復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測與分析

劉鶴龍，史文庫，高 蕊，陳志勇，陳 晃

(1.吉林大學(xué) 汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130022；2.中國重汽集團汽車研究總院，濟南 250100)

纖維增強型復(fù)合材料由于具有比強度高、比模量大、耐腐蝕性好等優(yōu)點，近年來在汽車的輕量化領(lǐng)域展現(xiàn)出了巨大的潛力[1-2]。以復(fù)合材料板簧替代鋼板彈簧，不僅減重效果明顯、降低能源消耗，而且能夠減輕整車的非簧載質(zhì)量，提高乘坐的舒適性和操縱穩(wěn)定性。然而，板簧作為汽車懸架系統(tǒng)的主要彈性元件之一，在汽車行駛過程中，承受來自路面、發(fā)動機等復(fù)雜的振動激勵。為了避免懸架系統(tǒng)的固有頻率與外界激勵頻率耦合發(fā)生共振，需要在設(shè)計之初考慮板簧的模態(tài)特性，這對提高板簧的使用壽命以及提升整車NVH (noise,vibration,harshness)性能均具有重要意義。

目前，國內(nèi)外學(xué)者[3-5]針對復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)設(shè)計、疲勞等方面的研究較多，而與模態(tài)分析相關(guān)的報道較少。文獻[6]利用錘擊法和譜分析法對碳纖維復(fù)合材料(carbon fiber reinforced plastics,CFRP)板簧的模態(tài)進行了試驗研究，發(fā)現(xiàn)了錘擊法能夠避免結(jié)構(gòu)與激勵單元之間的耦合問題，因此可以更準確的測試復(fù)合材料板簧的模態(tài)。文獻[7-9]利用有限元軟件對復(fù)合材料板簧的模態(tài)進行了預(yù)測，闡述了復(fù)合材料板簧的模態(tài)頻率明顯高于傳統(tǒng)的鋼板彈簧。文獻[10]基于有限元軟件建立了形狀記憶合金(shape memory alloys,SMA)復(fù)合材料板簧的有限元模型，揭示了溫度變化對SMA板簧固有頻率的影響。文獻[11]利用有限元軟件建立了玻璃纖維復(fù)合材料(glass fiber reinforced plastic,GFRP)板簧的模態(tài)分析模型并進行了試驗驗證，同時利用該模型分析了各設(shè)計變量與復(fù)合材料板簧一階模態(tài)頻率之間的關(guān)系，得到了選用0°鋪層角度、較低密度的復(fù)合材料和較高的纖維體積含量有利于降低復(fù)合材料板簧與激勵發(fā)生共振的可能性的結(jié)論。有限元軟件法由于在建模中能夠考慮板簧的結(jié)構(gòu)細節(jié)，因此計算的結(jié)果精度一般相對較高，但也存在著計算周期過長、建模以及模型的修改較為麻煩等弊端，不利于復(fù)合材料板簧的正向優(yōu)化設(shè)計。因此，也有學(xué)者嘗試利用理論建模的方法預(yù)測復(fù)合材料板簧的模態(tài)特性。文獻[12]基于瑞利-里茲能量法建立了SMA復(fù)合材料板簧的模態(tài)頻率的預(yù)測模型，并得到了板簧固有頻率與溫度、鋪層角、SMA含量的關(guān)系曲線，但該模型計算相對復(fù)雜且缺乏試驗驗證，此外，一些關(guān)鍵設(shè)計參數(shù)與復(fù)合材料板簧模態(tài)之間的關(guān)系也還需要進一步的明確。文獻[13]基于模態(tài)應(yīng)變能法進行了復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)健康檢測，并指出所提方法能準確評價裂紋的存在、位置和嚴重程度，但所應(yīng)用的模態(tài)理論模型過于簡化，且未能考慮復(fù)合材料各向異性和鋪層角度的影響。

因此，本文在前人的基礎(chǔ)上，結(jié)合復(fù)合材料力學(xué)，基于微元法建立了復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測模型，并試制了玻璃纖維/環(huán)氧復(fù)合材料板簧對模型的準確性進行了驗證。最后，從復(fù)合材料的選材、鋪層設(shè)計等角度出發(fā)，研究了相關(guān)參數(shù)對復(fù)合材料板簧模態(tài)的影響，能夠為工程中的相關(guān)問題提供一定的參考。

1 復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)

為了使板簧的輕量化效果最佳，同時又滿足設(shè)計的剛度和強度要求，文獻[14]經(jīng)過優(yōu)化指出，簧身的最優(yōu)結(jié)構(gòu)應(yīng)從軸座到卷耳方向，寬度呈雙曲線遞增，厚度呈線性遞減。但變寬度的復(fù)合材料板簧加工困難、浪費材料，因此文獻[15]經(jīng)過對各鋪層長度的優(yōu)化設(shè)計，得到了等寬變截面復(fù)合材料板簧的簧身結(jié)構(gòu)厚度應(yīng)從卷耳沿軸座方向近似呈拋物線形狀增加的結(jié)論。相比于橫置復(fù)合材料板簧，縱置復(fù)合材料板簧由于要考慮與車架車軸的連接問題，因此結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜。同時，考慮到加工成本與工藝的復(fù)雜性，一般縱置復(fù)合材料板簧不制造成接頭-簧身一體化復(fù)合材料結(jié)構(gòu)，而是由復(fù)合材料簧身、前金屬接頭、后金屬接頭、中部金屬連接結(jié)構(gòu)組成。

本文所研究的板簧為等寬變厚度的縱置復(fù)合材料板簧，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中：前、后金屬接頭通過螺栓與復(fù)合材料簧身連接，并輔以高強度的環(huán)氧樹脂結(jié)構(gòu)膠連接；中部金屬夾板與簧身通過中心螺栓連接，并輔以膠接；板簧的兩端金屬接頭的圓環(huán)代替鋼板彈簧的吊耳與車架的吊耳銷連接，而板簧中部通過中心螺栓實現(xiàn)與車軸定位并傳遞縱向力。

圖1 復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the composite leaf spring

2 復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測模型

2.1 單層板的工程彈性參數(shù)

明確材料的本構(gòu)關(guān)系是結(jié)構(gòu)設(shè)計的前提，纖維增強型復(fù)合材料屬于正交各向異性材料，單層板的力學(xué)分析中主要包括兩個彈性主方向，即1向(纖維方向)和2向(與纖維方向垂直)，對應(yīng)材料的剛度較大的主方向和剛度較小的主方向。1軸和2軸定義為材料的正軸，相應(yīng)的1-2坐標系定義為材料的正軸坐標系，在1-2方向上測試得到的工程彈性參數(shù)為正軸工程彈性參數(shù)；復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的坐標系(x-y坐標系)與材料的正軸坐標系不重合時，定義x軸和y軸為單層板的偏軸，x-y坐標系為偏軸坐標系。當(dāng)單層板受到正軸方向的應(yīng)力時，正軸工程彈性參數(shù)可直接用于計算單層板的變形，而受到偏軸應(yīng)力時，材料的偏軸工程彈性參數(shù)需要利用正軸工程彈性參數(shù)進行轉(zhuǎn)換。

單層板的偏軸工程彈性參數(shù)可以根據(jù)式(1)計算得到

m=sinα,n=cosα

(3)

式中：E1,E2分別為1軸向和2軸向的正軸彈性模量；G12為面內(nèi)正軸剪切模量;ν1和ν2分別為1軸向和2軸向泊松比，且滿足ν1/E1=ν2/E2;α為鋪層方向角，即x軸與1軸的夾角。

2.2 截面彎曲中性層位置的計算

板簧在發(fā)生彎曲變形時，截面一端承受拉應(yīng)力;另一端承受壓應(yīng)力，中間不承受應(yīng)力的位置定義為截面的彎曲中性層。相關(guān)研究表明，與各向同性材料不同，復(fù)合材料的拉伸模量與壓縮模量可能存在差異[16]；此外，根據(jù)式(2)可以看出，復(fù)合材料的偏軸彈性模量是鋪層方向角的函數(shù)，板簧的實際鋪層可能包含任意鋪層方向角的單層，因此截面的彎曲中性層可能會相對于厚度方向上的幾何中面發(fā)生偏移，這在計算板簧截面抗彎剛度及系統(tǒng)的剛度矩陣時不容忽視。

由于整個板簧存在復(fù)合材料簧身(只有復(fù)合材料)與金屬連接件兩部分，對于前、后接頭以及中部金屬連接區(qū)域，都可能存在金屬-復(fù)合材料-金屬的包夾段，因此選取包夾段進行中性層及截面抗彎剛度的推導(dǎo)。由于金屬連接件與復(fù)合材料表面均采用高強度結(jié)構(gòu)膠相連，故假設(shè)金屬層與復(fù)合材料層接觸表面沒有相對滑動，且截面中復(fù)合材料部分與金屬部分的曲率半徑相同。

純彎曲截面變形前后如圖2所示。其中：p,q分別為截面中受拉、壓金屬層的厚度;j為截面中復(fù)合材料部分的厚度;aa為幾何中面;oo為中性層。

圖2 截面彎曲變形Fig.2 Section bending deformation

根據(jù)平面假設(shè)，變形前相距dx的兩個橫截面，變形后相對旋轉(zhuǎn)了一個角度dθ，并仍保持平面。距中性層距離為z的縱向纖維bb的長度變?yōu)?/p>

(4)

(5)

根據(jù)應(yīng)變的定義，求得纖維bb的應(yīng)變?yōu)?/p>

(6)

對復(fù)合材料板簧的任意一個截面A，沿x軸方向的力可表示為

(7)

定義中性層位移系數(shù)λ如下

(8)

式中：d為中性層與幾何中性層之間的距離；t為該截面的厚度,且滿足

t=p+j+q

(9)

則對于厚度為j的復(fù)合材料區(qū)域，第k層單層距中性層的距離zk為

(10)

式中，δ為復(fù)合材料單層厚度。

以中性層為原點位置，拉為正、壓為負，式(7)可以展開為

(11)

(12)

式中：Em為金屬材料的彈性模量；在復(fù)合材料板簧受力為純彎曲情況下，有

FN=0

(14)

故有

(15)

聯(lián)立式(10)、式(12)、式(15)，即可解得中性層位移系數(shù)λ。

2.3 截面抗彎剛度的求解

對于復(fù)合材料板簧簧身垂直于x軸的任意一個截面，其受到繞y軸的彎矩可表示為

設(shè)截面抗彎剛度為D，則

(17)

即有

值得說明的是，式(18)能夠通過對不同數(shù)量的單層的剛度特性求和來獲得對應(yīng)不同厚度截面的抗彎剛度。當(dāng)計算復(fù)合材料簧身部分，即不存在金屬連接件時，則p=q=0。

2.4 微元法建立復(fù)合材料板簧模態(tài)預(yù)測模型

模態(tài)的求解，即對系統(tǒng)的固有頻率及對應(yīng)振型的求解。n自由度系統(tǒng)自由模態(tài)的特征方程為

(19)

式中，K，M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，一般為n×n階的對稱常數(shù)矩陣。板簧在工作過程中，主要承受整車與路面之間的垂向載荷。為了減少分析的自由度，減低問題的復(fù)雜度，僅對復(fù)合材料板簧的垂向自由模態(tài)進行預(yù)測。根據(jù)微元法的思想，將板簧的整體結(jié)構(gòu)沿長度方向劃分為若干個單元，每個單元的兩端各有垂向位移與旋轉(zhuǎn)兩個自由度，相鄰單元的共有端存在相同自由度的約束。

當(dāng)單元的φA為常數(shù)時，單元的的質(zhì)量矩陣為

(20)

式中：φ為板簧截面的材料密度;A為截面面積;le為單元長度；當(dāng)單元內(nèi)部的截面抗彎剛度De為常數(shù)時，單元的剛度矩陣為

(21)

將整個板簧沿長度方向劃分為i個單元，則系統(tǒng)的獨立坐標轉(zhuǎn)換前的剛度矩陣與質(zhì)量矩陣為

(22)

由于相鄰單元存在兩個相同自由度的坐標，因此在整體坐標系下，獨立坐標數(shù)量為nd=2i+2。因此，

(23)

式中，β為獨立坐標轉(zhuǎn)換矩陣，可以根據(jù)邊界條件獲得，且滿足β∈R4i×nd。

根據(jù)式(23)確定系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣后，便可由式(19)，基于MATLAB軟件中矩陣特征值的求解函數(shù)得到復(fù)合材料板簧系統(tǒng)的固有頻率和對應(yīng)的振型。

3 復(fù)合材料板簧模態(tài)預(yù)測模型的驗證

采用有限元法和試驗法驗證模態(tài)預(yù)測理論模型的正確性。GFRP板簧試驗樣件如圖3所示。板簧簧身為等寬變截面形狀，從吊耳沿中部近似呈拋物線形狀增加。鋪層角度均為0°，復(fù)合材料層合板的密度為1 990 kg/m3，金屬材料的彈性模量為206 MPa，密度為7 850 kg/m3。

圖3 復(fù)合材料板簧樣件Fig.3 Composite leaf spring samples

復(fù)合材料板簧的兩端金屬接頭與中部的連接結(jié)構(gòu)包含較大比重的金屬材料，以集中質(zhì)量的方式處理可能造成較大的計算誤差，因此需要對接頭部分進行較合理的等效處理。為簡化計算，對于前后金屬接頭的吊耳圓環(huán)部分，等效為長方體塊狀結(jié)構(gòu)，且等效前后與原結(jié)構(gòu)長度、質(zhì)量、密度一致；對于中部連接結(jié)構(gòu)，除了較少部分的螺栓連接結(jié)構(gòu)外，結(jié)構(gòu)較為均勻，為了簡化運算，等效為均勻的包夾段，且總質(zhì)量、尺寸與原結(jié)構(gòu)一致，等效的結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 復(fù)合材料板簧等效結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Equivalent structure of the composite leaf spring

相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能參數(shù)，如表2所示。理論模型中沿板簧長度方向所劃分單元的長度對模態(tài)頻率的預(yù)測結(jié)果的影響，如表3所示。從表3中可以看出，在分析范圍內(nèi)所劃分單元的長度對復(fù)合材料板簧彎曲模態(tài)頻率預(yù)測結(jié)果的影響較小。由于本文的復(fù)合材料板簧的鋪層長度均為整數(shù)，因此為了保證劃分的單元能更準確的體現(xiàn)板簧的變截面幾何形狀，同時兼顧計算的效率，本文的后續(xù)分析將所劃分單元的長度取為1 mm。

表1 復(fù)合材料板簧的結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of composite leaf spring

表2 復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能參數(shù)Tab.2 Mechanical property parameters of composite laminate

表3 單元長度對模態(tài)頻率的影響Tab.3 Influence of element length on frequency results

利用錘擊法對復(fù)合材料板簧的自由模態(tài)進行測試。試驗采用LMS TEST.LAB測試系統(tǒng)及B &K三向振動加速度傳感器進行測量，在復(fù)合材料板簧的簧身兩側(cè)布置傳感器，由于傳感器數(shù)量有限，采用多點分區(qū)測量。板簧的懸掛狀態(tài)如圖5所示。對剛度較大的端部和中部的金屬接頭位置分別進行錘擊，最后將錘擊點所測得的結(jié)果進行綜合分析，得到復(fù)合材料板簧的各階試驗?zāi)B(tài)頻率與振型。

圖5 復(fù)合材料板簧的懸掛狀態(tài)Fig.5 Suspension state of composite leaf spring

利用ABAQUS軟件對復(fù)合材料板簧總成進行模態(tài)分析。三種方法所得的前三階彎曲模態(tài)振型如圖6所示，各階模態(tài)振型對應(yīng)頻率對比如表4所示。

圖6 三種方法得到的模態(tài)振型對比Fig.6 Comparison of modal shape between three methods

表4 三種方法得到的模態(tài)頻率結(jié)果對比Tab.4 Comparison of the frequency results obtained by three methods

由圖6可知，模態(tài)試驗、理論預(yù)測與有限元分析的模態(tài)振型基本一致；由表4可以看出，復(fù)合材料板簧第3階彎曲模態(tài)頻率接近200 Hz，遠大于路面激勵頻率和發(fā)動機怠速激勵，因此本文取前三階模態(tài)進行分析能夠滿足工程實際需要，理論預(yù)測的復(fù)合材料板簧的前三階彎曲頻率均與試驗結(jié)果、有限元分析接近，其中理論預(yù)測的前三階頻率與試驗結(jié)果的誤差分別為2.46%，3.27%和6.84%，誤差較小，因此可以認為該數(shù)值模型能夠?qū)崿F(xiàn)對復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測，有助于縮短復(fù)合材料板簧正向開發(fā)的周期。

4 復(fù)合材料板簧模態(tài)影響因素分析

在復(fù)合材料板簧各階彎曲模態(tài)中，與發(fā)動機怠速激勵、路面激勵頻率最為接近的為一階彎曲振動，因此本文以復(fù)合材料板簧的一階彎曲振動模態(tài)頻率為研究對象，從選材、鋪層等設(shè)計角度出發(fā)，分析復(fù)合材料板簧各關(guān)鍵參數(shù)對其模態(tài)特性的影響。本文主要研究鋪層角度α、復(fù)合材料的彈性模量E、復(fù)合材料的密度φc、板簧簧身寬度B對復(fù)合材料板簧模態(tài)頻率的影響。

采用控制變量法進行分析，即在分析某個參數(shù)對板簧的一階彎曲模態(tài)頻率的影響規(guī)律時，其他設(shè)計參數(shù)與算例中的參數(shù)一致。分析鋪層角度α對板簧模態(tài)頻率的影響時，假設(shè)各單層方向角的絕對值相等，且均為α，以[+α/-α]的形式循環(huán)鋪層，影響趨勢如圖7所示。從圖7中可以看出，鋪層角度對板簧的一階彎曲固有頻率的影響較大，在0°鋪層時，固有頻率最高，在0°～55°左右時，頻率下降較快，而55°～85°時，板簧頻率整體略有增加，但幅度較小，而85°～90°趨于平緩。由此可見，選用0°鋪層能有效提高板簧的固有頻率。

圖7 鋪層角度對板簧一階彎曲模態(tài)頻率的影響Fig.7 Influence of ply orientation on bending frequency

復(fù)合材料層合板的彈性模量E對板簧模態(tài)頻率的影響，如圖8所示。圖8中，E0為材料的初始模量。從圖8可以看出，復(fù)合材料層合板的彈性模量對板簧固有頻率的影響較大，彈性模量越大，板簧的固有頻率越高。因此，選用彈性模量大的復(fù)合材料有利于提高板簧的固有頻率。

圖8 復(fù)合材料彈性模量對板簧一階彎曲模態(tài)頻率的影響Fig.8 Influence of elastic modulus on bending frequency

復(fù)合材料層合板的密度φc對板簧模態(tài)頻率的影響，如圖9所示。圖9中，Δφc為材料的密度相對初始密度的變化量。從圖9可以看出，板簧的固有頻率與復(fù)合材料層合板的密度呈負相關(guān)趨勢。因此，選用密度較小的復(fù)合材料有利于提高板簧的固有頻率。

圖9 復(fù)合材料層合板密度對板簧一階彎曲模態(tài)頻率的影響Fig.9 Influence of composite density on bending frequency

簧身寬度B對板簧模態(tài)頻率的影響,如圖10所示。圖10中，ΔB為簧身的寬度相對初始寬度的變化量。從圖10可以看出，增加簧身寬度有利于提高板簧的固有頻率。

圖10 簧身寬度對板簧一階彎曲模態(tài)頻率的影響Fig.10 Influence of body width on bending frequency

5 結(jié) 論

(1)本文基于微元法和復(fù)合材料力學(xué)，建立了復(fù)合材料板簧的模態(tài)預(yù)測理論模型，該理論模型能夠避免常規(guī)有限元軟件分析過程中繁瑣的建模、網(wǎng)格劃分等過程，有利于提高計算效率，同時也便于結(jié)合復(fù)合材料板簧的其他性能實現(xiàn)對板簧的參數(shù)化優(yōu)化設(shè)計、縮短復(fù)合材料板簧的正向開發(fā)周期。

(2)鋪層角度對板簧模態(tài)影響較大，0°鋪層時板簧垂向彎曲固有頻率最大，在滿足其他要求的前提下，選用密度較低、彈性模量較大的復(fù)合材料，并盡可能增加簧身寬度，有利于提高彎曲模態(tài)頻率、降低板簧與外界激勵耦合共振的可能性。