孔喉結(jié)構(gòu)薄膜熱質(zhì)傳遞的分形模型

張杰，張賽，高偉業(yè)，胡世旺，汪振毅

（650500 云南省 昆明市 昆明理工大學(xué) 機電工程學(xué)院）

0 引言

膜是一種典型的多孔介質(zhì)，膜的傳熱傳質(zhì)特性是影響系統(tǒng)性能的關(guān)鍵因素，其傳熱傳質(zhì)特性已經(jīng)成為工業(yè)領(lǐng)域的研究和應(yīng)用熱點[1-4]。蘇銘[5]等認(rèn)為膜的熱質(zhì)傳遞過程受氣體和溫度的影響，建立了氣體通過膜介質(zhì)的宏觀傳熱傳質(zhì)模型。但孔隙微觀結(jié)構(gòu)對膜介質(zhì)的傳熱傳質(zhì)也具有重要影響[6-7]；Zheng[8]等基于平行毛細(xì)管束模型，運用分形理論得出了氣體擴(kuò)散系數(shù)與多孔介質(zhì)的面積分形維數(shù)、迂曲分形維數(shù)的關(guān)系。而實際上，孔隙之間往往相互交錯，存在著多孔連通的情況；張賽[9]等考慮了孔的連通性，推導(dǎo)出了在孔道直徑均勻不變情況下的氣體擴(kuò)散系數(shù)分形模型。實際孔道中，存在收縮孔道和擴(kuò)張孔道（孔喉結(jié)構(gòu)）兩種情況[10]。王世芳[11]等、Wu[12]等考慮了孔道收縮和擴(kuò)張的情況，假設(shè)孔道由正弦形彎曲毛細(xì)管組成，得到了多孔介質(zhì)傳熱傳質(zhì)的分形模型，然而自然界中多孔介質(zhì)孔道并不是精確的呈正弦形結(jié)構(gòu)；鄭坤燦[13]等基于孔喉模型，運用分形理論，推導(dǎo)了多孔介質(zhì)的對流換熱系數(shù)關(guān)聯(lián)式，其關(guān)聯(lián)式與傳統(tǒng)對流換熱準(zhǔn)則方程較為一致，但是該模型是經(jīng)過修正的。本文考慮了膜介質(zhì)內(nèi)部的微觀結(jié)構(gòu)以及膜介質(zhì)內(nèi)部孔道相互交錯的情況，運用分形理論，推導(dǎo)出了氣體通過膜介質(zhì)的流速模型、擴(kuò)散系數(shù)模型和換熱系數(shù)模型，并且分析了多孔介質(zhì)結(jié)構(gòu)參數(shù)對氣體流速的影響、流速對擴(kuò)散系數(shù)和換熱系數(shù)的影響。模型中的參數(shù)均有實際的物理意義，對膜介質(zhì)傳熱傳質(zhì)過程的描述會更加準(zhǔn)確。

1 膜介質(zhì)孔特征參數(shù)

1.1 孔道分形特征

膜介質(zhì)孔隙數(shù)目與孔隙大小滿足式（1）[14]：

式中：N——孔道長度L 大于直徑λ的孔隙數(shù)目；λmax——最大孔隙直徑，m；Df——面積分形維數(shù)。Df由式（2）確定：

式中：dE——歐幾里德維數(shù)。

式（2）表明，當(dāng)孔隙率ε=1 時，dE=Df，即孔道空間是規(guī)則的。本文建立的相關(guān)模型都是二維平面上的，所以孔隙率滿足式（3）[15]：

在λ到λ+dλ區(qū)間內(nèi)對式（1）進(jìn)行微分，得到此區(qū)間內(nèi)的孔隙數(shù)目為

式（4）中，-dN（λ）>0。式（4）表明孔隙數(shù)目隨孔隙直徑的增大而減少。氣體通過膜介質(zhì)時，孔道是復(fù)雜且無序的，根據(jù)Yu 和Cheng[16]的分形模型，氣體通過單根毛細(xì)管道的實際長度為

式中：L0——孔道的特征長度，m，本文模型中，孔道的特征長度即為膜介質(zhì)的厚度；Dt——迂曲度分形維數(shù)，且Dt>1。

式中：Ap——孔隙總面積，m2，與膜介質(zhì)面積分形維數(shù)、最大孔隙直徑和孔隙率有關(guān)。

式中：At——橫截面積，m2。

1.2 孔喉結(jié)構(gòu)參數(shù)

氣體在膜介質(zhì)中流動時，其孔道空間由固體顆粒堆積而成。如圖1 形成了大小不同的孔喉結(jié)構(gòu)，孔喉結(jié)構(gòu)連接在一起即為孔道空間。圖2 為局部孔喉結(jié)構(gòu)微觀模型。在該模型中，LBF為喉道直徑(m)，喉道是變化的，即LBF=λ，孔道直徑為LBF+DP，DP為固體顆粒直徑(m)，則最大孔徑大小隨喉道直徑和固體顆粒直徑變化的關(guān)系為

圖1 顆粒堆積三維模型Fig.1 Three-dimensional model of particle accumulation

圖2 孔喉結(jié)構(gòu)二維模型Fig.2 Two-dimensional model of pore-throat structure

式（8）表明，孔道直徑大小隨固體顆粒直徑和喉道直徑的變化而變化。該模型的孔喉比為

如圖2 所示，擴(kuò)張孔道的孔隙面積為

由圖2 可以看出，固體顆粒突出在孔道空間中，其占孔道空間的面積為

則氣體流過單個孔喉模型的有效面積為：

式（12）表明，氣體在孔道中流動的面積與喉道直徑和固體顆粒直徑有關(guān)，固體顆粒直徑一定時，其流動面積隨喉道直徑的增大而增大。

2 理論模型

2.1 氣體流速的分形模型

氣體通過膜介質(zhì)時，由于孔道中存在孔喉結(jié)構(gòu)，孔道的收縮和擴(kuò)張會使氣體存在局部動能損失[16]。文獻(xiàn)[17]表明，氣體通過孔喉結(jié)構(gòu)時產(chǎn)生的壓力梯度為

式中：ΔP——壓強差，Pa；u——氣體流速，m/s；ρ——氣體密度，kg/m3；τ——孔道迂曲度。

由式（13）可得，孔喉結(jié)構(gòu)處的壓強差為

聯(lián)合式（4）、式（5）和式（14）得：

式（15）表示了由于孔喉結(jié)構(gòu)、孔隙率、面積分形維數(shù)、迂曲分形維數(shù)和孔隙大小等引起的壓強損失。分析式（15）可發(fā)現(xiàn)，當(dāng)孔隙率減小時，壓強差增大，這與實際情況是一致的。由式（15）可得氣體通過膜介質(zhì)的流速模型為

式（16）是基于分形理論和孔喉結(jié)構(gòu)模型求出的流速模型，此模型中每一個參數(shù)都有其明確的物理意義。式（16）表明，氣體流速與孔喉比、壓強、孔隙率、密度、孔的迂曲分形維數(shù)、孔的面積分形維數(shù)、孔的大小和膜介質(zhì)的厚度等有關(guān)，能真實地描述膜介質(zhì)中孔喉結(jié)構(gòu)作用下氣體的流動機理。上述流速模型包含了2 類參數(shù)，一類為膜介質(zhì)孔結(jié)構(gòu)參數(shù)，另一類為氣體參數(shù)。

2.2 氣體擴(kuò)散的分形模型

前面的分析已經(jīng)指出，孔道空間存在壓強差，壓強的存在促使氣體在孔道空間流動。當(dāng)氣體具有一定的流速u 時，單個孔道空間的流量為

聯(lián)合式（4）和式（12），氣體流過膜介質(zhì)的總流量為

式（18）表明氣體流量隨流速的增大而增大。膜介質(zhì)的質(zhì)量傳遞過程中，氣體通過膜的驅(qū)動力主要為膜兩側(cè)的濃度梯度，根據(jù)Fick 第二定律，通過膜介質(zhì)的氣體流量為

式中：Dk——氣體擴(kuò)散系數(shù)，m/s2；ΔC——膜介質(zhì)兩端的濃度差，mol/L，且ΔC=ΔP/RT，其中，R——氣體常數(shù)（8.314 J/(mol·K)），T——溫度，℃。聯(lián)合式（7）、式（18）和式（19）可得：

式（20）表明，擴(kuò)散系數(shù)Dk與孔隙率、流速、壓強、溫度、面積分形維數(shù)、粒子直徑、最小孔徑、最大孔徑等有關(guān)。顯然，此模型真實地描述了氣體在膜介質(zhì)中的擴(kuò)散機理。

2.3 氣體換熱的分形模型

根據(jù)能量守恒定律，氣體流過膜介質(zhì)時熱量的變化量等于氣體與膜介質(zhì)內(nèi)壁的換熱量：

式中：c——比熱容，J/(kg·℃)；m——質(zhì)量流量，kg/s；hk——換熱系數(shù)，W/(m·2K)；As——膜介質(zhì)孔道內(nèi)表面積；Ts——固體溫度；Tg——氣體溫度；ΔT——膜介質(zhì)兩端的溫度差。

式（21）表明換熱主要由膜介質(zhì)內(nèi)部溫度差引起。

聯(lián)合式（21）和式（22）求得：

式（23）表明換熱系數(shù)與氣體的密度、比熱容、孔道內(nèi)表面積、溫度和氣體流量有關(guān)。將式（23）轉(zhuǎn)換為努賽爾形式：

式中：μ——氣體粘度，Pa·s；k——氣體導(dǎo)熱系數(shù)，W/(m·K)；Nu——努賽爾數(shù)。努賽爾數(shù)與換熱系數(shù)為線性關(guān)系，即努賽爾數(shù)的變化充分體現(xiàn)了膜介質(zhì)換熱系數(shù)的變化。Re——雷諾數(shù)，定義為Re=ρDpu/μ，雷諾數(shù)與粒子直徑、氣體流速、密度和粘度有關(guān)。

3 分析和討論

以上擴(kuò)散系數(shù)與換熱系數(shù)都包含了氣體流速，研究膜介質(zhì)的傳熱傳質(zhì)問題，氣體流速是不可忽略的重要因素。

圖3 為膜介質(zhì)擴(kuò)散系數(shù)模型與文獻(xiàn)[18]實驗數(shù)據(jù)的對比圖。由圖3 可見，擴(kuò)散系數(shù)理論模型與實驗數(shù)據(jù)吻合度較高。該模型是根據(jù)氣流速度推導(dǎo)得到的，本文根據(jù)Ding 的實驗數(shù)據(jù)[29]，計算得到氣流速度并取u=1.5 m/s，此外λmin/λmax≈0.001。由圖3 可知，隨著孔隙率的增加，氣體擴(kuò)散系數(shù)增大，這是因為孔隙率增大，孔道空間變大，氣體流通性好，而氣流本身具有一定的速度，流通性好則流過孔道的流量增加，所以擴(kuò)散系數(shù)增大。

圖3 擴(kuò)散系數(shù)模型預(yù)測值與實驗數(shù)據(jù)對比Fig.3 Comparison between predicted values of diffusion coefficient model and experimental data

圖4 為式（24）與文獻(xiàn)[20]實驗數(shù)據(jù)的對比圖，粒子直徑分別取1×10-5m 和2×10-5m。由圖4 可以看出，換熱系數(shù)的分形解與實驗數(shù)據(jù)吻合度較高。隨著雷諾數(shù)的增加，膜介質(zhì)的換熱系數(shù)增加，雷諾數(shù)增大的原因在于氣體流速增大?？梢酝茢?，當(dāng)膜介質(zhì)固體顆粒直徑大小一定時，減小孔喉比，可以提高膜介質(zhì)內(nèi)氣體的換熱能力。

圖4 換熱系數(shù)分形解與實驗數(shù)據(jù)對比圖Fig.4 Comparison between fractal solution of heat transfer coefficient and experimental data

圖5 表示孔喉比對氣體流速的影響。由圖5 可知，隨著孔喉比的增大，氣體流速大小變化顯著，具體表現(xiàn)為固體顆粒直徑大小一定時，孔喉比增大，流速下降，而增大到一定程度時，流速下降趨勢變緩。這是因為孔喉比增大，喉道直徑變小，并且當(dāng)孔喉比增大到一定程度時，意味著孔道空間幾乎被固相占據(jù)，所以氣體通過膜介質(zhì)的阻力變大。由圖5 還可以看出，當(dāng)固體粒子直徑增大時，氣體通過膜介質(zhì)的速度也在變快，這是因為粒子直徑增大時，結(jié)合式（8）分析，孔道直徑在增大，氣體阻力變小，所以流速變快。

圖5 粒子直徑對氣體流速的影響Fig.5 Influence of particle diameter on gas velocity

圖6 為迂曲度分形維數(shù)分別取1.3，1.4，1.5 時，流速隨孔隙率的變化關(guān)系圖。由圖6 可知，隨著迂曲度分形維數(shù)的增大，氣體流速變慢，這是因為迂曲度分形維數(shù)越大，表示毛細(xì)管道越彎曲，氣體通過膜介質(zhì)的路徑變長，且通過膜介質(zhì)時受到的阻力大，氣體的流動能力變差，所以流速變慢。

圖6 迂曲度分形維數(shù)對氣體流速的影響Fig.6 Influence of fractal dimension of tortuosity on gas flow rate

圖7 為不同面積分形維數(shù)情況下氣體流速與孔隙率的關(guān)系圖。由圖7 可知，孔隙率一定時，氣體流速隨著面積分形維數(shù)的增加而減小，這是因為氣體流量一定時，面積分形維數(shù)增大，孔道半徑越均勻，氣體受到的壓強差減小，所以流速變慢。

圖7 面積分形維數(shù)對氣體流速的影響Fig.7 Influence of surface integral dimension on gas velocity

圖8 和圖9 顯示流速對擴(kuò)散系數(shù)和換熱系數(shù)有重要影響。在同一孔隙率情況下，流速變快時，氣體流量增加，所以擴(kuò)散系數(shù)增大，而氣體攜帶了一定的溫度，當(dāng)氣體流量增加，則有更多的氣流參與到換熱過程中，從而使換熱系數(shù)也增大。

圖8 流速對擴(kuò)系數(shù)的影響Fig.8 Influence of flow rate on expansion coefficient

圖9 流速對換熱系數(shù)的影響Fig.9 Influence of flow rate on heat transfer coefficient

圖10 為擴(kuò)散系數(shù)隨迂曲度分形維數(shù)變化的關(guān)系曲線圖。由圖10 可知，迂曲度分形維數(shù)減小時，擴(kuò)散系數(shù)隨著孔隙率的增大而增大，因為孔隙率增大時，孔道空間占比增大。由式（16）可知，氣流速度與孔隙率呈指數(shù)關(guān)系，當(dāng)迂曲度分形維數(shù)減小時，孔道實際長度相應(yīng)地減小，迂曲度分形維數(shù)減小，由圖6可知，氣體流速變快，所以擴(kuò)散系數(shù)增大。

圖10 迂曲度分形維數(shù)對擴(kuò)散系數(shù)的影響Fig.10 Influence of fractal dimension of tortuosity on diffusion coefficient

圖11 表示面積分形維數(shù)分別為1.6，1.7，1.8時，擴(kuò)散系數(shù)與孔隙率的變化關(guān)系圖。由圖11 可知，擴(kuò)散系數(shù)隨著面積分形維數(shù)的增大而增大，這是因為Df增大，意味著孔隙數(shù)目增加，氣體擴(kuò)散自由路徑增加，擴(kuò)散變得容易。

圖11 面積分形維數(shù)對擴(kuò)散系數(shù)的影響Fig.11 Influence of surface integral dimension on diffusion coefficient

圖12 為迂曲度分形維數(shù)對換熱系數(shù)的影響關(guān)系圖。由圖12 可知，迂曲度分形維數(shù)越大，換熱系數(shù)越小，因為Dt增大，通過膜介質(zhì)的氣體流量減小。由式（21）可知，氣體流量減小，則氣體換熱系數(shù)也減小。

圖12 迂曲度分形維數(shù)對換熱系數(shù)的影響Fig.12 Influence of fractal dimension of tortuosity on heat transfer coefficient

圖13 為面積分形維數(shù)對換熱系數(shù)的影響圖。由圖13 可知，隨著Df的增大，孔隙率對換熱系數(shù)的影響越來越顯著。相對于較小的Df與ε，Df與ε增大表示孔道變得均勻且孔隙面積增大，氣體擴(kuò)散變得容易，氣體流量增大，所以換熱系數(shù)越大。

圖13 面積分形維數(shù)對換熱系數(shù)的影響Fig.13 Influence of surface integral dimension on heat transfer coefficient

4 結(jié)論

通過對膜介質(zhì)中孔喉結(jié)構(gòu)模型的理論推導(dǎo)和分析，得出如下結(jié)論：

（1）孔隙內(nèi)部結(jié)構(gòu)是影響氣體流速的重要因素。氣體流速隨固體顆粒直徑、孔隙率的增大而增大，隨孔喉比、面積分形維數(shù)、迂曲分形維數(shù)的增大而減小。孔隙內(nèi)部結(jié)構(gòu)通過影響氣體流速來影響膜介質(zhì)的傳熱傳質(zhì)特性。流速變快，則通過膜介質(zhì)的流量增大，擴(kuò)散系數(shù)和換熱系數(shù)增大。

（2）對比分析擴(kuò)散系數(shù)與Currie 的氣體擴(kuò)散實驗數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)散系數(shù)與孔隙率0.1～0.6 的不同多孔介質(zhì)實驗數(shù)據(jù)具有較高的一致性，說明此模型適用范圍較廣。

（3）換熱系數(shù)的分形解與實驗數(shù)據(jù)吻合度較高，分形解是基于孔道結(jié)構(gòu)和分形理論求得的，更接近于氣體在孔道內(nèi)部的流動機理，顯然，分形解模型可以指導(dǎo)膜介質(zhì)孔道熱量傳遞更深入的研究。