復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測(cè)與分析

劉鶴龍，史文庫(kù)，高 蕊，陳志勇，陳 晃

(1.吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春 130022；2.中國(guó)重汽集團(tuán)汽車研究總院，濟(jì)南 250100)

纖維增強(qiáng)型復(fù)合材料由于具有比強(qiáng)度高、比模量大、耐腐蝕性好等優(yōu)點(diǎn)，近年來(lái)在汽車的輕量化領(lǐng)域展現(xiàn)出了巨大的潛力[1-2]。以復(fù)合材料板簧替代鋼板彈簧，不僅減重效果明顯、降低能源消耗，而且能夠減輕整車的非簧載質(zhì)量，提高乘坐的舒適性和操縱穩(wěn)定性。然而，板簧作為汽車懸架系統(tǒng)的主要彈性元件之一，在汽車行駛過(guò)程中，承受來(lái)自路面、發(fā)動(dòng)機(jī)等復(fù)雜的振動(dòng)激勵(lì)。為了避免懸架系統(tǒng)的固有頻率與外界激勵(lì)頻率耦合發(fā)生共振，需要在設(shè)計(jì)之初考慮板簧的模態(tài)特性，這對(duì)提高板簧的使用壽命以及提升整車NVH (noise,vibration,harshness)性能均具有重要意義。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者[3-5]針對(duì)復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、疲勞等方面的研究較多，而與模態(tài)分析相關(guān)的報(bào)道較少。文獻(xiàn)[6]利用錘擊法和譜分析法對(duì)碳纖維復(fù)合材料(carbon fiber reinforced plastics,CFRP)板簧的模態(tài)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)了錘擊法能夠避免結(jié)構(gòu)與激勵(lì)單元之間的耦合問(wèn)題，因此可以更準(zhǔn)確的測(cè)試復(fù)合材料板簧的模態(tài)。文獻(xiàn)[7-9]利用有限元軟件對(duì)復(fù)合材料板簧的模態(tài)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，闡述了復(fù)合材料板簧的模態(tài)頻率明顯高于傳統(tǒng)的鋼板彈簧。文獻(xiàn)[10]基于有限元軟件建立了形狀記憶合金(shape memory alloys,SMA)復(fù)合材料板簧的有限元模型，揭示了溫度變化對(duì)SMA板簧固有頻率的影響。文獻(xiàn)[11]利用有限元軟件建立了玻璃纖維復(fù)合材料(glass fiber reinforced plastic,GFRP)板簧的模態(tài)分析模型并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證，同時(shí)利用該模型分析了各設(shè)計(jì)變量與復(fù)合材料板簧一階模態(tài)頻率之間的關(guān)系，得到了選用0°鋪層角度、較低密度的復(fù)合材料和較高的纖維體積含量有利于降低復(fù)合材料板簧與激勵(lì)發(fā)生共振的可能性的結(jié)論。有限元軟件法由于在建模中能夠考慮板簧的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)，因此計(jì)算的結(jié)果精度一般相對(duì)較高，但也存在著計(jì)算周期過(guò)長(zhǎng)、建模以及模型的修改較為麻煩等弊端，不利于復(fù)合材料板簧的正向優(yōu)化設(shè)計(jì)。因此，也有學(xué)者嘗試?yán)美碚摻５姆椒A(yù)測(cè)復(fù)合材料板簧的模態(tài)特性。文獻(xiàn)[12]基于瑞利-里茲能量法建立了SMA復(fù)合材料板簧的模態(tài)頻率的預(yù)測(cè)模型，并得到了板簧固有頻率與溫度、鋪層角、SMA含量的關(guān)系曲線，但該模型計(jì)算相對(duì)復(fù)雜且缺乏試驗(yàn)驗(yàn)證，此外，一些關(guān)鍵設(shè)計(jì)參數(shù)與復(fù)合材料板簧模態(tài)之間的關(guān)系也還需要進(jìn)一步的明確。文獻(xiàn)[13]基于模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行了復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)健康檢測(cè)，并指出所提方法能準(zhǔn)確評(píng)價(jià)裂紋的存在、位置和嚴(yán)重程度，但所應(yīng)用的模態(tài)理論模型過(guò)于簡(jiǎn)化，且未能考慮復(fù)合材料各向異性和鋪層角度的影響。

因此，本文在前人的基礎(chǔ)上，結(jié)合復(fù)合材料力學(xué)，基于微元法建立了復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測(cè)模型，并試制了玻璃纖維/環(huán)氧復(fù)合材料板簧對(duì)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行了驗(yàn)證。最后，從復(fù)合材料的選材、鋪層設(shè)計(jì)等角度出發(fā)，研究了相關(guān)參數(shù)對(duì)復(fù)合材料板簧模態(tài)的影響，能夠?yàn)楣こ讨械南嚓P(guān)問(wèn)題提供一定的參考。

1 復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)

為了使板簧的輕量化效果最佳，同時(shí)又滿足設(shè)計(jì)的剛度和強(qiáng)度要求，文獻(xiàn)[14]經(jīng)過(guò)優(yōu)化指出，簧身的最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)從軸座到卷耳方向，寬度呈雙曲線遞增，厚度呈線性遞減。但變寬度的復(fù)合材料板簧加工困難、浪費(fèi)材料，因此文獻(xiàn)[15]經(jīng)過(guò)對(duì)各鋪層長(zhǎng)度的優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了等寬變截面復(fù)合材料板簧的簧身結(jié)構(gòu)厚度應(yīng)從卷耳沿軸座方向近似呈拋物線形狀增加的結(jié)論。相比于橫置復(fù)合材料板簧，縱置復(fù)合材料板簧由于要考慮與車架車軸的連接問(wèn)題，因此結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。同時(shí)，考慮到加工成本與工藝的復(fù)雜性，一般縱置復(fù)合材料板簧不制造成接頭-簧身一體化復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，而是由復(fù)合材料簧身、前金屬接頭、后金屬接頭、中部金屬連接結(jié)構(gòu)組成。

本文所研究的板簧為等寬變厚度的縱置復(fù)合材料板簧，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中：前、后金屬接頭通過(guò)螺栓與復(fù)合材料簧身連接，并輔以高強(qiáng)度的環(huán)氧樹(shù)脂結(jié)構(gòu)膠連接；中部金屬夾板與簧身通過(guò)中心螺栓連接，并輔以膠接；板簧的兩端金屬接頭的圓環(huán)代替鋼板彈簧的吊耳與車架的吊耳銷連接，而板簧中部通過(guò)中心螺栓實(shí)現(xiàn)與車軸定位并傳遞縱向力。

圖1 復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the composite leaf spring

2 復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測(cè)模型

2.1 單層板的工程彈性參數(shù)

明確材料的本構(gòu)關(guān)系是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的前提，纖維增強(qiáng)型復(fù)合材料屬于正交各向異性材料，單層板的力學(xué)分析中主要包括兩個(gè)彈性主方向，即1向(纖維方向)和2向(與纖維方向垂直)，對(duì)應(yīng)材料的剛度較大的主方向和剛度較小的主方向。1軸和2軸定義為材料的正軸，相應(yīng)的1-2坐標(biāo)系定義為材料的正軸坐標(biāo)系，在1-2方向上測(cè)試得到的工程彈性參數(shù)為正軸工程彈性參數(shù)；復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的坐標(biāo)系(x-y坐標(biāo)系)與材料的正軸坐標(biāo)系不重合時(shí)，定義x軸和y軸為單層板的偏軸，x-y坐標(biāo)系為偏軸坐標(biāo)系。當(dāng)單層板受到正軸方向的應(yīng)力時(shí)，正軸工程彈性參數(shù)可直接用于計(jì)算單層板的變形，而受到偏軸應(yīng)力時(shí)，材料的偏軸工程彈性參數(shù)需要利用正軸工程彈性參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

單層板的偏軸工程彈性參數(shù)可以根據(jù)式(1)計(jì)算得到

m=sinα,n=cosα

(3)

式中：E1,E2分別為1軸向和2軸向的正軸彈性模量；G12為面內(nèi)正軸剪切模量;ν1和ν2分別為1軸向和2軸向泊松比，且滿足ν1/E1=ν2/E2;α為鋪層方向角，即x軸與1軸的夾角。

2.2 截面彎曲中性層位置的計(jì)算

板簧在發(fā)生彎曲變形時(shí)，截面一端承受拉應(yīng)力;另一端承受壓應(yīng)力，中間不承受應(yīng)力的位置定義為截面的彎曲中性層。相關(guān)研究表明，與各向同性材料不同，復(fù)合材料的拉伸模量與壓縮模量可能存在差異[16]；此外，根據(jù)式(2)可以看出，復(fù)合材料的偏軸彈性模量是鋪層方向角的函數(shù)，板簧的實(shí)際鋪層可能包含任意鋪層方向角的單層，因此截面的彎曲中性層可能會(huì)相對(duì)于厚度方向上的幾何中面發(fā)生偏移，這在計(jì)算板簧截面抗彎剛度及系統(tǒng)的剛度矩陣時(shí)不容忽視。

由于整個(gè)板簧存在復(fù)合材料簧身(只有復(fù)合材料)與金屬連接件兩部分，對(duì)于前、后接頭以及中部金屬連接區(qū)域，都可能存在金屬-復(fù)合材料-金屬的包夾段，因此選取包夾段進(jìn)行中性層及截面抗彎剛度的推導(dǎo)。由于金屬連接件與復(fù)合材料表面均采用高強(qiáng)度結(jié)構(gòu)膠相連，故假設(shè)金屬層與復(fù)合材料層接觸表面沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，且截面中復(fù)合材料部分與金屬部分的曲率半徑相同。

純彎曲截面變形前后如圖2所示。其中：p,q分別為截面中受拉、壓金屬層的厚度;j為截面中復(fù)合材料部分的厚度;aa為幾何中面;oo為中性層。

圖2 截面彎曲變形Fig.2 Section bending deformation

根據(jù)平面假設(shè)，變形前相距dx的兩個(gè)橫截面，變形后相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度dθ，并仍保持平面。距中性層距離為z的縱向纖維bb的長(zhǎng)度變?yōu)?/p>

(4)

(5)

根據(jù)應(yīng)變的定義，求得纖維bb的應(yīng)變?yōu)?/p>

(6)

對(duì)復(fù)合材料板簧的任意一個(gè)截面A，沿x軸方向的力可表示為

(7)

定義中性層位移系數(shù)λ如下

(8)

式中：d為中性層與幾何中性層之間的距離；t為該截面的厚度,且滿足

t=p+j+q

(9)

則對(duì)于厚度為j的復(fù)合材料區(qū)域，第k層單層距中性層的距離zk為

(10)

式中，δ為復(fù)合材料單層厚度。

以中性層為原點(diǎn)位置，拉為正、壓為負(fù)，式(7)可以展開(kāi)為

(11)

(12)

式中：Em為金屬材料的彈性模量；在復(fù)合材料板簧受力為純彎曲情況下，有

FN=0

(14)

故有

(15)

聯(lián)立式(10)、式(12)、式(15)，即可解得中性層位移系數(shù)λ。

2.3 截面抗彎剛度的求解

對(duì)于復(fù)合材料板簧簧身垂直于x軸的任意一個(gè)截面，其受到繞y軸的彎矩可表示為

設(shè)截面抗彎剛度為D，則

(17)

即有

值得說(shuō)明的是，式(18)能夠通過(guò)對(duì)不同數(shù)量的單層的剛度特性求和來(lái)獲得對(duì)應(yīng)不同厚度截面的抗彎剛度。當(dāng)計(jì)算復(fù)合材料簧身部分，即不存在金屬連接件時(shí)，則p=q=0。

2.4 微元法建立復(fù)合材料板簧模態(tài)預(yù)測(cè)模型

模態(tài)的求解，即對(duì)系統(tǒng)的固有頻率及對(duì)應(yīng)振型的求解。n自由度系統(tǒng)自由模態(tài)的特征方程為

(19)

式中，K，M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，一般為n×n階的對(duì)稱常數(shù)矩陣。板簧在工作過(guò)程中，主要承受整車與路面之間的垂向載荷。為了減少分析的自由度，減低問(wèn)題的復(fù)雜度，僅對(duì)復(fù)合材料板簧的垂向自由模態(tài)進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)微元法的思想，將板簧的整體結(jié)構(gòu)沿長(zhǎng)度方向劃分為若干個(gè)單元，每個(gè)單元的兩端各有垂向位移與旋轉(zhuǎn)兩個(gè)自由度，相鄰單元的共有端存在相同自由度的約束。

當(dāng)單元的φA為常數(shù)時(shí)，單元的的質(zhì)量矩陣為

(20)

式中：φ為板簧截面的材料密度;A為截面面積;le為單元長(zhǎng)度；當(dāng)單元內(nèi)部的截面抗彎剛度De為常數(shù)時(shí)，單元的剛度矩陣為

(21)

將整個(gè)板簧沿長(zhǎng)度方向劃分為i個(gè)單元，則系統(tǒng)的獨(dú)立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換前的剛度矩陣與質(zhì)量矩陣為

(22)

由于相鄰單元存在兩個(gè)相同自由度的坐標(biāo)，因此在整體坐標(biāo)系下，獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)量為nd=2i+2。因此，

(23)

式中，β為獨(dú)立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，可以根據(jù)邊界條件獲得，且滿足β∈R4i×nd。

根據(jù)式(23)確定系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣后，便可由式(19)，基于MATLAB軟件中矩陣特征值的求解函數(shù)得到復(fù)合材料板簧系統(tǒng)的固有頻率和對(duì)應(yīng)的振型。

3 復(fù)合材料板簧模態(tài)預(yù)測(cè)模型的驗(yàn)證

采用有限元法和試驗(yàn)法驗(yàn)證模態(tài)預(yù)測(cè)理論模型的正確性。GFRP板簧試驗(yàn)樣件如圖3所示。板簧簧身為等寬變截面形狀，從吊耳沿中部近似呈拋物線形狀增加。鋪層角度均為0°，復(fù)合材料層合板的密度為1 990 kg/m3，金屬材料的彈性模量為206 MPa，密度為7 850 kg/m3。

圖3 復(fù)合材料板簧樣件Fig.3 Composite leaf spring samples

復(fù)合材料板簧的兩端金屬接頭與中部的連接結(jié)構(gòu)包含較大比重的金屬材料，以集中質(zhì)量的方式處理可能造成較大的計(jì)算誤差，因此需要對(duì)接頭部分進(jìn)行較合理的等效處理。為簡(jiǎn)化計(jì)算，對(duì)于前后金屬接頭的吊耳圓環(huán)部分，等效為長(zhǎng)方體塊狀結(jié)構(gòu)，且等效前后與原結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度、質(zhì)量、密度一致；對(duì)于中部連接結(jié)構(gòu)，除了較少部分的螺栓連接結(jié)構(gòu)外，結(jié)構(gòu)較為均勻，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算，等效為均勻的包夾段，且總質(zhì)量、尺寸與原結(jié)構(gòu)一致，等效的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 復(fù)合材料板簧等效結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Equivalent structure of the composite leaf spring

相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能參數(shù)，如表2所示。理論模型中沿板簧長(zhǎng)度方向所劃分單元的長(zhǎng)度對(duì)模態(tài)頻率的預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，如表3所示。從表3中可以看出，在分析范圍內(nèi)所劃分單元的長(zhǎng)度對(duì)復(fù)合材料板簧彎曲模態(tài)頻率預(yù)測(cè)結(jié)果的影響較小。由于本文的復(fù)合材料板簧的鋪層長(zhǎng)度均為整數(shù)，因此為了保證劃分的單元能更準(zhǔn)確的體現(xiàn)板簧的變截面幾何形狀，同時(shí)兼顧計(jì)算的效率，本文的后續(xù)分析將所劃分單元的長(zhǎng)度取為1 mm。

表1 復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of composite leaf spring

表2 復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能參數(shù)Tab.2 Mechanical property parameters of composite laminate

表3 單元長(zhǎng)度對(duì)模態(tài)頻率的影響Tab.3 Influence of element length on frequency results

利用錘擊法對(duì)復(fù)合材料板簧的自由模態(tài)進(jìn)行測(cè)試。試驗(yàn)采用LMS TEST.LAB測(cè)試系統(tǒng)及B &K三向振動(dòng)加速度傳感器進(jìn)行測(cè)量，在復(fù)合材料板簧的簧身兩側(cè)布置傳感器，由于傳感器數(shù)量有限，采用多點(diǎn)分區(qū)測(cè)量。板簧的懸掛狀態(tài)如圖5所示。對(duì)剛度較大的端部和中部的金屬接頭位置分別進(jìn)行錘擊，最后將錘擊點(diǎn)所測(cè)得的結(jié)果進(jìn)行綜合分析，得到復(fù)合材料板簧的各階試驗(yàn)?zāi)B(tài)頻率與振型。

圖5 復(fù)合材料板簧的懸掛狀態(tài)Fig.5 Suspension state of composite leaf spring

利用ABAQUS軟件對(duì)復(fù)合材料板簧總成進(jìn)行模態(tài)分析。三種方法所得的前三階彎曲模態(tài)振型如圖6所示，各階模態(tài)振型對(duì)應(yīng)頻率對(duì)比如表4所示。

圖6 三種方法得到的模態(tài)振型對(duì)比Fig.6 Comparison of modal shape between three methods

表4 三種方法得到的模態(tài)頻率結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of the frequency results obtained by three methods

由圖6可知，模態(tài)試驗(yàn)、理論預(yù)測(cè)與有限元分析的模態(tài)振型基本一致；由表4可以看出，復(fù)合材料板簧第3階彎曲模態(tài)頻率接近200 Hz，遠(yuǎn)大于路面激勵(lì)頻率和發(fā)動(dòng)機(jī)怠速激勵(lì)，因此本文取前三階模態(tài)進(jìn)行分析能夠滿足工程實(shí)際需要，理論預(yù)測(cè)的復(fù)合材料板簧的前三階彎曲頻率均與試驗(yàn)結(jié)果、有限元分析接近，其中理論預(yù)測(cè)的前三階頻率與試驗(yàn)結(jié)果的誤差分別為2.46%，3.27%和6.84%，誤差較小，因此可以認(rèn)為該數(shù)值模型能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測(cè)，有助于縮短復(fù)合材料板簧正向開(kāi)發(fā)的周期。

4 復(fù)合材料板簧模態(tài)影響因素分析

在復(fù)合材料板簧各階彎曲模態(tài)中，與發(fā)動(dòng)機(jī)怠速激勵(lì)、路面激勵(lì)頻率最為接近的為一階彎曲振動(dòng)，因此本文以復(fù)合材料板簧的一階彎曲振動(dòng)模態(tài)頻率為研究對(duì)象，從選材、鋪層等設(shè)計(jì)角度出發(fā)，分析復(fù)合材料板簧各關(guān)鍵參數(shù)對(duì)其模態(tài)特性的影響。本文主要研究鋪層角度α、復(fù)合材料的彈性模量E、復(fù)合材料的密度φc、板簧簧身寬度B對(duì)復(fù)合材料板簧模態(tài)頻率的影響。

采用控制變量法進(jìn)行分析，即在分析某個(gè)參數(shù)對(duì)板簧的一階彎曲模態(tài)頻率的影響規(guī)律時(shí)，其他設(shè)計(jì)參數(shù)與算例中的參數(shù)一致。分析鋪層角度α對(duì)板簧模態(tài)頻率的影響時(shí)，假設(shè)各單層方向角的絕對(duì)值相等，且均為α，以[+α/-α]的形式循環(huán)鋪層，影響趨勢(shì)如圖7所示。從圖7中可以看出，鋪層角度對(duì)板簧的一階彎曲固有頻率的影響較大，在0°鋪層時(shí)，固有頻率最高，在0°～55°左右時(shí)，頻率下降較快，而55°～85°時(shí)，板簧頻率整體略有增加，但幅度較小，而85°～90°趨于平緩。由此可見(jiàn)，選用0°鋪層能有效提高板簧的固有頻率。

圖7 鋪層角度對(duì)板簧一階彎曲模態(tài)頻率的影響Fig.7 Influence of ply orientation on bending frequency

復(fù)合材料層合板的彈性模量E對(duì)板簧模態(tài)頻率的影響，如圖8所示。圖8中，E0為材料的初始模量。從圖8可以看出，復(fù)合材料層合板的彈性模量對(duì)板簧固有頻率的影響較大，彈性模量越大，板簧的固有頻率越高。因此，選用彈性模量大的復(fù)合材料有利于提高板簧的固有頻率。

圖8 復(fù)合材料彈性模量對(duì)板簧一階彎曲模態(tài)頻率的影響Fig.8 Influence of elastic modulus on bending frequency

復(fù)合材料層合板的密度φc對(duì)板簧模態(tài)頻率的影響，如圖9所示。圖9中，Δφc為材料的密度相對(duì)初始密度的變化量。從圖9可以看出，板簧的固有頻率與復(fù)合材料層合板的密度呈負(fù)相關(guān)趨勢(shì)。因此，選用密度較小的復(fù)合材料有利于提高板簧的固有頻率。

圖9 復(fù)合材料層合板密度對(duì)板簧一階彎曲模態(tài)頻率的影響Fig.9 Influence of composite density on bending frequency

簧身寬度B對(duì)板簧模態(tài)頻率的影響,如圖10所示。圖10中，ΔB為簧身的寬度相對(duì)初始寬度的變化量。從圖10可以看出，增加簧身寬度有利于提高板簧的固有頻率。

圖10 簧身寬度對(duì)板簧一階彎曲模態(tài)頻率的影響Fig.10 Influence of body width on bending frequency

5 結(jié) 論

(1)本文基于微元法和復(fù)合材料力學(xué)，建立了復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測(cè)理論模型，該理論模型能夠避免常規(guī)有限元軟件分析過(guò)程中繁瑣的建模、網(wǎng)格劃分等過(guò)程，有利于提高計(jì)算效率，同時(shí)也便于結(jié)合復(fù)合材料板簧的其他性能實(shí)現(xiàn)對(duì)板簧的參數(shù)化優(yōu)化設(shè)計(jì)、縮短復(fù)合材料板簧的正向開(kāi)發(fā)周期。

(2)鋪層角度對(duì)板簧模態(tài)影響較大，0°鋪層時(shí)板簧垂向彎曲固有頻率最大，在滿足其他要求的前提下，選用密度較低、彈性模量較大的復(fù)合材料，并盡可能增加簧身寬度，有利于提高彎曲模態(tài)頻率、降低板簧與外界激勵(lì)耦合共振的可能性。