以數(shù)學(xué)概率知識(shí)解決“遺傳的自由組合問(wèn)題”

安徽 尚麗麗

《普通高中生物學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版2022年修訂)對(duì)遺傳規(guī)律的要求是“闡明有性生殖中基因的分離和自由組合使得子代的基因型和表型有多種可能，并可由此預(yù)測(cè)子代的遺傳性狀”；學(xué)業(yè)要求為“運(yùn)用統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，解釋并預(yù)測(cè)種群內(nèi)某一遺傳性狀的分布及變化(科學(xué)思維、科學(xué)探究)”。在2021年、2022年的全國(guó)理綜甲、乙卷中，遺傳題占的比例較大，都是一道選擇題和一道12分大題(2021年全國(guó)乙卷10分)。由此可見(jiàn)，高考中這部分知識(shí)側(cè)重對(duì)學(xué)生思維能力的考查，且力度較大，這部分內(nèi)容在一輪復(fù)習(xí)中也同樣是重點(diǎn)和難點(diǎn)。

在新課學(xué)習(xí)時(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)科還沒(méi)有學(xué)習(xí)到概率這部分知識(shí)，有很大一部分學(xué)生對(duì)自由組合定律的理解不夠通徹，知其然而不知其所以然，所以在一輪復(fù)習(xí)的教學(xué)中，可以將數(shù)學(xué)概率的知識(shí)應(yīng)用到孟德?tīng)栠z傳規(guī)律的知識(shí)模塊中。

一、數(shù)學(xué)概率基礎(chǔ)知識(shí)

獨(dú)立事件：在兩個(gè)事件中，如果其中一個(gè)事件是否發(fā)生對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，就把它們叫做相互獨(dú)立事件。若事件A和事件B相互獨(dú)立，用P(A)表示A事件發(fā)生的概率，P(B)表示B事件發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A和B同時(shí)發(fā)生的概率，則P(AB)=P(A)P(B)。

互斥事件：如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發(fā)生的概率等于這m個(gè)事件分別發(fā)生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)。

生物體在減數(shù)分裂形成配子時(shí)，非同源染色體上的非等位基因自由組合，就是獨(dú)立事件，即獨(dú)立遺傳。在解決多對(duì)基因獨(dú)立遺傳的問(wèn)題時(shí)，可以先逐對(duì)分析基因及其控制的性狀，再用概率知識(shí)組合以求得后代各種概率。

二、解題示例

1.獨(dú)立遺傳的兩對(duì)基因控制兩對(duì)相對(duì)性狀

【例1】甲、乙兩種單基因遺傳病分別由基因A、a和D、d控制，圖一為兩種病的家系圖，圖二為Ⅱ10體細(xì)胞中兩對(duì)同源染色體上相關(guān)基因定位示意圖。以下分析正確的是

( )

A.甲病為常染色體顯性遺傳病

B.Ⅱ6個(gè)體的基因型為aaXDXD或aaXDXd

C.Ⅲ13個(gè)體是雜合子的概率為1/2

D.Ⅲ12與Ⅲ14婚配后代正常的概率為5/48

【答案】D

【分析】本題涉及非同源染色體上的非等位基因控制的兩對(duì)相對(duì)性狀，是獨(dú)立事件，即獨(dú)立遺傳，可以先逐對(duì)分析每對(duì)基因控制的性狀，再用棋盤(pán)法組合以求得后代各種表現(xiàn)型的概率。該方法中需要使用縱橫交錯(cuò)的表格，表頭行與列中的內(nèi)容是兩類獨(dú)立事件，行(或列)中是互斥事件(或?qū)α⑹录?及概率，除表頭外的格是兩個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率。孟德?tīng)栐诒磉_(dá)配子隨機(jī)結(jié)合形成合子時(shí)，就采用了棋盤(pán)法。雖然在兩對(duì)相對(duì)性狀的雜交實(shí)驗(yàn)中，棋盤(pán)法煩瑣，但其核心思想可以在遺傳類問(wèn)題的解決中靈活應(yīng)用。

【解答】據(jù)圖一、圖二可知，甲病的遺傳方式為常染色體隱性遺傳，乙病的遺傳方式為伴X染色體顯性遺傳，A錯(cuò)誤；Ⅱ6兩病皆患，母親正常，故Ⅱ6的基因型為aaXDXd，B錯(cuò)誤；Ⅱ9的基因型為AaXDXD或AaXDXd，Ⅱ10的基因型為AaXDY，Ⅲ13患甲病，其基因型為aa，由其父母推知Ⅲ13乙病基因型為1/4 XDXd，3/4 XDXD,Ⅲ13個(gè)體是雜合子的概率為1/4,C錯(cuò)誤；Ⅲ12的基因型為AaXdY，Ⅲ14的基因型為(1/3 AA，2/3 Aa)(3/4 XDXD，1/4 XDXd)，兩種方法分析如下：

方法一：用Ⅲ12和Ⅲ14的基因型組合計(jì)算子代基因型及概率

先分析甲病的遺傳，二者后代基因型及概率分別為5/6 A_,1/6 aa,如表格一，再分析乙病的遺傳，基因型及概率分別為7/16 XDXd,7/16 XDY,1/16 XdXd,1/16 XdY，如表格二，最后把結(jié)果組合如表格三；

表格一

表格二

表格三

婚配后代表現(xiàn)正常的概率為5/6×1/16×2=5/48，D正確(其他“略”的單元格的基因型均表現(xiàn)患病)。

在表格一中Ⅲ14的基因型為AA和Aa是對(duì)立事件，概率和為1，Ⅲ12和Ⅲ14的基因型為獨(dú)立事件，同時(shí)發(fā)生的概率為兩概率之積，表格二同理。在表格三中，關(guān)于乙病，Ⅲ12和Ⅲ14后代的基因型為XDXd、XdXd、XDY、XdY是互斥事件，概率和為1，關(guān)于甲病同理，又因?yàn)锳/a與D/d的遺傳是獨(dú)立事件，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率是兩事件的概率相乘。

方法二：用Ⅲ12和Ⅲ14產(chǎn)生的配子概率計(jì)算子代基因型及概率

Ⅲ12產(chǎn)生的配子是1/4 AXd,1/4 AY,1/4 aXd,1/4 aY;Ⅲ14產(chǎn)生的配子2/24 AXd,1/24 aXd,14/24 AXD,7/24 aXD；推斷過(guò)程略，列棋盤(pán)如表格四：

表格四

雌雄配子隨機(jī)結(jié)合的過(guò)程中，雌、雄配子的基因型是獨(dú)立事件，概率相乘；各種組合產(chǎn)生的子代基因型為互斥事件，表格中①②③④⑤⑥單元格中的基因型均表現(xiàn)正常，概率之和是5/48(表格中空白單元格的基因型表現(xiàn)為患病)。

【變式一】(2021年，山東卷，第22題節(jié)選)番茄是雌雄同花植物，可自花受粉也可異花受粉。M、m基因位于2號(hào)染色體上，基因型為mm的植株只產(chǎn)生可育雌配子，表現(xiàn)為小花、雄性不育。基因型為MM、Mm的植株表現(xiàn)為大花、可育。R、r基因位于5號(hào)染色體上，基因型為RR、Rr、rr的植株表現(xiàn)型分別為正常成熟紅果、晚熟紅果、晚熟黃果。

(1)基因型為Mm的植株連續(xù)自交兩代，F(xiàn)2中雄性不育植株所占的比例為_(kāi)_______。雄性不育植株與野生型植株雜交所得可育晚熟紅果雜交種的基因型為_(kāi)_______，以該雜交種為親本連續(xù)種植，若每代均隨機(jī)受粉，則F2中可育晚熟紅果植株所占比例為_(kāi)_______。

【答案】(1)1/6 MmRr 5/12

【分析】本題涉及獨(dú)立遺傳的兩對(duì)等位基因。群體自由交配時(shí)產(chǎn)生的配子種類多，后代基因型和表現(xiàn)型的種類也多，學(xué)生容易思路混亂，難度較大。建議把兩對(duì)基因拆分，通過(guò)先對(duì)每對(duì)基因單獨(dú)繪制棋盤(pán)進(jìn)行求解，之后再組合，從而簡(jiǎn)化解題步驟，最終快速而準(zhǔn)確求解。

【解答】(1)基因型為Mm的植株自交,F1中MM∶Mm∶mm=1∶2∶1，其中MM、Mm的植株表現(xiàn)為大花、可育，mm的植株只產(chǎn)生可育雌配子,故只有1/3 MM和2/3 Mm能夠自交,則F2中雄性不育植株mm所占的比例為2/3×1/4=1/6。雄性不育植株mm與野生型植株雜交所得可育(Mm)晚熟紅果(Rr)雜交種的基因型為MmRr，以該雜交種為親本連續(xù)種植,若每代均隨機(jī)受粉，即自由交配，兩對(duì)等位基因自由組合。M、m這對(duì)基因自由交配后F1的基因型是1/4 MM，2/4 Mm，1/4 mm。F1產(chǎn)生的可育雌配子是1/2 M，1/2 m，可育雄配子是2/3 M，1/3 m，雌雄配子隨機(jī)結(jié)合后如表格五：

表格五

F2的基因型是2/6 MM，3/6 Mm，1/6 mm。

R，r這對(duì)基因自由交配后F1是1/4 RR，2/4 Rr，1/4 rr。F1產(chǎn)生的可育雌雄配子均為1/2 R，1/2 r，雌雄配子隨機(jī)結(jié)合后F2的基因型是1/4 RR，2/4 Rr，1/4 rr。再將兩對(duì)性狀自由組合，列棋盤(pán)如表格六：

F2中可育晚熟紅果植株(基因型為M_Rr)所占比例為2/4×5/6=5/12(其他單元格略)。

在表格五中雌(雄)配子的兩種基因型互為對(duì)立事件，概率和是1，雌雄配子的結(jié)合是獨(dú)立事件，概率相乘，F(xiàn)2的基因型是2/6 MM，3/6 Mm，1/6 mm，是互斥事件，概率求和，即5/6M_。在表格六中表頭的行與列中的事件是獨(dú)立事件，概率相乘。

2.獨(dú)立遺傳的多對(duì)基因控制的性狀

【例2】植物紅花和白花這對(duì)相對(duì)性狀同時(shí)受多對(duì)等位基因控制(如A、a；B、b；C、c......),當(dāng)個(gè)體的基因型中每對(duì)等位基因都至少含有一個(gè)顯性基因時(shí)(即A_B_C_......)才開(kāi)紅花,否則開(kāi)白花。現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4個(gè)純合白花品系，相互之間進(jìn)行雜交，雜交組合、后代表型及其比例如圖三:

圖三

根據(jù)雜交結(jié)果可知,本實(shí)驗(yàn)中植物的花色至少受________獨(dú)立遺傳的等位基因的控制。

A.2對(duì) B.4對(duì)

C.3對(duì) D.6對(duì)

【答案】B

【分析】本題是純合親本雜交得到F1，F(xiàn)1自交后得到F2，根據(jù)F2的性狀分離比來(lái)逆推該性狀由幾對(duì)等位基因控制，即知道若干獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，來(lái)推知到底是幾個(gè)獨(dú)立事件。借此題還可將某一事件發(fā)生的概率類比為眾多子代中某一表現(xiàn)型所占比例。本題的思維誤區(qū)是學(xué)生容易將題干信息“后代表現(xiàn)型及其比例”忽略或理解為“后代表現(xiàn)型及其個(gè)體數(shù)”而展開(kāi)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)處理,導(dǎo)致“陷入泥潭”，不僅耗費(fèi)大量的時(shí)間，而且會(huì)作答錯(cuò)誤。

【解答】根據(jù)題意“當(dāng)個(gè)體的基因型中每對(duì)等位基因都至少含有一個(gè)顯性基因時(shí)(即A_B_C_.....)才開(kāi)紅花，否則開(kāi)白花”可知,F1紅花自交，若子代紅花占3/4,說(shuō)明F1含一對(duì)等位基因，若子代紅花占3/4×3/4=9/16，說(shuō)明F1含兩對(duì)等位基因，以此類推。根據(jù)乙×丙和甲×丁兩個(gè)雜交組合中,F2中紅色個(gè)體占全部個(gè)體的比例為81/(81+175)=(3/4)4,可推知F1含有四對(duì)獨(dú)立遺傳的等位基因，F(xiàn)2每對(duì)等位基因中至少含有一個(gè)顯性基因的概率為3/4,獨(dú)立遺傳的四對(duì)等位基因相當(dāng)于四個(gè)相互獨(dú)立事件，同時(shí)發(fā)生的概率是(3/4)4。

【變式二】(2021年，全國(guó)乙卷，第6題)某種二倍體植物的n個(gè)不同性狀由n對(duì)獨(dú)立遺傳的基因控制(雜合子表現(xiàn)顯性性狀)。已知植株A的n對(duì)基因均雜合。理論上，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

( )

A.植株A的測(cè)交子代會(huì)出現(xiàn)2n種不同表現(xiàn)型的個(gè)體

B.n越大，植株A測(cè)交子代中不同表現(xiàn)型個(gè)體數(shù)目彼此之間的差異越大

C.植株A測(cè)交子代中n對(duì)基因均雜合的個(gè)體數(shù)和純合子的個(gè)體數(shù)相等

D.n≥2時(shí),植株A的測(cè)交子代中雜合子的個(gè)體數(shù)多于純合子的個(gè)體數(shù)

【答案】B

【分析】本題涉及獨(dú)立遺傳的n對(duì)基因控制n個(gè)性狀，是n個(gè)獨(dú)立事件的同時(shí)發(fā)生，不僅可用乘法公式計(jì)算基因型，還延伸出“基因型種類及比例的乘法”“表現(xiàn)型種類及比例的乘法”。

【解答】本題中n對(duì)等位基因獨(dú)立遺傳，n=1時(shí)，測(cè)交后代有2種表現(xiàn)型，每種表現(xiàn)型出現(xiàn)的概率都是1/2，純合子概率是1/2；n=2時(shí)，測(cè)交后代有22種表現(xiàn)型，每種表現(xiàn)型出現(xiàn)的概率都是(1/2)2，2對(duì)基因均雜合的概率是(1/2)2，純合子概率是(1/2)2；依此類推，植株A的n對(duì)基因均雜合，測(cè)交后代有2n種表現(xiàn)型，每種表現(xiàn)型出現(xiàn)的概率都是(1/2)n，n對(duì)基因均雜合的概率是(1/2)n，純合子概率是(1/2)n，A正確，C正確，B錯(cuò)誤；“測(cè)交后代是純合子”與“測(cè)交后代是雜合子”是對(duì)立事件，所以后代雜合子的比例是1-(1/2)n，n≥2時(shí)，植株A的測(cè)交子代中雜合子的個(gè)體數(shù)多于純合子的個(gè)體數(shù)，D正確。

三、小結(jié)