思維故事在學(xué)習(xí)進(jìn)階中精彩演繹*
——以“與分段函數(shù)有關(guān)的取值范圍問題”教學(xué)為例

☉江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué) 邵 曦

一、問題的提出

高三階段的復(fù)習(xí)承載著兩大任務(wù)：一是知識(shí)梳理，形成網(wǎng)絡(luò)；二是拓展思維，培養(yǎng)能力.顯然，前者是一輪復(fù)習(xí)的定位，后者是二輪復(fù)習(xí)的立意.當(dāng)前的復(fù)習(xí)課中，大多數(shù)教師階段性目標(biāo)意識(shí)不明確，課堂定位有失偏頗，基本采用“先進(jìn)行10～15 分鐘知識(shí)梳理（以板書或課件的方式），再羅列相關(guān)題型進(jìn)行例題講解”的傳統(tǒng)復(fù)習(xí)模式.結(jié)果往往是教師滔滔不絕，學(xué)生昏昏欲睡，學(xué)習(xí)效果堪憂.細(xì)究其因，筆者認(rèn)為緣于以下三個(gè)方面：

首先，高考復(fù)習(xí)旨在形成條理化、結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的認(rèn)知體系，進(jìn)而提升分析問題和解決問題的能力.傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課中“知識(shí)梳理”和“例題講解”往往呈現(xiàn)“兩層皮”現(xiàn)象，缺乏前后一致、邏輯連貫的教學(xué)樣態(tài)，甚至題型內(nèi)部也缺乏聯(lián)系，傳遞的知識(shí)是碎片化的，訓(xùn)練的能力也是低層次的.

其次，從認(rèn)知心理學(xué)的視角分析，學(xué)生認(rèn)知方式的差異影響學(xué)習(xí)的進(jìn)程.對(duì)于復(fù)習(xí)課中知識(shí)梳理這一環(huán)節(jié)，很多教師習(xí)慣自己歸納然后讓學(xué)生完成填空，這樣導(dǎo)致學(xué)生機(jī)械記憶，被動(dòng)接受，錯(cuò)失主動(dòng)思考和積極參與的觸發(fā)點(diǎn)，以至于在新的問題情境中捉襟見肘，無所適從.

最后，傳統(tǒng)的“題型教學(xué)”著眼于考試題型，力求“全面撒網(wǎng)”，卻忽視“重點(diǎn)捕魚”，復(fù)習(xí)未能精準(zhǔn)定位，學(xué)生也未能有效內(nèi)化“漁魚之道”，長(zhǎng)此以往，不利于學(xué)生遷移應(yīng)用能力的提升.

學(xué)習(xí)進(jìn)階理論旨在揭示學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)某一主題過程中認(rèn)知水平從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從粗放到精致、從低層次到高層次的演進(jìn)序列，凸顯思維發(fā)展的層次性和階段性.依據(jù)理論，以學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)為認(rèn)知起點(diǎn)，以有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為認(rèn)知終點(diǎn)，那么在認(rèn)知起點(diǎn)和認(rèn)知終點(diǎn)之間搭建助力學(xué)生思維逐步演進(jìn)的“階”是關(guān)鍵.如何實(shí)施呢？高三二輪復(fù)習(xí)中，微專題復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)理念完全契合學(xué)習(xí)進(jìn)階理論，它聚焦具體的教情、學(xué)情、考情，立足切口小、角度新、針對(duì)性強(qiáng)的“專題”進(jìn)行微研究，幫助學(xué)生選擇思維進(jìn)階的最優(yōu)路徑，鋪設(shè)層層遞進(jìn)的思維支架，建構(gòu)整體化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維網(wǎng)絡(luò)，力求因微而準(zhǔn)、因微而細(xì)、因微而深、因微而精.筆者以微專題“與分段函數(shù)有關(guān)的取值范圍問題”教學(xué)實(shí)踐為例，談?wù)剬W(xué)習(xí)進(jìn)階演繹精彩的思維故事.

二、學(xué)習(xí)進(jìn)階視域下的認(rèn)知分析

1.學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)模型，以及含“ex、lnx”的超越函數(shù)模型，并具有獨(dú)立研究這些函數(shù)性質(zhì)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn).

2.學(xué)生認(rèn)知潛能分析

學(xué)生經(jīng)歷高三一輪復(fù)習(xí)后，對(duì)分段函數(shù)的整合功能有了進(jìn)一步的理解，對(duì)處理分段函數(shù)問題的解題思想，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等，有了進(jìn)一步的熟悉，對(duì)數(shù)學(xué)問題的提煉、變式、推廣能力有了進(jìn)一步的提升，但要想系統(tǒng)地探究分段函數(shù)的多重性質(zhì)仍會(huì)有一定的困難.

3.學(xué)生認(rèn)知障礙分析

學(xué)生對(duì)含有參數(shù)的分段函數(shù)需依據(jù)怎樣的標(biāo)準(zhǔn)分類討論往往比較困惑，獨(dú)立探究更是困難.他們還不善于利用函數(shù)圖像性質(zhì)探究分段函數(shù)有關(guān)的取值范圍問題，沒有形成動(dòng)態(tài)思維的自覺性，也沒有習(xí)慣等價(jià)轉(zhuǎn)化的思維方式.

4.學(xué)生認(rèn)知差異分析

學(xué)生在認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)、心理、潛能方面都存在較大的差異.認(rèn)知基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生可能只是初步理解分段函數(shù)的概念和性質(zhì)，也只能處理靜態(tài)的分段函數(shù)問題.認(rèn)知基礎(chǔ)較好的學(xué)生，能熟練利用函數(shù)圖像研究相關(guān)性質(zhì)，能用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)分析問題.一些學(xué)有余力的學(xué)生，能通過自主整理歸納和拓展訓(xùn)練反思發(fā)現(xiàn)解決分段函數(shù)范圍問題的有效策略，具備挑戰(zhàn)較難問題的勇氣和能力.

5.學(xué)生認(rèn)知終點(diǎn)分析

學(xué)生借助函數(shù)圖像嘗試解決“與單調(diào)性有關(guān)”、“與零點(diǎn)有關(guān)”、“與多元最值有關(guān)”等分段函數(shù)取值范圍問題，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法，深刻理解分段函數(shù)的本質(zhì)特征；學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑、思辯、評(píng)價(jià)的過程，提高數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力，感受數(shù)學(xué)的理性精神；學(xué)生通過題組化訓(xùn)練，形成解決問題的經(jīng)驗(yàn)?zāi)K和策略模塊，內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法，自育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、基于微專題教學(xué)的進(jìn)階策略分析

1.支架題組，思維基點(diǎn)

支架題1已知函數(shù)，若函數(shù)y=f（x）的最小值為4，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為______.（答案：［e+4，+∞））

支架題2已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0 時(shí)，f（x）=若函數(shù)y=f（x）-m 有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍為______.

支架題3已知函數(shù)，若m＜n，有f（m）=f（n），則m+3n 的取值范圍為______.（答案：（4，+∞））

思維層級(jí)診斷：三個(gè)小題成為本課研究?jī)?nèi)容的先行組織者，抽象出高考中分段函數(shù)考查的三類熱點(diǎn)題型：“有關(guān)單調(diào)性”、“有關(guān)零點(diǎn)”、“有關(guān)多元最值”，成為后續(xù)重點(diǎn)內(nèi)容的生長(zhǎng)點(diǎn).問題設(shè)計(jì)立足學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，應(yīng)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)足以應(yīng)對(duì)自如，處于認(rèn)知發(fā)展的“舒適區(qū)”.當(dāng)然，從方法論層面彰顯了共性的數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)形結(jié)合，這是核心主線，貫穿后續(xù)的學(xué)習(xí)研究，實(shí)現(xiàn)了思維結(jié)構(gòu)從單點(diǎn)聚焦向多點(diǎn)發(fā)散的自然過渡.

進(jìn)階策略分析：首先，以“預(yù)習(xí)單”的形式讓學(xué)生自主解析、獨(dú)立探究、發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)規(guī)律；然后，設(shè)置“先學(xué)留言”版塊，讓學(xué)生寫下自己的問題、內(nèi)心的疑惑及發(fā)現(xiàn)的規(guī)律等，以期思維留痕；最后，課堂上指派學(xué)生代表展示研究成果，同伴點(diǎn)評(píng)，教師點(diǎn)撥，形成共識(shí).通過這種板塊化的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的思維從理解模糊、缺乏邏輯向自主聯(lián)系、漸變有序演進(jìn).

2.核心題組，思維升華

核心題1已知函數(shù)若函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為______.

變式1：已知函數(shù)數(shù)列{an}滿足an=f（n），n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為______.（答案：（2，3））

核心題2已知函數(shù)若函數(shù)g（x）=｜f（x）｜-3x+b 有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b 的取值范圍為______.

變式2：已知函數(shù)若函數(shù)g（x）=f（x）-ax 恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為______.

核心題3已知函數(shù)若f（x1）=的取值范圍為______.（答案：（-1，0））

變式3：已知函數(shù)若a＜b＜c 且f（a）=f（b）=f（c），則（ab+1）c的取值范圍為______.（答案：（16，64））

思維層級(jí)診斷：核心題1 旨在解決“與單調(diào)性有關(guān)的分段函數(shù)問題”，借助函數(shù)圖像列出不等式，變式1 注重深化對(duì)函數(shù)和數(shù)列的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，辨析連續(xù)性函數(shù)與離散型函數(shù)的圖像差異，針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)刺激強(qiáng)化；核心題2旨在解決“與零點(diǎn)有關(guān)的分段函數(shù)問題”，讓學(xué)生體驗(yàn)通過“分離變量或分離函數(shù)”簡(jiǎn)化作圖，凸顯等價(jià)轉(zhuǎn)化的重要性，變式2 讓學(xué)生嘗試不同的轉(zhuǎn)化方式，學(xué)會(huì)選擇和優(yōu)化；核心題3 旨在解決“與多元最值有關(guān)的分段函數(shù)問題”，立足“降維”思想，將多元問題向一元問題轉(zhuǎn)化，借助函數(shù)圖像，準(zhǔn)確找到函數(shù)定義域，變式3 通過改變函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸的思維.三個(gè)核心題是對(duì)三個(gè)支架題的深化和拓展，訓(xùn)練學(xué)生的模式識(shí)別能力，讓學(xué)生經(jīng)歷適度的思維“焦慮區(qū)”，在“憤悱”的狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)“自悟”，促進(jìn)思維結(jié)構(gòu)從多點(diǎn)發(fā)散向聯(lián)想遷移有序發(fā)展；三個(gè)變式題針對(duì)三個(gè)核心題精心設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生增強(qiáng)效果、鞏固記憶、熟練技能，讓學(xué)生感悟解題思想、逼近數(shù)學(xué)本質(zhì)、形成學(xué)科素養(yǎng)，進(jìn)而促進(jìn)思維的整體化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化.

進(jìn)階策略分析：以“課堂活動(dòng)任務(wù)單”的形式呈現(xiàn)三道核心題，凸顯復(fù)習(xí)主題，讓學(xué)生先自主作答、獨(dú)立思考；通過課堂巡視，收集典型正解和錯(cuò)解，投影點(diǎn)評(píng)，讓當(dāng)事人談?wù)劷忸}思路和解題困惑，其他同學(xué)補(bǔ)充或糾正；對(duì)于三個(gè)變式題事先不呈現(xiàn)給學(xué)生，尋找合適的時(shí)機(jī)串講，必要時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生自己編擬問題、合作討論、積淀解題經(jīng)驗(yàn).通過這樣整體的結(jié)構(gòu)化設(shè)計(jì)，讓學(xué)生的思維從多點(diǎn)發(fā)散向關(guān)聯(lián)整合逐步進(jìn)階.

3.課堂留白，思維拓展

問題1：你能談?wù)勥@節(jié)課我們研究了哪些有關(guān)分段函數(shù)的熱點(diǎn)問題？

問題2：解決這些問題需要應(yīng)用哪些思想方法？有沒有類似的解題經(jīng)歷？

問題3：回憶一下，分段函數(shù)取值范圍問題還涉及其他哪些熱點(diǎn)方向？

問題4：請(qǐng)結(jié)合本課的研究?jī)?nèi)容及尚未研究的熱點(diǎn)問題撰寫一篇數(shù)學(xué)小論文，期待進(jìn)一步交流.

思維層級(jí)診斷：通過以開放性、探究性、任務(wù)性立意的問題串，打開學(xué)生的思維空間，讓學(xué)生從思維的“焦慮區(qū)”躍遷至思維的“挑戰(zhàn)區(qū)”，認(rèn)知結(jié)構(gòu)從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)進(jìn)階為抽象拓展結(jié)構(gòu)，從而使高階思維能力得以有效提高.

進(jìn)階策略分析：建構(gòu)問題鏈，導(dǎo)通思維鏈，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，形成前后一致、邏輯連貫的思維體系，并讓數(shù)學(xué)小論文成為思維可視化的有效載體，最終促進(jìn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的長(zhǎng)期有效發(fā)展.

四、教學(xué)啟示

1.“題組化”引領(lǐng)高階思維

高三二輪復(fù)習(xí)中，以“支架題組化、例題題組化、變式題組化、拓展題組化”組織微專題教學(xué)，能精準(zhǔn)定位教學(xué)目標(biāo)，有效促進(jìn)深度學(xué)習(xí).微專題“與分段函數(shù)有關(guān)的取值范圍問題”涉及的題型較多，精選三類典型問題“單調(diào)性、零點(diǎn)、多元最值”進(jìn)行研究，有助于以點(diǎn)帶面，凸顯重點(diǎn).題組化的組織形式旨在提升學(xué)生的思維能力，促進(jìn)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，通過設(shè)計(jì)一組或多組具有典型代表性的題目作為思維載體，每組中呈現(xiàn)同題多變、同題多解、同題多法、同法多題等變式方法，幫助學(xué)生習(xí)得有價(jià)值的知識(shí)和內(nèi)化可遷移的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想方法，從而讓高階思維自然生成.

2.主體參與，師生共育

微專題應(yīng)基于高考的熱點(diǎn)問題和學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)立意，教學(xué)過程中教師要關(guān)注學(xué)生的疑點(diǎn)和錯(cuò)點(diǎn)重點(diǎn)辨析，注重質(zhì)疑和思辨能力的培養(yǎng)，串講方法，積淀經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò).為了防止出現(xiàn)師生思維落差而造成教與學(xué)脫節(jié)，可以讓學(xué)生自主建構(gòu)，展示成果，相互點(diǎn)評(píng)，辯論糾錯(cuò)，自擬變式，聯(lián)想拓展，撰文反思等，教師通過課堂觀察，及時(shí)調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié)，建構(gòu)精準(zhǔn)的思維邏輯，與學(xué)生思維和諧共振.這樣，師生共育的思維場(chǎng)一定可以實(shí)現(xiàn)學(xué)生關(guān)鍵能力和教師專業(yè)素養(yǎng)發(fā)展的相互成全.