基于相對(duì)密度核估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)

張江民，石 慧，董增壽

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

近年來(lái)，隨著工業(yè)化設(shè)備不斷地朝著智能化、高性能和復(fù)雜化的方向發(fā)展。這類(lèi)設(shè)備在受到系統(tǒng)內(nèi)部因素和外部環(huán)境因素的影響下設(shè)備發(fā)生故障的概率也隨之增加，設(shè)備故障會(huì)導(dǎo)致其性能和健康狀態(tài)產(chǎn)生一定程度的退化。如果設(shè)備出現(xiàn)大的故障，這不僅造成財(cái)政和資源損失重大，也給人民的安全帶來(lái)危險(xiǎn)[1-2]。為此，對(duì)設(shè)備進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)和剩余壽命預(yù)測(cè)有著十分重要的研究?jī)r(jià)值和意義。現(xiàn)研究階段可將剩余壽命預(yù)測(cè)的方法大致分為基于物理失效模型、基于知識(shí)表示和數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法[3]。面對(duì)復(fù)雜化的設(shè)備，獲得物理模型是非常困難的事，知識(shí)表示的方法更適合于定性推理而不太適合定量計(jì)算，且難以獲得完整的知識(shí)。因此，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法成為剩余壽命預(yù)測(cè)研究的主流方向[4]。

Si等[5]將數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法的伽馬分布、回歸模型、維納過(guò)程和隨機(jī)濾波模型等[6]壽命預(yù)測(cè)方法進(jìn)行總結(jié)分析。Zhai等[7]提出自適應(yīng)維納過(guò)程的剩余壽命預(yù)測(cè)模型。劉文溢等[8]提出基于高階隱半馬爾科夫模型的剩余壽命預(yù)測(cè)模型。上述數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法大部分需要假設(shè)退化模型和參數(shù)估計(jì)，并且參數(shù)估計(jì)法對(duì)模型選擇有局限性，過(guò)分依賴(lài)概率密度函數(shù)形式的先驗(yàn)界定，所以不能確保預(yù)測(cè)模型的精確性和適用性。隨著工業(yè)系統(tǒng)復(fù)雜化的發(fā)展，機(jī)器學(xué)習(xí)作為數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法，裴洪等對(duì)基于機(jī)器學(xué)習(xí)的預(yù)測(cè)方法從淺層和深度學(xué)習(xí)兩方面進(jìn)行了詳細(xì)分析總結(jié)。其中，基于深度學(xué)習(xí)的預(yù)測(cè)方法有強(qiáng)大的特征提取能力，不需要事先對(duì)未知的退化模型假設(shè)，是目前剩余壽命預(yù)測(cè)應(yīng)用上的主流方法。Zhang等[9]提出用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法對(duì)設(shè)備進(jìn)行預(yù)測(cè)。Li等[10]利用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法進(jìn)行壽命預(yù)測(cè)。而Chen等[11]結(jié)合了Guo等[12]和Li等兩種方法的優(yōu)勢(shì)提出了一種基于端到端可訓(xùn)練卷積遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)械健康指標(biāo)構(gòu)建方法。張繼冬等[13]提出一種基于全卷積變分自編碼網(wǎng)絡(luò)的軸承剩余壽命預(yù)測(cè)方法。上述機(jī)器學(xué)習(xí)的方法，它的算法在適應(yīng)制造系統(tǒng)和過(guò)程的復(fù)雜和非線性特性方面往往受到限制，而且其模型內(nèi)部結(jié)構(gòu)稱(chēng)為‘黑盒子’，不能夠清楚地表征系統(tǒng)退化特征的變化，且網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)過(guò)程中隨著輸入的不斷增加，參數(shù)調(diào)節(jié)不能保證全局最優(yōu)，從而使系統(tǒng)的剩余壽命預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性受到影響。

核密度估計(jì)的方法是對(duì)數(shù)據(jù)分布不附加任何假設(shè)，從數(shù)據(jù)本身出發(fā)研究數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)的非參數(shù)估計(jì)方法[14]。該方法避免了大部分?jǐn)?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)方法需要模型假設(shè)和參數(shù)估計(jì)的問(wèn)題以及避免了機(jī)器學(xué)習(xí)的不足。因此，核密度估計(jì)方法在剩余壽命預(yù)測(cè)技術(shù)上的應(yīng)用受到學(xué)者們的高度關(guān)注和重視。現(xiàn)有的核密度估計(jì)模型中，Hu等[15]用非參數(shù)核估計(jì)的方法對(duì)風(fēng)速建模評(píng)估系統(tǒng)可靠性。Sidibé等[16]針對(duì)不同運(yùn)行環(huán)境對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)退化狀態(tài)的作用，提出用兩個(gè)函數(shù)建模的方法對(duì)系統(tǒng)可靠性進(jìn)行了計(jì)算。楊楠等[17]提出一種基于非參數(shù)核密度估計(jì)的風(fēng)功率波動(dòng)性概率密度建模方法，并針對(duì)模型帶寬選擇問(wèn)題，構(gòu)造一種以擬合優(yōu)度檢驗(yàn)為約束條件的帶約束帶寬優(yōu)化模型。李存華等[18]將核密度估計(jì)方法應(yīng)用在聚類(lèi)算法的構(gòu)造上，提出基于網(wǎng)格數(shù)據(jù)重心的分箱核估計(jì)近似方法。上述文獻(xiàn)中核估計(jì)窗寬的選取大部分采用的是固定的窗口寬度，將固定值作為窗寬會(huì)造成樣本點(diǎn)分散的區(qū)域擬合度低，密集的區(qū)域擬合度過(guò)高。為了解決固定窗寬的不足，趙淵等[19]提出一種非參數(shù)多變量核密度估計(jì)負(fù)荷模型研究的方法，該方法在核估計(jì)窗寬選擇上實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)選取窗寬。顏偉等[20]針對(duì)核估計(jì)中最優(yōu)帶寬選取的重要性，提出一種不依賴(lài)總體真實(shí)分布的最優(yōu)帶寬改進(jìn)模型。為了提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性，張衛(wèi)貞等提出的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)方法，將積分均方誤差方法引入核估計(jì)窗寬的選擇上實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)窗寬選取。上述方法能夠自適應(yīng)的選擇窗寬和實(shí)現(xiàn)了特征退化分布和剩余壽命預(yù)測(cè)的實(shí)時(shí)更新，但是在數(shù)據(jù)分布不均勻的、變密度的樣本處選擇窗寬的合理性有待提高。而且現(xiàn)有核密度估計(jì)模型在有界支持[0,+∞]上的核估計(jì)量在0附近是有偏的，并且從支持的原點(diǎn)引入了一個(gè)值為-h的左移。會(huì)使得剩余壽命估計(jì)的準(zhǔn)確度降低，Silverman[21]提出對(duì)有界支持[0,+∞]的對(duì)數(shù)變換；這樣就可以處理無(wú)界支持[-∞,+∞]；這種轉(zhuǎn)換減少了零附近的初始偏差。在Silverman的基礎(chǔ)上Saoudi等[22]提出微分同胚變換的方法，該方法除了在邊界附近是弱偏差外，且還滿足核密度估計(jì)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，即一致性、漸近正態(tài)性和非偏性。Sidibé等針對(duì)不同環(huán)境下維修優(yōu)化問(wèn)題，提出了核微分同胚可靠性函數(shù)估計(jì)方法，并與J-Sh變換法[23]進(jìn)行比較，結(jié)果表明核微分同胚估計(jì)具有更好的收斂性，能夠更好的解決邊界偏移問(wèn)題。

鑒于此，本文提出了一種相對(duì)密度核估計(jì)的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)方法。首先，建立非參數(shù)核密度估計(jì)剩余壽命預(yù)測(cè)模型，利用k近鄰距離計(jì)算樣本點(diǎn)的相對(duì)密度來(lái)構(gòu)造自適應(yīng)相對(duì)密度窗寬模型，以能夠?qū)θ我庑螤?，密度不均勻的?shù)據(jù)集進(jìn)行有效分析，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的密度自適應(yīng)地選擇窗寬值進(jìn)行自適應(yīng)核密度估計(jì)，即高密度區(qū)域采用較小的核窗寬，而低密度區(qū)域采用較大的核窗寬，以提高核密度估計(jì)的準(zhǔn)確性。其次，在剩余壽命預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建上，引入微分同胚映射的方法來(lái)解決預(yù)測(cè)在邊界的偏差性和無(wú)界性，該方法利用微分同胚變換將有界隨機(jī)變量變換到整個(gè)實(shí)數(shù)域，從而轉(zhuǎn)換為傳統(tǒng)意義上的核密度估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行求解，從而提高預(yù)測(cè)的平滑性和準(zhǔn)確性。通過(guò)相對(duì)密度核估計(jì)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型實(shí)時(shí)更新的遞推算法，以避免每增加一個(gè)樣本數(shù)據(jù)就要進(jìn)行一次計(jì)算帶來(lái)計(jì)算量復(fù)雜問(wèn)題。最后，采用齒輪磨損試驗(yàn)和滾動(dòng)軸承的加速壽命試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證本文模型的有效性和準(zhǔn)確性。

1 核密度估計(jì)模型

核密度估計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)分布不附加任何假定，是一種從數(shù)據(jù)本身出發(fā)，用來(lái)估計(jì)未知變量的概率密度函數(shù)的方法。其由已知的N個(gè)樣本點(diǎn)，通過(guò)選擇任意核函數(shù)(如高斯核函數(shù))及窗寬得到N個(gè)核函數(shù)，再線性疊加形成核密度的估計(jì)函數(shù)。例如，對(duì)樣本集為

在現(xiàn)有的研究中，自適應(yīng)窗寬的窗寬選擇法已經(jīng)成為一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)，該方法能夠在監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)變化的情況下，自適應(yīng)的選擇合理的窗寬，也能解決固定窗寬帶來(lái)數(shù)據(jù)擬合不足和過(guò)度的問(wèn)題。而通過(guò)k近鄰思想[24]計(jì)算樣本點(diǎn)的相對(duì)密度，其能通過(guò)樣本點(diǎn)之間的k近鄰距離范圍判斷出各樣本點(diǎn)與其周?chē)鷺颖军c(diǎn)的稀疏和密集程度，從而選擇合理的相對(duì)密度。此外，相對(duì)密度的思想本質(zhì)就是直接對(duì)數(shù)據(jù)分析計(jì)算來(lái)判斷密度的大小，與核密度估計(jì)思想不謀而合，而且能夠?qū)θ我庑螤畹臄?shù)據(jù)集進(jìn)行快速、準(zhǔn)確地識(shí)別樣本的中心。因此可以將k近鄰思想計(jì)算樣本點(diǎn)的相對(duì)密度引入自適應(yīng)窗寬來(lái)提高核密度估計(jì)的準(zhǔn)確性。

中國(guó)乳制品進(jìn)口價(jià)格的由乳制品的進(jìn)口數(shù)量和乳制品的進(jìn)口金額獲得。其選取的樣本區(qū)間為2006—2016年，記作ln P。

x={x1=-2.1,x2=-1.3,x3=-0.4,x4=1.9,x5=5.1,x6=6.2}的核密度估計(jì)擬合結(jié)果如圖1所示。

深諳選擇重要的劉備，對(duì)關(guān)、張的行為提出批評(píng)。說(shuō)“孤之有孔明，猶魚(yú)之有水也。愿諸君勿復(fù)言”?？纯?，劉備的著眼點(diǎn)，是為合作者，打造能夠干事的平臺(tái)。后來(lái)的實(shí)踐，更證明諸葛亮選擇的重要。反過(guò)來(lái)，平臺(tái)步步驚心、處處障礙，正確的得不到弘揚(yáng)，錯(cuò)誤的卻左右大局，結(jié)果只有一個(gè)，逼著合作者“重新選擇”。

圖1 核密度估計(jì)示意圖Fig.1 Schematic diagram of kernel density estimation

(1)

式中：h為窗寬；K(·)為核函數(shù)；n為樣本數(shù)。其中，核密度估計(jì)取決于K(·)和h的選擇。

核函數(shù)作為影響核密度估計(jì)的一個(gè)因素，一般情況下任何函數(shù)都可作為核函數(shù)，常用的有四次核、均勻核、三角核和高斯核。核函數(shù)的選擇對(duì)核密度估計(jì)的準(zhǔn)確度作用不大。本文選用廣泛應(yīng)用的高斯核函數(shù)。

(2)

(1)固定窗寬是在核密度估計(jì)時(shí)采用固定不變的值。這種選取窗寬的方法一般會(huì)導(dǎo)致核估計(jì)在低密度區(qū)擬合不足，高密度區(qū)過(guò)度擬合。通過(guò)圖2可以清楚的分析出固定窗寬的不足之處。

圖2 固定窗寬下的核密度估計(jì)示意圖Fig.2 Kernel density estimation with fixed window width

圖2為固定窗寬h1=12，在四組樣本數(shù)據(jù)密度不同情況下的核密度估計(jì)示意圖，由圖可知在數(shù)據(jù)不足的區(qū)間，核估計(jì)欠擬合；在數(shù)據(jù)集中的區(qū)域，核估計(jì)過(guò)度擬合。

(2)目前自適應(yīng)窗寬是窗寬選擇的主流方向，其本質(zhì)是隨著樣本點(diǎn)的增加能夠自適應(yīng)的選取窗寬，提高估計(jì)準(zhǔn)確度。在現(xiàn)有研究階段常用的自適應(yīng)窗寬方法大多采用的是通過(guò)式(3)積分均方誤差求其最小值得到初始最優(yōu)窗寬hn。

(3)

通過(guò)以上遞推可知，當(dāng)任意tn+j時(shí)刻增加j個(gè)樣本時(shí)，n+j個(gè)樣本數(shù)據(jù)的核密度估計(jì)可遞推為

(4)

將高斯核函數(shù)代入式(4)可求出hn為

(5)

式中，σn為n個(gè)初始樣本特征退化增量的方差。

1.2.1 細(xì)胞培養(yǎng)及轉(zhuǎn)染 SHG-44細(xì)胞用含10%胎牛血清的RPMI-1640培養(yǎng)基于37℃、5%CO2的培養(yǎng)箱內(nèi)培養(yǎng)，根據(jù)Lipofectamine2000操作說(shuō)明轉(zhuǎn)染miR-543 mimic及mimic NC序列、miR-543 inhibitor及inhibitor NC序列。實(shí)驗(yàn)分為5組:Con-trol(對(duì)照組)、mimic NC組、inhibitor NC組、miR-543 mimic組和 miR-543 inhibitor組。細(xì)胞轉(zhuǎn)染48 h后，進(jìn)行后續(xù)實(shí)驗(yàn)。

上述自適應(yīng)窗寬方法在實(shí)際應(yīng)用中，解決了樣本數(shù)據(jù)在實(shí)時(shí)變化下選取窗寬以及固定窗寬造成過(guò)(欠)擬合問(wèn)題。如果樣本接近于正態(tài)分布時(shí)，選取該方式是最優(yōu)選擇。但是當(dāng)真實(shí)分布為非對(duì)稱(chēng)或者多峰時(shí)，該方法可能導(dǎo)致過(guò)度平滑，準(zhǔn)確性有待提高。

2 相對(duì)密度窗寬的確定

其四，“此在單元”的微觀視域是推動(dòng)中國(guó)城市社會(huì)發(fā)展的落腳點(diǎn)?！按嗽趩卧笔遣煌募彝?、社區(qū)、日常生活的實(shí)在場(chǎng)域，是人們的共性與個(gè)性基本關(guān)聯(lián)單位，城市命運(yùn)共同體合理性構(gòu)建是宏觀性政策與各項(xiàng)制度實(shí)現(xiàn)的合法性路徑與社會(huì)發(fā)展的穩(wěn)定基礎(chǔ)?！按嗽趩卧敝g的差異性及其共融性，是宏觀環(huán)境正義化與公平化在實(shí)踐中使人們獲取幸福感和滿足感，以及實(shí)現(xiàn)人的自由全面發(fā)展的價(jià)值所在。因此，鼓勵(lì)民間社會(huì)組織的發(fā)展，細(xì)心經(jīng)營(yíng)家庭與社區(qū)的緊密性，給城市社會(huì)不斷注入活力且形成城市行動(dòng)與行為合力，是克服奧爾森所指出的“集體行動(dòng)悖論”的有效方式。

從世界范圍看，城市基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目投資的特點(diǎn)是投資量大、回收時(shí)間長(zhǎng)，只有通過(guò)收費(fèi)、享受政策優(yōu)惠或得到政府補(bǔ)貼才能彌補(bǔ)經(jīng)營(yíng)虧損。引進(jìn)社會(huì)資本是解決政府一次性投入不足的辦法，但前提一是要有完善的基礎(chǔ)設(shè)施投資、建設(shè)、運(yùn)營(yíng)的市場(chǎng)化環(huán)境，二是創(chuàng)新融資方式和金融工具使社會(huì)資本大規(guī)模進(jìn)入。資本的本性決定了只有能產(chǎn)生收益的項(xiàng)目才能成為其追逐的對(duì)象，政府在一定范圍內(nèi)通過(guò)價(jià)格調(diào)整減少乃至消除投資帶來(lái)的虧損，是投資建設(shè)必要的前提。因此，垃圾處理的市場(chǎng)化基礎(chǔ)是建立收費(fèi)制度，同時(shí)政府有足夠的經(jīng)濟(jì)能力。德國(guó)是世界上實(shí)施垃圾收費(fèi)制度最有效的國(guó)家之一，垃圾處理價(jià)格機(jī)制非常完善，使垃圾處理設(shè)施的建設(shè)投資和運(yùn)營(yíng)費(fèi)用有了可靠保證。

2.1 相對(duì)密度的模型建立

假設(shè)x1，x2,…,xi,…,xn為n個(gè)樣本點(diǎn)并用數(shù)據(jù)集A表示，則相對(duì)密度的模型建立過(guò)程如下：

步驟1計(jì)算樣本點(diǎn)xi與樣本點(diǎn)xj的歐式距離

(6)

步驟2計(jì)算樣本點(diǎn)xi的k近鄰距離[25]

k_dist(xi)=d(xi,xj)，并且滿足：

a) 對(duì)于任意正整數(shù)k，在樣本中至少有不包括xi在內(nèi)的k個(gè)點(diǎn)x′j∈A{xi}，則d(xi,x′j)≤d(xi,xj)；

b) 樣本中最多有不包括xi在內(nèi)的k-1個(gè)點(diǎn)x′j∈A{xi}，滿足d(xi,x′j)

式中，k_dist(xi)為樣本點(diǎn)xi的k近鄰距離。

步驟3已知k_dist(xi)，樣本點(diǎn)xi的k距離鄰域可表示為

(7)

式中:Nk(xi)為樣本點(diǎn)xi的k距離鄰域包含到xi的距離不大于k_dist(xi)的所有樣本；x′i為xi的k近鄰；d(xi,x′i)為xi和x′i的歐式距離。

步驟4計(jì)算樣本點(diǎn)xi相對(duì)于xj的可達(dá)距離

為消除核估計(jì)的邊界偏移，使其準(zhǔn)確性提高，對(duì)有界系統(tǒng)退化增量進(jìn)行對(duì)數(shù)核微分同胚變換[26]

比如，跑腿小哥，他們每天“往死里跑單”，跑得多的每天至少有兩三百千米，但是卻沒(méi)有社會(huì)保障。甚至在具體協(xié)議中，由于不存在勞動(dòng)關(guān)系，勞動(dòng)者與平臺(tái)之間不存在繳納相關(guān)社會(huì)保險(xiǎn)的義務(wù)，而勞動(dòng)者由于患病或工作期間負(fù)傷，應(yīng)自行承擔(dān)相關(guān)責(zé)任，與平臺(tái)方無(wú)涉?？梢?jiàn)，零工經(jīng)濟(jì)帶來(lái)了自由和效率，但也讓勞動(dòng)關(guān)系確認(rèn)變得更加復(fù)雜。

(8)

式中：reach_dist(xi,xj)為樣本點(diǎn)xi相對(duì)于xj的可達(dá)距離；d(xi,xj)為樣本點(diǎn)xi與xj之間的歐氏距離，k_dist(xj)為樣本點(diǎn)xj的k近鄰距離。

步驟5計(jì)算樣本點(diǎn)xi的局部可達(dá)密度，可表示為

(9)

式中:lrd(xi)為樣本點(diǎn)xi的k距離鄰域內(nèi)點(diǎn)到xi的平均可達(dá)距離的倒數(shù)；|Nk(xi)|為樣本點(diǎn)xi的k距離鄰域內(nèi)所有樣本。

步驟6樣本點(diǎn)xi的相對(duì)密度ρ(xi)可表示為

(10)

式中：樣本點(diǎn)xj為k距離鄰域內(nèi)所有樣本點(diǎn);lrd(xj)為樣本點(diǎn)xj的局部可達(dá)密度。通過(guò)上述推導(dǎo)將式(9)代入式(10)可推出相對(duì)密度ρ(xi)的表達(dá)式為

處于妊娠期，尤其是對(duì)于孕晚期的產(chǎn)婦來(lái)說(shuō)，其往往會(huì)處于一種致糖尿病狀態(tài)，極容易導(dǎo)致妊娠期糖尿病的發(fā)生[1]。若產(chǎn)婦的機(jī)體無(wú)法自主增加分泌胰島素，來(lái)克服妊娠期出現(xiàn)的胰島素缺乏情況，則會(huì)導(dǎo)致妊娠糖尿病發(fā)生。而隨著妊娠糖尿病發(fā)病情況增加，臨床咋檢驗(yàn)技術(shù)方面也在不斷進(jìn)步，其中糖化血紅蛋白檢測(cè)在臨床中應(yīng)用最為廣泛[2]。該次研究了2016年1月—2017年12月收治的60例妊娠糖尿病患者與60名健康妊娠產(chǎn)婦，分析了妊娠糖尿病篩查中即時(shí)檢驗(yàn)糖化血紅蛋白的應(yīng)用價(jià)值，具體報(bào)道如下。

(11)

從公式不難看出相對(duì)密度ρ(xi)表示的是樣本點(diǎn)xi的局部可達(dá)密度與樣本點(diǎn)xi的k距離鄰域內(nèi)的樣本點(diǎn)|Nk(xi)|的局部可達(dá)密度平均值之比。如果ρ(xi)越接近1，則點(diǎn)xi的鄰域點(diǎn)密度相對(duì)均勻；若ρ(xi)越小于1，則點(diǎn)xi的密度高于其鄰域點(diǎn)密度，xi為密集點(diǎn)；ρ(xi)越大于1，則點(diǎn)xi的密度小于其鄰域點(diǎn)密度，xi為稀疏點(diǎn)。

2.2 自適應(yīng)相對(duì)密度窗寬的確定

樣本點(diǎn)的相對(duì)密度ρ(xi)能夠通過(guò)計(jì)算點(diǎn)之間的距離來(lái)計(jì)算樣本的密度，點(diǎn)之間的距離越大，密度越低；點(diǎn)之間的距離越小，密度越高。而通過(guò)ρ(xi)來(lái)選擇窗寬，能夠根據(jù)ρ(xi)與數(shù)值1之間的大小關(guān)系來(lái)先判斷樣本的疏密程度再選取窗寬，從而在低密集區(qū)域選擇大的窗寬，在高密度區(qū)域選擇小的窗寬。因此，將相對(duì)密度ρ(xi)作為窗寬引入核密度估計(jì)的模型中，從而構(gòu)建相對(duì)密度的核密度估計(jì)表達(dá)式為

(12)

式中：ρ(xi)為不同樣本點(diǎn)處核估計(jì)的相對(duì)密度窗寬，且計(jì)算公式為式(11)所示；K(·)為核函數(shù)。

2.3 自適應(yīng)相對(duì)密度窗寬的實(shí)時(shí)更新

由于在實(shí)際應(yīng)用中樣本數(shù)據(jù)都是實(shí)時(shí)更新的，如果每增加一個(gè)樣本都對(duì)其從頭開(kāi)始計(jì)算，那么計(jì)算量會(huì)隨數(shù)據(jù)的增多變得復(fù)雜化。所以，為使核估計(jì)的計(jì)算性能得到提升，實(shí)現(xiàn)核密度估計(jì)的實(shí)時(shí)更新是不可或缺的。

核密度估計(jì)的實(shí)時(shí)更新用已知的n個(gè)樣本的核估計(jì)推導(dǎo)第n+1個(gè)樣本的核密度估計(jì)。推導(dǎo)過(guò)程如下：

第n個(gè)樣本點(diǎn)的核密度估計(jì)表示為

(13)

第n+1個(gè)樣本點(diǎn)的核密度估計(jì)為

(14)

式中，ρ(xn+1)為樣本點(diǎn)在xn+1處的相對(duì)密度窗寬。

由式(3)求得hn為

(15)

3 特征退化分布的計(jì)算

(16)

式中，ρ(Δxi)(i=1,2,3,…,n)為不同樣本點(diǎn)處的相對(duì)密度窗寬。

圖3 樣本特征退化隨時(shí)間變化的曲線Fig.3 Curve of sample feature degradation over time

(17)

當(dāng)tn+1時(shí)刻增加一新樣本時(shí)，[0,tn+1]的退化量的概率密度函數(shù)如下

(18)

當(dāng)tn+j時(shí)刻新增j個(gè)樣本時(shí)，[0,tn+j]的退化量的概率密度函數(shù)為

(19)

4 剩余壽命預(yù)測(cè)模型

上文引入相對(duì)密度建立核估計(jì)的剩余壽命估計(jì)模型來(lái)保證核估計(jì)的平滑性和收斂性。為了消除傳統(tǒng)核密度估計(jì)的有界偏差問(wèn)題，本文在自適應(yīng)相對(duì)密度的核密度估計(jì)模型的基礎(chǔ)上引入核微分同胚變換的方法，通過(guò)空間映射的方式對(duì)剩余壽命預(yù)測(cè)模型進(jìn)行變換，從而解決核函數(shù)剩余壽命預(yù)測(cè)模型在邊界上估計(jì)的偏差性和無(wú)界性。

4.1 核微分同胚估計(jì)

(20)

式中:K(·)為核函數(shù)；hn為帶寬；φ為隨機(jī)變量從區(qū)間[a,b]～的微分同胚變換；當(dāng)x趨于下限或上限時(shí)，它的一階導(dǎo)數(shù)φ′(x)趨于無(wú)窮。其中，φ(x)和x的關(guān)系式為

φ(x)：[a,b]→,

(21)

4.2 核微分同胚估計(jì)的剩余壽命預(yù)測(cè)模型

設(shè)tn為當(dāng)前時(shí)刻，[0,tn]監(jiān)測(cè)時(shí)間內(nèi)采集到的當(dāng)前樣本退化數(shù)據(jù)，其相應(yīng)的特征退化隨時(shí)間退化的特征增量可以作為隨機(jī)變量Δx∈[0,xth](xth為失效閾值)。

以精神科護(hù)士遭受暴力種類(lèi)、暴力發(fā)生頻次、暴力應(yīng)對(duì)方式、醫(yī)院態(tài)度等作為自變量，以護(hù)士職業(yè)倦怠3個(gè)維度分別作為應(yīng)變量，進(jìn)行多元線性回歸分析，分析結(jié)果見(jiàn)表5～表7。

從廣義角度分析，行政問(wèn)責(zé)制要求國(guó)家行政部門(mén)的人員在行使權(quán)力的過(guò)程中秉承對(duì)人民負(fù)責(zé)的原則，堅(jiān)持以滿足人民的根本利益為目的，實(shí)現(xiàn)權(quán)為民所使、利為民所謀。在行使權(quán)力的過(guò)程中出現(xiàn)的不良后果，人民都能找到具體的行政主體來(lái)承擔(dān)相應(yīng)責(zé)任。在這個(gè)過(guò)程中，人民群眾是主體，政府是問(wèn)責(zé)對(duì)象，政府行政人員在行使權(quán)力的過(guò)程中接受人民群眾的監(jiān)督和質(zhì)詢并承擔(dān)對(duì)應(yīng)的責(zé)任。從狹義角度分析，行政問(wèn)責(zé)制可應(yīng)用于行政部門(mén)對(duì)內(nèi)部相關(guān)行政人員問(wèn)責(zé)的制度。若行政人員在其應(yīng)負(fù)責(zé)的工作中有失職情況，行政部門(mén)可對(duì)相關(guān)行政人員問(wèn)責(zé)。通過(guò)對(duì)失職情況的及時(shí)調(diào)查并追究相應(yīng)責(zé)任，實(shí)現(xiàn)部門(mén)內(nèi)的自我監(jiān)督進(jìn)而實(shí)現(xiàn)權(quán)為民所用。

reach_dist(xi,xj)=max{k_dist(xj),d(xi,xj)}

(22)

由上述將有界隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換到實(shí)數(shù)域上，通過(guò)這種空間映射方式，建立微分同胚的核密度估計(jì)模型有效減少了邊界處的自變量偏移問(wèn)題。

式中：K(·)為核函數(shù)；ρ(xi)為相對(duì)密度窗寬。

設(shè)tn+t時(shí)刻，特征退化量達(dá)到xth(見(jiàn)圖3)時(shí)系統(tǒng)失效。要對(duì)當(dāng)前tn時(shí)刻的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)，可通過(guò)初始時(shí)刻到當(dāng)前tn時(shí)刻的退化量x1∶n(記xn=x(tn)，x1∶n={x1,x2,…,xn})，推出tn+t時(shí)刻的xn+t。設(shè)T為設(shè)備的剩余壽命，則剩余壽命的概率密度分布函數(shù)FT(t)為

賈楠(1983-)，女，遼寧省營(yíng)口人，碩士研究生，畢業(yè)于美國(guó)天普大學(xué)，現(xiàn)有職稱(chēng)：中級(jí)經(jīng)濟(jì)師，研究方向：經(jīng)濟(jì)管理。

通過(guò)對(duì)已知的單位時(shí)間隨機(jī)退化特征增量核微分同胚估計(jì)，用卷積求其特征退化量的概率密度函數(shù)，將對(duì)數(shù)微分同胚變換后[0,tn+t]特征退化量的概率密度記為gd(xn+t)

(25)

剩余壽命預(yù)測(cè)的概率密度為

(26)

在實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的更新下，tn+t時(shí)刻n+t個(gè)樣本核微分同胚變換的相對(duì)密度核估計(jì)為

根據(jù)式(25)和式(27)可推出

1.1 對(duì)象 選取2011年1月—2012年12月在我院兒科實(shí)習(xí)的全日制護(hù)理學(xué)生104名，均為女性。其中本科學(xué)歷38 名，大專(zhuān)學(xué)歷66 名，平均年齡(20.8 ±1.2)，實(shí)習(xí)時(shí)間均為4周。以2011年1—12月實(shí)習(xí)護(hù)生52名為對(duì)照組。以2012年1—12月52名學(xué)生為實(shí)驗(yàn)組，兩組學(xué)生一般資料比較，差異無(wú)統(tǒng)計(jì)學(xué)意義(P＞0.05)。

窗寬h作為影響核密度估計(jì)平滑性和核函數(shù)寬度的主要因素，當(dāng)h較小時(shí)，核密度估計(jì)曲線不夠光滑且曲折，表露了較多細(xì)節(jié)；當(dāng)窗寬較大時(shí)，核密度估計(jì)曲線比較平滑，但掩蓋了較多細(xì)節(jié)。因此，選擇合適的窗寬對(duì)核密度估計(jì)是非常重要的?，F(xiàn)有的研究中核估計(jì)的窗寬分為固定窗寬和自適應(yīng)窗寬。下面分別對(duì)兩種窗寬進(jìn)行介紹，并將其存在的問(wèn)題進(jìn)行分析。

對(duì)于250 MW等級(jí)的發(fā)電電動(dòng)機(jī)，電負(fù)荷一般選取在700～800 A/cm左右，可以獲得合理的利用系數(shù)。另外，從控制熱負(fù)荷、運(yùn)行穩(wěn)定域?qū)捒紤]，選擇360槽方案是比較適宜的。

式中，g(xn+t)為[0,tn+t]特征退化量的概率密度。

在園林綠化施工過(guò)程中，花卉移植是一項(xiàng)非常重要的工作。具體指的是將提前培育好的花卉品種根據(jù)園林設(shè)計(jì)的具體情況進(jìn)行移植，從而達(dá)到布景的效果。移植過(guò)程通?？梢苑譃?個(gè)步驟：起苗和栽植。栽植過(guò)程也被稱(chēng)為定植過(guò)程。有些花卉由于在移植過(guò)程中容易死亡，因此可以通過(guò)有性繁殖的方式，提前在容器或者苗床內(nèi)完成育苗工作，為后續(xù)的定植提供便利條件。具體的栽植方式又可以分為有土和無(wú)土2種［3］。

從而能夠推出tn時(shí)刻系統(tǒng)剩余壽命預(yù)測(cè)的概率密度函數(shù)為

(29)

隨著實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)的進(jìn)行，監(jiān)測(cè)到的樣本數(shù)據(jù)不斷增多，樣本的核密度估計(jì)也隨著不斷更新，采用非實(shí)時(shí)的壽命預(yù)測(cè)模型時(shí)，每新增一個(gè)樣本數(shù)據(jù)，基于這些樣本的核密度估計(jì)都要重新計(jì)算，這樣會(huì)造成歷史樣本不斷重復(fù)計(jì)算，計(jì)算量也會(huì)越來(lái)越大，為避免實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中樣本核密度估計(jì)不斷重復(fù)計(jì)算的問(wèn)題，提出對(duì)核密度估計(jì)模型實(shí)時(shí)更新的遞推算法，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)特征退化分布和實(shí)時(shí)剩余壽命的不斷實(shí)時(shí)更新。

5 實(shí)例分析

5.1 齒輪磨損試驗(yàn)

以齒輪箱的齒輪為研究對(duì)象對(duì)本文模型進(jìn)行驗(yàn)證，圖4為齒輪試驗(yàn)臺(tái)架，其中心距為150 mm，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min。本試驗(yàn)過(guò)程主要是針對(duì)加速度傳感器的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行監(jiān)測(cè)。

圖5介紹了各個(gè)傳感器的分布，1#～8#為加速度傳感器(4#裝設(shè)在軸承座的徑向)；在主試箱和陪試箱的正上方40 cm處安裝了9#和10#為聲音傳感器；齒輪箱的溫度是通過(guò)主試箱內(nèi)的11#溫度傳感器來(lái)測(cè)。采用快速測(cè)定法，加載了八級(jí)載荷，在第八級(jí)載荷發(fā)生斷齒。本試驗(yàn)主要對(duì)4#傳感器記錄齒輪箱在第八級(jí)載荷的加速度數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。采樣頻率為25.6 kHz，每次持續(xù)60 s，每9 min記錄一次數(shù)據(jù)。

為了能夠更好的展現(xiàn)退化趨勢(shì)，可通過(guò)采用均方幅值方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取，減少后期預(yù)測(cè)中的誤差。求得采樣信號(hào)的均方幅值為

(30)

式中：n為采樣點(diǎn)數(shù)；yj為初始振動(dòng)信號(hào)；yi為均方根幅值。

圖6為特征值隨監(jiān)測(cè)時(shí)間變化曲線。由圖6可看出，該特征提取方法可以很好的把齒輪箱退化趨勢(shì)展示出來(lái)。

圖6 特征值隨監(jiān)測(cè)時(shí)間變化曲線Fig.6 Curve of characteristic values changing with monitoring time

由圖6知，在t∈[0,10]h時(shí)，齒輪處于嚙齒階段；t∈[10,68]h時(shí)，特征值逐漸增大，齒輪進(jìn)入正常磨損；t∈[68,77]h時(shí)，齒輪磨損加劇，在77.17 h發(fā)生斷齒，此時(shí)齒輪的故障閾值為y=76.325 mm/s2。

5.1.1 自適應(yīng)相對(duì)密度窗寬的確定

通過(guò)前文提出的自適應(yīng)相對(duì)密度方法對(duì)核密度估計(jì)的窗寬進(jìn)行選取。圖7給(a)～圖7(c)分別給出了t=40 h,t=70 h,t=77 h三個(gè)不同時(shí)刻樣本點(diǎn)的相對(duì)密度窗寬選取。圖中：“o”為特征退化增量樣本值；“*”為相對(duì)密度窗寬值從而可看出，隨著樣本數(shù)據(jù)的增多，相對(duì)密度窗寬方法能夠自適應(yīng)的選取窗寬，在不同樣本密度下能夠選擇出合適的窗寬。

圖7 不同時(shí)刻樣本相對(duì)密度窗寬的選取Fig.7 Selection of window width of relative density of samples at different moments

5.1.2 齒輪的實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)

用本文模型對(duì)齒輪實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)，得到圖8所示的自適應(yīng)相對(duì)密度核估計(jì)的剩余壽命預(yù)測(cè)估計(jì)值與實(shí)際值在實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)下不同監(jiān)測(cè)時(shí)間的比較圖。其中，剩余壽命預(yù)測(cè)值通過(guò)平均剩余壽命求得

(31)

由圖8分析可得，在初始階段由于樣本數(shù)據(jù)少，剩余壽命的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差較大；隨著監(jiān)測(cè)時(shí)間的變化，樣本的增多，剩余壽命的概率密度越來(lái)越高，越來(lái)越窄，方差逐漸越小，預(yù)測(cè)值逐漸貼近實(shí)際值，表明預(yù)測(cè)的剩余壽命愈加準(zhǔn)確。(圖8中：‘*’為估計(jì)值；‘o’為實(shí)際值)

圖8 不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻的概率密度函數(shù)Fig.8 Probability density function at different monitoring moments

為了更加清楚地分析不同時(shí)刻剩余壽命的概率密度比較，表1給出了本文所提方法的剩余壽命預(yù)測(cè)值和實(shí)際值的均方根誤差。由表1中數(shù)據(jù)可以分析出，在監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的實(shí)時(shí)更新，隨著樣本數(shù)據(jù)的不斷增多，預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的誤差逐漸變小，驗(yàn)證了本文方法的可行性。

表1 剩余壽命預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較Tab.1 Comparison of predicted and actual values of remaining life

5.1.3 基于固定、積分均方誤差和相對(duì)密度三種窗寬準(zhǔn)確性比較

在實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)下，隨著數(shù)據(jù)的不斷變化，要使選擇的窗寬能夠滿足自適應(yīng)地在密度小的區(qū)間選擇較大的窗寬，在密度大的區(qū)間選擇較小的窗寬。

圖9和圖10分別給出了監(jiān)測(cè)時(shí)間t=40 h和t=70 h時(shí)基于固定窗寬、自適應(yīng)大拇指法則窗寬與自適應(yīng)相對(duì)密度窗寬三種窗寬的核估計(jì)概率密度的比較(圖中：‘*’為估計(jì)值；‘o’為實(shí)際值)。

圖9 t=40 h的核估計(jì)概率密度比較Fig.9 Comparison of kernel estimate probability density for t=40 h

圖10 t=70 h的核估計(jì)概率密度比較Fig.10 Comparison of kernel estimate probability density for t=70 h

由圖可知，基于自適應(yīng)相對(duì)密度窗寬的方法與其他兩種窗寬的方法相比，其結(jié)果更接近實(shí)際值。隨著監(jiān)測(cè)時(shí)間的變化，樣本數(shù)據(jù)的不斷增加，三個(gè)窗寬下的剩余壽命估計(jì)值與實(shí)際值之間的誤差會(huì)逐漸變小，而本文相對(duì)密度窗寬的方法相較于其他方法預(yù)測(cè)結(jié)果的誤差相對(duì)更小。從整體分析來(lái)說(shuō)，本文所提的相對(duì)密度窗寬在核估計(jì)時(shí)可以更好的將數(shù)據(jù)擬合，并能更加準(zhǔn)確的對(duì)概率密度函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而使剩余壽命預(yù)測(cè)的可靠性和準(zhǔn)確度進(jìn)一步提高。

5.1.4 核估計(jì)的邊界偏移問(wèn)題

在剩余壽命預(yù)測(cè)上，為了消除核估計(jì)的邊界偏移問(wèn)題，對(duì)有界隨機(jī)變量進(jìn)行對(duì)數(shù)核微分同胚變換將定義域轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)域上，再用核密度估計(jì)進(jìn)行概率密度估計(jì)，從而提高預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。圖11和圖12給出在t=40 h和t=70 h兩個(gè)不同時(shí)刻下本文提出模型與傳統(tǒng)核密度估計(jì)模型在核估計(jì)的偏差問(wèn)題的比較。

圖11 t=40 h的核估計(jì)偏差比較Fig.11 Comparison of kernel estimation deviations for t=40 h

從圖中可以看出，兩個(gè)不同時(shí)刻都反映出傳統(tǒng)核密度估計(jì)存在有界性產(chǎn)生的邊界偏差問(wèn)題，而本文提出的方法經(jīng)過(guò)核微分同胚變換將定義域轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)域上，有效的消除了核估計(jì)的邊界偏差。因此，本文提出的模型能夠有效解決邊界偏移問(wèn)題，提高了剩余壽命預(yù)測(cè)可靠性和準(zhǔn)確性。

圖12 t=70 h核估計(jì)偏差比較Fig.12 Comparison of deviation of kernel estimation for t=70 h

5.1.5 不同模型比較

目前在機(jī)器學(xué)習(xí)的剩余壽命預(yù)測(cè)方法中LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)于故障時(shí)間序列有著較好的預(yù)測(cè)效果；Gamma過(guò)程和Wiener過(guò)程是兩個(gè)最常用隨機(jī)過(guò)程退化建模的方法，在壽命預(yù)測(cè)建模中應(yīng)用較多。因此，為了驗(yàn)證本文模型的精確度，采用上述三種方法與本文模型進(jìn)行比較分析。

(1)采用Zhang等的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)齒輪進(jìn)行了剩余壽命預(yù)測(cè)。圖13(a)為周期數(shù)為420(10 min)，即70 h時(shí)預(yù)測(cè)的剩余壽命結(jié)果，在周期數(shù)為455(10 min)時(shí)，達(dá)到閾值76.325 mm/s2，故其預(yù)測(cè)的剩余壽命為455-420=35(10 min)=5.83 h。圖13(b)為周期數(shù)為450(10 min)，即75 h時(shí)預(yù)測(cè)的剩余壽命結(jié)果，在周期數(shù)為456(10 min)時(shí)，達(dá)到閾值76.325 mm/s2，故其預(yù)測(cè)的剩余壽命為456-450=6(10 min)=1 h。與本文模型具體的結(jié)果比較見(jiàn)表2。

圖13 LSTM模型不同時(shí)刻的剩余壽命預(yù)測(cè)Fig.13 Residual life prediction of LSTM model at different times

(2)齒輪的退化是一個(gè)持續(xù)累積退化的過(guò)程，Gamma過(guò)程由于具有非負(fù)、增長(zhǎng)、獨(dú)立增量的屬性，被廣泛用于逐漸累積損傷過(guò)程的退化建模中。為進(jìn)一步測(cè)試本文模型的準(zhǔn)確性，在相同條件下，采用基于Gamma過(guò)程的剩余壽命預(yù)測(cè)方法進(jìn)行比較說(shuō)明。圖14(a)和圖14(b)分別是監(jiān)測(cè)時(shí)間t=60 h和t=70 h時(shí)兩種模型的剩余壽命概率密度(圖中：‘*’為預(yù)測(cè)值；‘o’為實(shí)際值)。

圖14 不同時(shí)刻下本文模型與Gamma過(guò)程的比較Fig.14 Comparison of the model and Gamma process at different time point

通過(guò)圖14可分析出，本文模型方法相對(duì)于基于Gamma過(guò)程的方法來(lái)說(shuō)，其剩余壽命的概率密度函數(shù)的方差愈來(lái)愈小，可以更好地反映樣本數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)值更加貼近真實(shí)值。t=70 h時(shí)能夠明顯看出本文方法的預(yù)測(cè)值更接近實(shí)際值。因此，本文模型在剩余壽命預(yù)測(cè)的應(yīng)用上更加準(zhǔn)確有效。

(3)Wiener過(guò)程模型多用于對(duì)具有非單調(diào)退化過(guò)程的設(shè)備進(jìn)行建模。在相同條件下采用Zhai等研究中Wiener過(guò)程模型對(duì)齒輪的剩余壽命進(jìn)行預(yù)測(cè)。圖15(a)和圖15(b)分別給出了監(jiān)測(cè)時(shí)間t=60 h和t=70 h時(shí)本文模型和Wiener過(guò)程模型的剩余壽命概率密度比較。

由圖15可以看出，本文模型與維納過(guò)程模型相比，剩余壽命的概率密度函數(shù)的方差愈來(lái)愈小，預(yù)測(cè)值更加貼近真實(shí)值，預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性提高。

此外，通過(guò)引入相對(duì)誤差指標(biāo)進(jìn)一步量化預(yù)測(cè)的精確度，給出監(jiān)測(cè)時(shí)間在t=60 h,t=65 h,t=70 h,t=75 h,t=77 h五個(gè)時(shí)刻下四種方法的比較結(jié)果。

圖15 不同時(shí)刻本文模型與Wiener過(guò)程模型的比較Fig.15 Comparison between the model in this paper and Wiener process model at different times

通過(guò)表2可知，在不同時(shí)刻的相對(duì)誤差比較下，四種模型的剩余壽命預(yù)測(cè)結(jié)果都逐漸趨于真實(shí)值，而本文模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與LSTM模型、Gamma過(guò)程以及基于Wiener過(guò)程三種方法相比，其相對(duì)誤差更小，從而驗(yàn)證了本文模型的優(yōu)越性。

表2 不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻下相對(duì)誤差的比較結(jié)果Tab.2 Comparison results of relative errors at different monitoring times

5.2 滾動(dòng)軸承的加速壽命試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文方法的有效性，利用IEEE PHM2012提供的軸承全壽命數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證。本文以轉(zhuǎn)速為1 800 r/min,載荷為4 000 N工況下的Bearing 1-1的全壽命振動(dòng)數(shù)據(jù)為例進(jìn)行分析。該數(shù)據(jù)來(lái)源于FEMTO-ST研究中心PRONOSTIA試驗(yàn)臺(tái)對(duì)滾動(dòng)軸承的加速壽命試驗(yàn)，振動(dòng)信號(hào)的采樣頻率為25.6 kHz，10 s采集一次，一次采集0.1 s，即一次采集2 560個(gè)樣本點(diǎn)。

通過(guò)均方幅值法處理Bearing 1-1的全壽命振動(dòng)數(shù)據(jù)，如圖16所示的特征值隨監(jiān)測(cè)時(shí)間變化曲線。從圖16可以看出，均方根隨時(shí)間基本呈現(xiàn)單調(diào)增加的趨勢(shì)，能較好地反映其退化趨勢(shì)，該軸承在t=2.749×104s時(shí)磨損開(kāi)始加劇，且在t=2.803×104s時(shí)失效，均方根的失效閾值為5.607 mm/s2。

圖16 特征值隨監(jiān)測(cè)時(shí)間變化曲線Fig.16 Curve of characteristic values changing with monitoring time

采用本文模型對(duì)軸承進(jìn)行剩余壽命預(yù)測(cè)，由圖17可知，隨著系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)間的增加，接收到的監(jiān)測(cè)樣本不斷增多，基于相對(duì)密度核估計(jì)的剩余壽命的概率密度不斷實(shí)時(shí)更新，剩余壽命的概率密度變窄變高，方差越來(lái)越小，說(shuō)明預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性不斷提高。

圖17 不同監(jiān)測(cè)時(shí)刻的概率密度函數(shù)Fig.17 Probability density function at different monitoring moments

為進(jìn)一步對(duì)本文提出方法的預(yù)測(cè)效果進(jìn)行評(píng)估，表3給出了對(duì)不同監(jiān)測(cè)時(shí)間，實(shí)際剩余壽命、本文模型預(yù)測(cè)的平均剩余壽命的均方根誤差(root mean square error，RMSE)比較。

從表3可以看出，隨監(jiān)測(cè)時(shí)間的增加，RMSE呈現(xiàn)逐漸減小的趨勢(shì)，且隨著監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的增多，預(yù)測(cè)的剩余壽命與真實(shí)壽命的誤差更小，說(shuō)明本文模型預(yù)測(cè)的剩余壽命更接近實(shí)際的壽命值。

表3 剩余壽命預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的比較Tab.3 Comparison of predicted and actual values of remaining life

6 結(jié) 論

本文針對(duì)核密度估計(jì)在設(shè)備剩余壽命預(yù)測(cè)時(shí)，由于在監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分布不均勻區(qū)域選擇的窗寬不夠準(zhǔn)確和核估計(jì)模型中隨機(jī)變量的有界性產(chǎn)生的邊界偏差，從而導(dǎo)致預(yù)測(cè)的不準(zhǔn)確，提出一種基于相對(duì)密度的核估計(jì)實(shí)時(shí)剩余壽命預(yù)測(cè)方法。該模型將k近鄰思想計(jì)算出的樣本點(diǎn)的相對(duì)密度作為核密度估計(jì)的窗寬，不僅解決了固定窗寬由樣本數(shù)據(jù)分布不均導(dǎo)致擬合不足的問(wèn)題，而且能夠?qū)θ我庑螤?，密度不均勻的?shù)據(jù)集自適應(yīng)地選擇出更加準(zhǔn)確的窗寬，提高了擬合度。在核估計(jì)的邊界偏差上，引入核微分同胚變換的方法有效的消除了核密度估計(jì)帶來(lái)的邊界偏差問(wèn)題。此外，隨著樣本的增加，為了避免核密度估計(jì)的重復(fù)計(jì)算，建立了基于相對(duì)密度核估計(jì)的實(shí)時(shí)更新模型。實(shí)例分析表明，隨著樣本數(shù)據(jù)的增加，剩余壽命的預(yù)測(cè)越來(lái)越接近實(shí)際值，方差變得越來(lái)越小，提高了預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性；并且通過(guò)與LSTM模型、基于Wiener過(guò)程以及基于Gamma過(guò)程的預(yù)測(cè)方法比較，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性和有效性。