ECC 單軸受拉損傷本構(gòu)模型研究

李 可，趙大鵬，劉偉康，范家俊

(1. 鄭州大學(xué)土木工程學(xué)院，河南，鄭州 450001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，黑龍江， 哈爾濱 150006)

ECC 是20 世紀(jì)90 年代提出并不斷發(fā)展的一種新型水泥基復(fù)合材料[1]。由于纖維的存在，ECC在受壓、受拉和彎曲作用下表現(xiàn)出超高的韌性[2]、能量耗散[3]以及抑制開裂效應(yīng)[4]。因此，ECC 被廣泛應(yīng)用在各類受損結(jié)構(gòu)的修復(fù)和加固工程[5?9]。

ECC 受拉本構(gòu)模型是ECC 被研究和應(yīng)用的前提。常用的ECC 受拉本構(gòu)模型有：不包含軟化段的三折線模型[10]和雙折線模型[11]，包含軟化段的三折線模型[12?14]。但這些模型忽略了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的非線性特征，也不能描述拉力作用下微觀缺陷的發(fā)展所造成的ECC 損傷狀態(tài)。損傷本構(gòu)模型是利用損傷力學(xué)方法來描述材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的新方法，并成功地應(yīng)用在混凝土等材料[15?17]。因此，一些學(xué)者開始利用損傷力學(xué)方法研究應(yīng)變硬化水泥基材料的本構(gòu)模型。

KABIR 等[13]利用應(yīng)力法定義了ECC 的拉壓損傷因子，基于ECC 的損傷模型，使用有限元方法研究了預(yù)制ECC 和輕質(zhì)混凝土組合鋼梁的彎曲和粘結(jié)性能。KRAHL 等[18]對超高性能纖維增強(qiáng)混凝土(UHPFRC)的拉壓損傷演化規(guī)律進(jìn)行了單調(diào)和循環(huán)荷載試驗(yàn)和數(shù)值模擬研究，并利用剛度法定義了UHPFRC 的損傷因子，然后，基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)得到損傷因子的具體表達(dá)式。HE 等[19]同樣利用剛度法定義了應(yīng)變硬化水泥基復(fù)合材料(SHCC)的損傷因子，并分析了SHCC 在單軸受力狀態(tài)下的損傷演化規(guī)律。之后，CAI 等[20]利用剛度法定義的ECC 損傷因子分析了ECC 鋼管混凝土組合柱的抗震性能。CHEN 等[21]和HU 等[22]分別在對高層建筑和FIU 橋梁進(jìn)行數(shù)值模擬研究時(shí)，采用Najar 能量方法定義了混凝土的損傷因子，CHENG等[23]也利用該方法定義了ECC 的拉壓損傷因子。

然而，應(yīng)力法定義的損傷因子只能表達(dá)應(yīng)力達(dá)到峰值應(yīng)力之后的損傷，ECC 在首次開裂后的應(yīng)變硬化階段的損傷則不能體現(xiàn)。剛度法和能量法定義的ECC 損傷因子能夠表達(dá)ECC 受力全過程的損傷，但是這兩種方法預(yù)測的損傷演化曲線不能反映應(yīng)ECC 受拉應(yīng)變硬化和應(yīng)變軟化兩個(gè)階段不同的損傷機(jī)制。

因此，本文致力于針對能夠合理描述ECC 單軸受拉各階段損傷機(jī)制的非線性本損傷構(gòu)模型的研究，進(jìn)行以下研究工作：首先，對ECC 試件進(jìn)行單軸單調(diào)拉伸試驗(yàn)，分析了不同PVA 體積摻入量和水膠比對受拉力學(xué)性能的影響規(guī)律，揭示在單軸拉伸作用下ECC 的損傷演化規(guī)律；進(jìn)而，基于ECC 受拉損傷演化規(guī)律，提出ECC 單軸受拉損傷本構(gòu)模型和模型參數(shù)的計(jì)算方法；最后，將模型計(jì)算應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果作對比，以驗(yàn)證本文模型的精確性和合理性。

1 試驗(yàn)研究

1.1 試件設(shè)計(jì)

本文制作ECC 采用的原材料有自來水、普通硅酸鹽水泥(P.O.42.5)、PVA 纖維、粉煤灰(一級)、微硅粉、細(xì)砂(最大粒徑不大于74 μm)以及聚羧酸高效減水劑。通過單軸拉伸試驗(yàn)，探究PVA 纖維體積摻量(v)和水膠比(r)兩種因素對試件拉伸性能和損傷演化的影響規(guī)律。試驗(yàn)中共設(shè)計(jì)5 組試件，每組5 個(gè)試件，試件尺寸為厚度×寬度×長度=13 mm×40 mm×280 mm。試驗(yàn)在電液壓伺服材試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，加載速度為0.2 mm/min。加載裝置及試件尺寸如圖1 所示。試驗(yàn)ECC 配合比見表1 所示。

圖1 加載裝置與試件尺寸 /mmFig. 1 Test setup and specimen size

表1 ECC 配合比 /kgTable 1 ECC mix proportion

1.2 ECC 拉伸試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)ECC 單軸受拉試驗(yàn)，各組試件的受拉力學(xué)性能指標(biāo)實(shí)測值(開裂應(yīng)變εk、開裂應(yīng)力σk、峰值應(yīng)變εp、峰值應(yīng)力σp和極限應(yīng)變εu)如表2所示。

應(yīng)當(dāng)指出，表2 中的數(shù)據(jù)為各組的平均值，其中C 組和E 組由于試件結(jié)果偏差較大而剔除了2 個(gè)試件的數(shù)據(jù)，每組的平均變異系數(shù)(每項(xiàng)力學(xué)指標(biāo)變異系數(shù)的平均值，并以此來衡量該組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散程度)分別為：A 組為0.214，B 組為0.238， C 組 為 0.171， D 組 為 0.212， E 組 為0.098。因此，從表2 可以看出，當(dāng)ECC 試件水膠比為0.28 時(shí)，A、B 和E 組試件的PVA 纖維體積摻入量從0.01 增加至0.015 和0.02 時(shí)，開裂應(yīng)變分別增加25%和125%，開裂應(yīng)力分別增加2.1%和6.4%，峰值應(yīng)力增加19.36%和19.76%，峰值應(yīng)力點(diǎn)對應(yīng)的峰值應(yīng)變分別增加25.5%和300%，試件斷裂時(shí)的極限應(yīng)變分別增加26.8%和99.5%。當(dāng)ECC 試件的PVA 纖維體積摻入量為0.02 時(shí)，C、D 和E 組試件的水膠比從0.24 增加至0.25 和0.28 時(shí)，開裂應(yīng)變分別增加75%和125%，開裂應(yīng)力分別降低15.7%和41.6%，峰值應(yīng)力降低13.6%和35%，峰值應(yīng)變分別增加64%和340%，極限應(yīng)變分別增加25.1%和77.1%。以上分析表明，PVA 纖維體積摻入量的增加能夠顯著增加ECC 的變形能力，但對強(qiáng)度影響不明顯；水膠比的提高能夠提高ECC 的變形能力，但會(huì)降低ECC 的強(qiáng)度。

表2 試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Test results

典型試件的受拉應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)€如圖2 所示。ECC 在受拉過程中表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變硬化現(xiàn)象，隨著PVA 纖維體積摻入量的和水膠比的增加，應(yīng)變硬化段明顯延長；當(dāng)應(yīng)變達(dá)到峰值應(yīng)變后，進(jìn)入應(yīng)變軟化階段，直至達(dá)到極限應(yīng)變發(fā)生斷裂。

圖2 典型拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig. 2 Typical tensile stress-strain curve

1.3 ECC 受拉損傷演化機(jī)制分析

試件典型破壞過程和損傷演化過程如圖3 所示，根據(jù)ECC 受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線的形狀和受力特點(diǎn)，可將ECC 單軸拉伸損傷演化分為以下3 個(gè)階段進(jìn)行描述：

圖3 應(yīng)力-應(yīng)變曲線特征與損傷演化機(jī)制Fig. 3 Stress-strain characteristics and damage evolution mechanism

第一階段：彈性無損階段，此階段為試件開始加載到首次開裂的直線段， ECC 受拉應(yīng)力與應(yīng)變在此階段近似線彈性關(guān)系，ECC 基本處于無損狀態(tài)。

第二階段：應(yīng)變硬化與穩(wěn)定損傷階段，此階段為從首次開裂點(diǎn)到峰值點(diǎn)之間的曲線段。這一階段試件的應(yīng)力隨著應(yīng)變的增加而緩慢增加，裂縫數(shù)量也不斷地增加，表現(xiàn)出明顯的應(yīng)變硬化和多縫開裂現(xiàn)象。試件的損傷開始在開裂截面處開展，但是由于PVA 纖維的橋聯(lián)作用，試件表面不斷有新的截面產(chǎn)生新的水平細(xì)長裂縫。這說明損傷被分散和轉(zhuǎn)移到其他的截面位置，直到應(yīng)力達(dá)到峰值應(yīng)力，試件表面不再產(chǎn)生新的裂縫。

第三階段：應(yīng)變軟化與不穩(wěn)定損傷階段，此階段為峰值點(diǎn)之后的下降段。在該階段，隨著應(yīng)變的增加，應(yīng)力開始下降，纖維開始不斷的從基體中被拔出或被拉斷，試件表面的細(xì)小裂縫隨著應(yīng)力的下降開始逐漸變寬。由于基體中纖維的失效，損傷快速增加，使得損傷處于不穩(wěn)定的增加狀態(tài)。最終，試件標(biāo)段內(nèi)的某處形成主裂縫，試件最終在主裂縫處斷裂。

2 模型研究

2.1 本文ECC 受拉損傷模型的建立

為更好反映不同階段損傷發(fā)展特征，本文采用應(yīng)力應(yīng)變曲線上一點(diǎn)與原點(diǎn)之間割線與橫軸夾角變化程度表達(dá)的ECC 受拉損傷因子(見圖4(a)及式(1))，同時(shí)根據(jù)1.3 節(jié)所分析的損傷演化過程，將損傷演化曲線定義為分段函數(shù)曲線，如圖4(b)所示。在彈性階段，ECC 的損傷因子為零，反映了該階段ECC 處于彈性無損傷狀態(tài)；在應(yīng)變硬化階段，損傷因子隨應(yīng)變增長相對緩慢，且增長速率減小，可反映該階段損傷穩(wěn)定緩慢發(fā)展特性；在應(yīng)變軟化階段，損傷因子隨應(yīng)變增長相對較快，且增長速率不斷增加，可反映該階段損傷失穩(wěn)快速發(fā)展特性。

圖4 本文損傷因子與損傷演化曲線的定義Fig. 4 Definition of damage variable and damage evolution curve in this paper

因此，損傷因子可表達(dá)為：

式中：θ0為ECC 試件單軸受拉彈性階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線與橫軸的夾角；θ 為ECC 試件單軸受拉應(yīng)力-應(yīng)變曲線的割線與橫軸之間的夾角。

式中：E0為初始彈性模量；E為割線模量；ε 為ECC 試件單軸受拉應(yīng)變；σ 為ECC 試件單軸受拉應(yīng)力。

因此，應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以表達(dá)為：

根據(jù)本文1.3 節(jié)對ECC 單軸受拉損傷演化機(jī)制的分析，可以假設(shè)損傷因子的函數(shù)為如下形式：

式中：k、b、A、B和C為模型系數(shù)。

同時(shí)，損傷因子表達(dá)式應(yīng)滿足如下邊界條件：

2.2 模型系數(shù)求解與損傷演化分析

從上述模型系數(shù)表達(dá)式(9)～式(11)中可以看出，只有b和A兩個(gè)系數(shù)為獨(dú)立未知量。為確定這兩個(gè)系數(shù)，可以通過對試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行擬合分析的方法實(shí)現(xiàn)。采用式(5)，對各組試件的損傷因子-應(yīng)變曲線進(jìn)行擬合，得到各組試件的模型系數(shù)b和A的值，然后將b和A代入式(9)～式(11)，得到系數(shù)k、B和C的值，如表3 所示。

由表3 可知，系數(shù)b和A隨PVA 纖維體積摻入量和水膠比的增加而減小，說明在應(yīng)變硬化和應(yīng)變軟化階段PVA 纖維體積摻入量和水膠比均對損傷演化產(chǎn)生影響。因此，系數(shù)b和A可以擬合為PVA 纖維體積摻入量和水膠比的函數(shù)，相關(guān)系數(shù)R2分別為0.974 和0.973，表達(dá)式為：

表3 損傷模型系數(shù)Table 3 damage model coefficients

式中：PVA 纖維體積摻入量v的適用范圍為0.01～0.02；ECC 水膠比r的適用范圍為0.24～0.28。

損傷模型系數(shù)b和A的實(shí)際結(jié)果與PVA 纖維體積摻入量v以及ECC 水膠比r的關(guān)系如圖5所示。

圖5 損傷模型系數(shù)b 和A 與PVA 纖維體積摻入量v 和水膠比r 的關(guān)系Fig. 5 The relationship between damage parameters (b and A)and PVA fiber volume v and water-binder ratio r

基于上述模型系數(shù)的數(shù)值擬合分析，為了進(jìn)一步分析應(yīng)變硬化段和應(yīng)變軟化段損傷演化的規(guī)律，對該階段損傷因子關(guān)于應(yīng)變求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，如下式所示：

從式(14)和式(15)可以分析得出，在應(yīng)變硬化階段，損傷因子一階導(dǎo)數(shù)(即損傷速率)大于0，但是二階導(dǎo)數(shù)卻小于0，這反映了ECC 在該階段損傷發(fā)展特征，即損傷雖然不斷累計(jì)增加，但由于纖維的存在使得損傷增加的速率不斷降低，處于穩(wěn)定發(fā)展?fàn)顟B(tài)。在應(yīng)變軟化階段，損傷的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均大于0，這亦反映了ECC 在該階段發(fā)展特點(diǎn)，即由于PVA 纖維的不斷拔出或拉斷破壞，導(dǎo)致ECC 損傷程度快速增長，且增長速率不斷增大，處于不穩(wěn)定損傷狀態(tài)。以上的分析與1.3 節(jié)ECC 受拉損傷演化機(jī)制分析的一致，這也說明本文假設(shè)的損傷因子表達(dá)式(5)能夠合理的反映ECC 受拉損傷演化規(guī)律。

2.3 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提模型的適用性，本文進(jìn)行了驗(yàn)證試驗(yàn)。驗(yàn)證組試件的尺寸、制作、加載與試驗(yàn)組相同，共設(shè)計(jì)5 組，每組2 個(gè)試件。但由于試驗(yàn)加載等其他因素導(dǎo)致VC 組試驗(yàn)結(jié)果離散太大而舍棄，其余各組試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別為各組的平均值。驗(yàn)證組的試驗(yàn)參數(shù)及試驗(yàn)結(jié)果如表4 所示。

表4 驗(yàn)證組試驗(yàn)結(jié)果與損傷模型系數(shù)Table 4 Test results and damage model coefficients of the verification groups

與試驗(yàn)組相同，仍以每組ECC 單軸拉伸試件力學(xué)性能指標(biāo)的平均變異系數(shù)來衡量該組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散程度。VA 組的平均變異系數(shù)為0.130，VB 組為0.181，VD 組為0.091，VE 組為0.099。

為了驗(yàn)證損傷模型系數(shù)b和A，現(xiàn)利用驗(yàn)證組實(shí)測值b0和A0(每組的平均值)與式(12)和式(13)計(jì)算值對比，對比結(jié)果如表5 所示。

表5 驗(yàn)證組損傷模型系數(shù)b、A 與計(jì)算值Table 5 Comparison of b and A of the verification group with the calculated values

由表5 可以看出，損傷模型系數(shù)b和A的實(shí)測值與計(jì)算值之比的均值分別為1.040 和1.049，其變異系數(shù)為0.021 和0.115，這說明利用式(12)和式(13)計(jì)算驗(yàn)證組的損傷模型系數(shù)b與A是合理的，進(jìn)而可以對驗(yàn)證組的損傷演化曲線以及應(yīng)力-應(yīng)變曲線進(jìn)行對比。

將表4 中的數(shù)據(jù)代入式(9)～式(13)和式(5)，可以計(jì)算得到驗(yàn)證組試件的損傷演化曲線，并與驗(yàn)證組試件試驗(yàn)損傷演化曲線對比，如圖6 所示。將試驗(yàn)組和驗(yàn)證組受拉基本參數(shù)代入到模型系數(shù)計(jì)算式(9)～式(11)計(jì)算出模型系數(shù)，然后將模型系數(shù)代入式(4)和式(5)，可以得到模型預(yù)測的ECC 受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。為了驗(yàn)證本文模型的準(zhǔn)確性，現(xiàn)將試驗(yàn)數(shù)據(jù)、本文模型計(jì)算結(jié)果以及ECC 受拉三折線應(yīng)力-應(yīng)變曲線模型[12? 14, 24 ? 25]三者相互對比，如圖7 所示。

從圖6 可以看出，驗(yàn)證組試件的損傷演化曲線在達(dá)到峰值應(yīng)力前和本文模型預(yù)測結(jié)果十分接近，達(dá)到峰值應(yīng)力后的不穩(wěn)定損傷階段實(shí)測結(jié)果和模型預(yù)測結(jié)果存在誤差，但整體趨勢一致，誤差原因是該階段纖維不斷的拔出或者斷裂，試驗(yàn)結(jié)果不易測量準(zhǔn)確。整體上，模型預(yù)測曲線與試驗(yàn)曲線吻合良好。

圖6 ECC 受拉損傷演化曲線的驗(yàn)證Fig. 6 Verification of ECC tensile damage evolution curve

從圖7 可以看出，試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線在開裂前基本處于線性階段，本文模型與三折線模型均與試驗(yàn)曲線吻合良好；在應(yīng)變硬化與穩(wěn)定損傷階段，試驗(yàn)應(yīng)力-應(yīng)變曲線開始非線性上升，切線斜率逐漸減小直至達(dá)到峰值應(yīng)力，本文模型相比于三折線模型在這一階段能夠表現(xiàn)出明顯的非線性受力特征和較高的精度(尤其是圖7(b)、圖7(e)、圖7(f)、圖7(g)、圖7(h)、圖7(i))；在應(yīng)變軟化與不穩(wěn)定損傷階段，試驗(yàn)曲線開始非線性下降直至試件斷裂，這一階段本文模型相比于三折線模型同樣能夠表現(xiàn)出非線性受力特征，但整體差別不大。

圖7 ECC 受拉應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系驗(yàn)證Fig. 7 Verification of ECC tensile stress-strain curve

綜上分析，本文所提ECC 受拉損傷本構(gòu)模型能較準(zhǔn)確地描述ECC 的受拉損傷發(fā)展全過程及其非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

3 結(jié)論

通過對不同PVA 纖維體積摻入量和水膠比的ECC 試件單軸受拉試驗(yàn)研究，討論了ECC 單軸受拉力學(xué)性能和全過程損傷機(jī)制，進(jìn)而提出了ECC 受拉損傷本構(gòu)模型，可以得出以下結(jié)論：

(1) PVA 纖維體積摻入量的增加能夠顯著增加ECC 的變形能力(PVA 纖維體積摻入量從1%增加至2%，峰值應(yīng)變增加300%)，但對強(qiáng)度影響不明顯；水膠比的提高能夠提高ECC 的變形能力(水膠比從0.24 降至0.28，峰值應(yīng)變增加340%)，但會(huì)降低ECC 的強(qiáng)度。

(2)基于ECC 受拉損傷機(jī)制的試驗(yàn)研究，以應(yīng)力-應(yīng)變曲線上一點(diǎn)與原點(diǎn)之間割線與橫軸夾角變化程度表達(dá)ECC 受拉損傷因子，考慮PVA 纖維體積摻入量和水膠比的變化，結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)給出ECC受拉損傷演化曲線方程(式(5)、式(9)～式(13))，進(jìn)而得到ECC 受拉非線性應(yīng)力-應(yīng)變曲線方程(式(4))。

(3)基于本文對ECC 損傷因子和損傷演化方程的定義，對ECC 損傷演化方程求導(dǎo)分析表明：在應(yīng)變硬化階段，ECC 損傷逐漸增加，但損傷速率逐漸減小，損傷處于穩(wěn)定發(fā)展階段。在應(yīng)變軟化階段，ECC 損傷和損傷速率均逐漸增加，損傷處于不穩(wěn)定的快速增長階段。

(4)與試驗(yàn)結(jié)果對比表明，本文模型能夠較好的預(yù)測不同PVA 纖維體積摻入量(適用范圍為0.01～0.02)和不同水膠比(適用范圍為0.24～0.28)情況下ECC 的受拉損傷演化規(guī)律以及受拉非線性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，這將為更深入地研究ECC 及其在工程結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用提供基礎(chǔ)。誠然，限于本文參數(shù)范圍有限，超出本文參數(shù)范圍時(shí)仍有待進(jìn)一步驗(yàn)證和修正。