單元模型的收斂精度較高；（2）在動(dòng)力學(xué)分析中，本文提出的單元顯示了良好的計(jì)算精度，適用于大變形非線性材料問(wèn)題中的動(dòng)力學(xué)研究與分析。

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