基于運(yùn)動(dòng)力學(xué)分析的六軸機(jī)械臂牽引控制設(shè)計(jì)

楊寬，金建輝

（650504 云南省 昆明市 昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院）

0 引言

隨著網(wǎng)絡(luò)和智能化技術(shù)的發(fā)展，制造業(yè)也在向智能化、自動(dòng)化方向發(fā)展，作為高端制造業(yè)的主要手段，機(jī)器人產(chǎn)業(yè)迎來(lái)了新的發(fā)展機(jī)遇。機(jī)械臂作為高端且實(shí)用的機(jī)器人，潛力巨大、發(fā)展最為迅速[1]。機(jī)械臂的發(fā)展彌補(bǔ)了傳統(tǒng)機(jī)器人工作能力差、執(zhí)行任務(wù)單一、適應(yīng)性弱等缺點(diǎn)，為利用機(jī)器人進(jìn)行生產(chǎn)制造提供了機(jī)會(huì)。

通過(guò)控制接觸力在機(jī)械臂執(zhí)行末端的位置約束機(jī)械臂的活動(dòng)自由度，對(duì)接觸力的控制精度要求較高。例如，利用機(jī)械臂擦拭玻璃時(shí)，不僅要準(zhǔn)確控制機(jī)械臂的切向接觸力以實(shí)現(xiàn)對(duì)玻璃接觸面切向軌跡的有效控制，還要實(shí)現(xiàn)對(duì)法向接觸力的大小進(jìn)行有效控制以避免損壞玻璃。如果切向接觸力的控制效果不好，機(jī)械臂就無(wú)法與玻璃表面接觸，擦拭玻璃的任務(wù)就會(huì)失??；或者法向接觸力過(guò)大，就會(huì)造成玻璃的損壞[2]。另外，在多軸機(jī)械臂所執(zhí)行的任務(wù)中，對(duì)接觸力的控制要求更為嚴(yán)格。在任務(wù)執(zhí)行的受限運(yùn)動(dòng)中，通過(guò)接觸力控制軌跡以實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的位置變化時(shí)，會(huì)造成力的變化，這就導(dǎo)致了機(jī)械臂位置控制所要求的高剛性與接觸力控制所要求的高柔性之間的矛盾[3]。

本文以六軸機(jī)械臂的機(jī)械結(jié)構(gòu)及其精確建模為基礎(chǔ)，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，通過(guò)聯(lián)合靜態(tài)力學(xué)以及正向和反向運(yùn)動(dòng)力學(xué)分析，采用關(guān)節(jié)空間和笛卡爾空間的軌跡規(guī)劃方法，精確控制關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后通過(guò)仿真平臺(tái)軟件進(jìn)行了平面軌跡定位實(shí)驗(yàn)。

1 六軸聯(lián)動(dòng)機(jī)械臂的機(jī)械結(jié)構(gòu)

六軸聯(lián)動(dòng)機(jī)械臂利用安裝的電機(jī)驅(qū)動(dòng)軸承和連桿，實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)作臂的控制，最終實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)。因此，由多級(jí)電機(jī)驅(qū)動(dòng)的自由臂實(shí)現(xiàn)了多自由度的關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，可以使六軸聯(lián)動(dòng)機(jī)械臂在復(fù)雜的環(huán)境中進(jìn)行操作[4]。六軸機(jī)械臂的關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)分析如圖1 所示。

圖1 六軸聯(lián)動(dòng)機(jī)械臂的機(jī)械結(jié)構(gòu)Fig.1 Mechanical structure of six-axis linkage manipulator

圖1 中，G1 和G2 為2 個(gè)直流電動(dòng)機(jī)，J1 和J2是2個(gè)行星式減速器，C1、C2和C5是等徑傘齒輪，C3 和C4 是雙連桿連接機(jī)構(gòu)。

2 六軸聯(lián)動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)力學(xué)分析

2.1 靜態(tài)力學(xué)分析

如圖2 所示，定義Lei表示六軸聯(lián)動(dòng)機(jī)械臂直線模型中連桿從Q0到Q1的直線距離；Li是運(yùn)動(dòng)模型中連桿從Q0到Q1的運(yùn)動(dòng)長(zhǎng)度；g是重力加速度[5]。在連桿1 和連桿2 的坐標(biāo)系中，F(xiàn)i（i=1,2）表示連桿末端效應(yīng)器處的拉力；Fxi是拉力的水平分量；Fzi是拉力Fi的垂直分量；Xiend、Ziend是末端效應(yīng)器的位置坐標(biāo)，由此可得連桿處于靜態(tài)時(shí)末端效應(yīng)器位置處的運(yùn)動(dòng)公式[6]。

圖2 靜態(tài)力學(xué)分析圖Fig.2 Static mechanics analysis diagram

假設(shè)點(diǎn)Q 在EXZ 坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（xstr，zstr），在e1x1z1或e2x2z2坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（xiend，ziend），可得Q 點(diǎn)在各坐標(biāo)系中位置坐標(biāo)的變換公式[7]。

對(duì)EXZ 坐標(biāo)系中末端效應(yīng)器進(jìn)行靜態(tài)力學(xué)分析。其中，Wi是連桿1 和連桿2 對(duì)末端效應(yīng)器的拉力，F(xiàn)i是力和反作用力。圖3 中，Wxig 和Wzig是X 軸和Z 軸上連桿拉力的分力。在靜態(tài)力學(xué)平衡下，可以得出EXZ 坐標(biāo)系中的受力平衡公式?？梢詮腇xi、Fzi、Wxig 和Wzig 之間的線性關(guān)系得出eixizi和EXZ 之間的坐標(biāo)變換[8]。

圖3 末端效應(yīng)器的靜態(tài)力學(xué)分析Fig.3 Static mechanical analysis of end effectors

2.2 運(yùn)動(dòng)力學(xué)分析

2.2.1 運(yùn)動(dòng)力學(xué)反向分析

六軸聯(lián)動(dòng)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)力學(xué)反向分析是求解未知數(shù)Fxi、Fzi、Li和EXZ 坐標(biāo)系下的末端效應(yīng)器的坐標(biāo)(xstr，zstr)的一種有效方法。

首先在線性模型下求解連桿張力和連桿長(zhǎng)度，然后將該結(jié)果作為運(yùn)動(dòng)模型下的初始值，采用數(shù)值迭代法求解運(yùn)動(dòng)公式。根據(jù)模型分析可得平面機(jī)械圖，如圖4 所示。

圖4 線性模型機(jī)械圖Fig.4 Linear model mechanical drawing

給出Q，Q1和Q2的坐標(biāo)，根據(jù)圖4 可以得到線性模型下連桿的長(zhǎng)度Lei。假設(shè)Qi點(diǎn)的坐標(biāo)為（Qxi，Qzi），末端效應(yīng)器的坐標(biāo)為（x，z），則

當(dāng)連桿直線模型處于平衡時(shí)，對(duì)應(yīng)的雅各布矩陣U 為

根據(jù)力學(xué)平衡公式，從圖4 中可以得出線性模型下連桿拉力公式：

通過(guò)線性公式計(jì)算未知的張力矢量。根據(jù)式（3）、式（4）和連桿的靜態(tài)力學(xué)分析，可得基于運(yùn)動(dòng)學(xué)的力學(xué)公式。

已知量為坐標(biāo)系EXZ 中末端效應(yīng)器Q 的位置坐 標(biāo)（xstr，zstr），未知量為Fx1，F(xiàn)z1，L1，F(xiàn)x2，F(xiàn)z2和L2。6 個(gè)未知量的初始值可由連桿線性模型確定。

式（6）中，X1end，X2end，Z1end和Z2end的值可根據(jù)xstr、zstr和式（3）得到。

2.2.2 運(yùn)動(dòng)力學(xué)正向分析

運(yùn)動(dòng)力學(xué)正向分析是運(yùn)動(dòng)力學(xué)反向分析的相反過(guò)程。式（5）中，L1和L2作為已知量，F(xiàn)x1、Fz1、Fx2、Fz2、Xiend和Ziend為未知量。當(dāng)使用數(shù)值方法求解非線性公式時(shí)，在線性模型下得到的拉力Wi、Xiend和Ziend也被作為初始值。首先，將已知量L1和L2視為線性模型下的連桿長(zhǎng)度，利用幾何方法得到EXZ 下末端執(zhí)行器的坐標(biāo)，如圖5 所示。

圖5 直線模型的幾何關(guān)系圖Fig.5 Geometric diagram of a linear model

3 實(shí)驗(yàn)分析

為了證明本文研究所提方案的有效性，在MATLAB 中利用MATLAB Robotics 工具箱進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。通過(guò)對(duì)比計(jì)算結(jié)果，驗(yàn)證了六軸聯(lián)動(dòng)機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)模型建立和求解的正確性。設(shè)置機(jī)械臂的初始位置為（0，0），讓機(jī)械臂沿2 cm×2 cm 的矩形路徑和半徑為2 cm 的圓形路徑運(yùn)動(dòng)。通過(guò)人工控制定位進(jìn)行比較和參考，得到最佳控制參數(shù)。

由圖6 可知，通過(guò)修正機(jī)械臂定位和運(yùn)動(dòng)誤差，定位精度呈現(xiàn)縮小趨勢(shì)。與人工定位相比，機(jī)械臂的跟蹤誤差在中心點(diǎn)逐漸收斂，并趨于較小的誤差。為了驗(yàn)證控制算法的精度控制誤差范圍，對(duì)迭代循環(huán)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了測(cè)試，如圖7 所示。

圖6 六軸機(jī)械臂的定位和分布比較Fig.6 Comparison of positioning and distribution of six-axis manipulator

圖7 中，在多次迭代過(guò)程中，一段時(shí)間內(nèi)的自由隊(duì)形軌跡分布基本控制在0.2 mm 以內(nèi)。由于控制算法的模糊效應(yīng)是對(duì)精度的修正，所以脈沖運(yùn)動(dòng)與控制邏輯設(shè)計(jì)基本一致，滿足精度的控制要求。

圖7 六軸機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)軌跡的迭代測(cè)試Fig.7 Iterative testing of motion trajectory of six-axis manipulator

經(jīng)過(guò)計(jì)算和求解，可以通過(guò)仿真得出連續(xù)執(zhí)行情況下的末端效應(yīng)器的精度模型，如圖8 所示。

圖8 連續(xù)執(zhí)行運(yùn)動(dòng)力學(xué)分析精度模型Fig.8 Precision model of continuous execution kinematic mechanics analysis

由圖8 可見(jiàn)，結(jié)果與模型的預(yù)期形狀特征是一致的。在末端效應(yīng)器的工作空間中選擇一個(gè)子區(qū)間，在這個(gè)子區(qū)間內(nèi)選擇大量的不同位置的坐標(biāo)進(jìn)行模擬計(jì)算的反復(fù)測(cè)試，結(jié)果表明該算法可以使運(yùn)動(dòng)力學(xué)正向解和反向解是一致的。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)機(jī)械臂的靜態(tài)力學(xué)分析，進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，將機(jī)械臂在約束空間的動(dòng)態(tài)模型轉(zhuǎn)換為擴(kuò)展空間的動(dòng)態(tài)模型，針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)的位置/力學(xué)建模分析，對(duì)重構(gòu)的模型進(jìn)行靜態(tài)和動(dòng)態(tài)分析，降低了優(yōu)化后的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變，從而設(shè)計(jì)和優(yōu)化六軸機(jī)械臂的平行牽引控制。在MATLAB Robotics 工具箱中建立模型，對(duì)機(jī)械臂的正向和反向運(yùn)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題進(jìn)行求解和仿真，完成了機(jī)械臂的軌跡規(guī)劃。仿真結(jié)果證明，聯(lián)動(dòng)六軸機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)模型具有良好的運(yùn)行穩(wěn)定性，測(cè)試精度和誤差范圍都保持在較好的水平。該方法可應(yīng)用于具有多自由度機(jī)械關(guān)節(jié)的機(jī)器臂，為今后不同復(fù)雜工況下的軌跡規(guī)劃、離線編程和動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)等研究奠定了基礎(chǔ)，為機(jī)器人的廣泛應(yīng)用拓展了空間。