GNSS模糊度解算的附加縮放因子的CLAMBDA方法

盧立果，馬立燁，劉萬科，吳湯婷，胡偉建

1. 東華理工大學(xué)測繪工程學(xué)院, 江西 南昌 330013； 2. 廣西空間信息與測繪重點實驗室(桂林理工大學(xué))，廣西 桂林 541006； 3. 武漢大學(xué)衛(wèi)星導(dǎo)航定位技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079； 4. 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079

在一些GNSS定位場景下(比如姿態(tài)測量)，GNSS天線之間的基線長度可以事先精確量取，常被用作先驗信息參與基線處理和模糊度解算，以提高模糊度解算的成功率，稱為附有基線長度約束的模糊度解算[1-2]。根據(jù)基線長信息的使用方式不同，主要分為3種方法：第一種是將基線長信息作為虛擬觀測值，同偽距和相位觀測值一起進行模糊度浮點解估計[3-5]；第二種是將基線長信息用于模糊度整數(shù)值確認環(huán)節(jié)[6-8]；第三種是基線二次型約束的整數(shù)最小二乘法(quadratically constrained integer least-squares,QC-ILS)，它將基線長信息加入模糊度搜索及基線固定過程，通過擴大模糊度二次型的搜索范圍，尋找滿足混合二次型最小的模糊度向量[9-13]。由于QC-ILS解算是建立在標(biāo)準(zhǔn)LAMBDA(least-square ambiguity decorrelation adjustment)算法基礎(chǔ)上，因此這種處理方法又稱作約束LAMBDA算法(constrained LAMBDA,CLAMBDA)[10]。相較于其他兩類方法，CLAMBDA可以嚴格地把基線長信息融合到整數(shù)最小二乘(integer least-squares,ILS)準(zhǔn)則下[11]。針對弱GNSS模型，僅選取基線長信息參與模糊度解算，CLAMBDA可以顯著提高模糊度解算成功率[12-16]。

盡管CLAMBDA具有優(yōu)異的模糊度解算性能，但能否快速解算出模糊度是決定其具有實時應(yīng)用的關(guān)鍵。文獻[13]采用基于邊界函數(shù)收縮的方法獲得靜態(tài)約7 ms、動態(tài)約20 ms的計算結(jié)果。文獻[17]采用靜態(tài)模擬數(shù)據(jù)獲得約22 ms的計算結(jié)果。為更好地滿足實時應(yīng)用需求，文獻[2]指出CLAMBDA在搜索方面仍有待進一步提高。而提高CLAMBDA解算效率的關(guān)鍵，首先在于如何設(shè)置合理的初始空間，其次在于如何更好地更新搜索空間。在CLAMBDA解算時，為保障初始搜索空間包含CLAMBDA解，通常設(shè)置一個非空的初始搜索空間(即至少包含一組模糊度候選向量)[13]。針對弱GNSS模型模糊度解算成功率較低，采用ILS等整數(shù)估計方法獲得的初始模糊度向量將嚴重偏離真值[10]，從而導(dǎo)致計算的初始搜索空間過大，難以快速獲取CLAMBDA解。

因此，為進一步提高CLAMDBA的解算效率，本文將重點針對初始搜索空間的設(shè)置和更新開展相關(guān)研究。

1 CLAMBDA解算模型

加入基線長約束后的GNSS數(shù)學(xué)模型為[10]

(1)

式中，y為GNSS觀測值；l為量取的基線長；a和b分別為模糊度和基線分量參數(shù)；A和B為相應(yīng)的系數(shù)矩陣；E(·)和D(·)分別表示期望和方差算子。

對式(1)采用最小二乘估計，并進行正交分解

(2)

F(a)=min

(3)

式(3)通過約束條件，把模糊度ILS解算問題轉(zhuǎn)化成QC-ILS問題。由于滿足E(a)最小的模糊度不一定滿足F(a)最小，即模糊度搜索空間不再為橢球體。當(dāng)解算出各個整數(shù)模糊度a及其對應(yīng)的b(a)后求取F(a)，選擇滿足F(a)最小的a和b(a)作為最終固定的整數(shù)模糊度向量和基線分量。

(4)

(5)

2 CLAMBDA快速搜索算法

2.1 邊界函數(shù)法

為實現(xiàn)CLAMBDA的快速解算，目前性能最優(yōu)的方法是基于邊界函數(shù)進行搜索空間收縮的算法(bounding functions search and shrink strategy,BFS)[2,12]。

(6)

則F(a)存在下述不等關(guān)系

F1(a)≤F(a)≤F2(a)

(7)

式中

當(dāng)搜索空間大小為χ2時，各自對應(yīng)的模糊度候選整數(shù)向量空間為

(8)

式(8)表示在相同搜索空間內(nèi)F1(a)包含的模糊度向量個數(shù)依次大于F(a)和F2(a),整數(shù)向量空間關(guān)系為

ΩF2(χ2)?ΩF(χ2)?ΩF1(χ2)

(9)

2.2 改進的搜索算法

2.2.1 縮放因子定義

假令A(yù)SS的搜索空間大小為χ2，則滿足如下關(guān)系式

(10)

式中，μ1為縮小因子，μ2為放大因子，為避免空間的放大和縮小過程陷入死循環(huán)，必須保證μ1×μ2≠1；i為模糊度向量個數(shù)統(tǒng)計指標(biāo)，表示在搜索空間χ2內(nèi)基于深度優(yōu)先搜索算法枚舉的候選模糊度向量個數(shù)[18-19]；threshold為χ2內(nèi)模糊度候選向量個數(shù)的閾值；k為收縮空間次數(shù)統(tǒng)計指標(biāo)，表示F2(a)更新搜索空間的次數(shù)。μ1、μ2和threshold的具體設(shè)置下文將會進行詳細討論。

式(10)表示在搜索空間χ2中，枚舉的候選向量個數(shù)超過閾值，說明當(dāng)前搜索空間相對較大，則采用縮小因子降低χ2的數(shù)值；反之，如果在χ2內(nèi)枚舉出全部的候選整數(shù)向量個數(shù)沒有超過閾值，但是所有整數(shù)向量的F2(a)值都大于χ2，未能更新搜索空間(k=0)，說明搜索空間χ2相對過小，無法確認空間內(nèi)包含滿足二次型F(a)最小的模糊度最優(yōu)解，則采用放大因子增大χ2的數(shù)值。

2.2.2 初始搜索空間設(shè)置

E0

(11)

2.2.3 實現(xiàn)流程

在BFS算法實現(xiàn)的基礎(chǔ)上，基于縮放因子的ASS算法的具體步驟如下(圖1)：

(2) 枚舉出模糊度向量a，并計算對應(yīng)的F2(a)，更新i=i+1。

(7) 求取各個模糊度向量對應(yīng)的F(a)，選取滿足F(a)最小的模糊度向量amin，此時amin即為CLAMBDA解。

圖1 ASS搜索流程Fig.1 Flowchart of ASS search

3 試驗分析

為驗證本文提出的基于縮放因子的ASS算法的搜索性能，采用LAMBDA算法和BFS算法(初始空間設(shè)置同ASS-1算法)來驗證ASS算法的性能，并選取一組靜態(tài)算例和一組動態(tài)車載算例進行試驗對比分析，基本信息見表1。其中動態(tài)算例為GNSS測向試驗，GNSS天線固連在剛性載體上，基線長度保持不變。為了純粹地比較不同模糊度解算方法的效果，盡量不引入前后歷元的觀測信息，本文采用單歷元模式進行模糊度解算，并使用NovAtel公司發(fā)布的高精度事后動態(tài)處理軟件GrafMov計算結(jié)果作為參考真值，當(dāng)基線3個方向分量(N、E、U)與參考真值的偏差小于3、3、6 cm，即認為模糊度固定正確；為提高CLAMBDA模糊度初值的準(zhǔn)確率，加快模糊度的搜索效率，文中BFS算法和ASS算法均采用LAMBDA解作為初值來設(shè)置初始搜索空間。

本文的模糊度搜索耗時是在PC機上基于MATLAB 2016a軟件進行統(tǒng)計的，其軟硬件配置為：Intel Core i7-7700HQ CPU，2.80 GHz主頻，8 GB內(nèi)存，Win10操作系統(tǒng)(64位)。

表1 算例基本信息

3.1 靜態(tài)算例

該組數(shù)據(jù)采集于武漢某科技園樓頂，為靜態(tài)超短基線觀測數(shù)據(jù)。圖2為共視衛(wèi)星數(shù)和PDOP(position dilution of precision)值序列圖，由圖2可知GPS和BDS的可視衛(wèi)星數(shù)均在10顆左右，PDOP值在3附近，觀測條件良好。

圖2 共視衛(wèi)星數(shù)及PDOP值Fig.2 Number of common view satellites and PDOP value

3.1.1 模糊度固定成功率分析

表2統(tǒng)計了LAMBDA方法和CLAMBDA方法在基線長取不同先驗精度σ下的模糊度固定成功率。其中，針對CLAMBDA解算的不同搜索算法僅影響搜索效率，而不影響最終的搜索結(jié)果，因此僅以ASS-2為例給出了CLAMBDA解算的模糊度固定成功率。由表2可知，采用LAMBDA方法進行模糊度固定時其固定成功率明顯較低，采用CLAMBDA方法時， 由于加入了基線長信息，增強了模型強度，極大地提高了模糊度固定成功率，GPS和BDS的模糊度固定成功率普遍可提升至99%以上。另一方面，不同的σ也會對模糊度解算的成功率帶來一定影響，在σ大于5 cm時，會影響CLAMBDA的解算性能，因此在實際使用時σ設(shè)置不宜過大，本文后續(xù)CLAMBDA的試驗對比分析均采用σ=0的強約束模型[11,13]。

表2 不同先驗信息下的模糊度固定成功率

表3統(tǒng)計了不同衛(wèi)星個數(shù)下的模糊度成功率。由表3可以看出，LAMBDA算法固定成功率與衛(wèi)星數(shù)呈正相關(guān)關(guān)系，受GNSS模型強度影響較大，而CLAMBDA方法在針對弱GNSS的觀測場景，可以顯著提高模糊度的固定成功率。

表3 不同衛(wèi)星個數(shù)下的模糊度固定成功率

3.1.2 縮放因子和候選向量個數(shù)閾值設(shè)置分析

根據(jù)上節(jié)分析可知CLAMBDA針對弱GNSS模型具有較好的模糊度解算性能，下面將探討如何實現(xiàn)CLAMBDA的快速解算。由于ASS-1和ASS-2兩種算法初始空間設(shè)置不同，對縮放因子選取也不同，本節(jié)將對兩種算法下的縮放因子和模糊度候選向量個數(shù)閾值如何設(shè)置進行討論，為后續(xù)算法的具體實現(xiàn)提供依據(jù)。

圖3 Fc與E0和F0的關(guān)系Fig.3 Relationship among Fc, E0 and F0

表4 不同縮小因子下ASS-1平均解算耗時

圖4 不同縮小因子下ASS-1的解算耗時累積分布函數(shù)Fig.4 Cumulative distribution function of resolution time of ASS-1 under different reduction factors

表5 不同放大因子下ASS-2平均解算耗時

圖5 不同放大因子下ASS-2的解算耗時累積分布函數(shù)Fig.5 Cumulative distribution function of resolution time of ASS-2 under different amplification factors

針對每個搜索空間χ2中閾值threshold的設(shè)置問題，首先作一簡要分析，如果threshold設(shè)置過小，則會過于頻繁地縮小搜索空間，模糊度搜索時需要不斷地初始化，影響搜索效率；設(shè)置過大則不利于搜索空間的收縮，同樣影響搜索效率?；诖?，筆者設(shè)置threshold分別為500、1000、1500和2000，比較不同threshold下ASS-1算法的解算性能(當(dāng)搜索空間收縮時，表明枚舉的候選向量數(shù)大于threshold，由于ASS-1算法以收縮空間為主，threshold數(shù)值的設(shè)置對ASS-1算法影響較大，因此采用ASS-1算法進行分析)。表6為不同threshold下統(tǒng)計的ASS-1平均解算耗時，圖6為對應(yīng)的累積分布函數(shù)圖。由圖6和表6可知，在threshold為1000時，可獲得較好的解算效果。因此，本文ASS算法的threshold設(shè)置為1000。

圖6 不同閾值下的ASS-1解算耗時累積分布函數(shù)Fig.6 Cumulative distribution function of resolution time of ASS-1 under different thresholds

需要說明的是，上述縮放因子和閾值的參數(shù)設(shè)置是通過文中算例具體比較分析得出的，不能保證為最優(yōu)參數(shù)值，但采用上述設(shè)置可以達到較好的解算效果，仍不失一般性。

表6 不同閾值下ASS-1平均解算耗時

3.1.3 解算耗時驗證分析

通過上節(jié)詳細的試驗對比分析給出了ASS算法的具體參數(shù)設(shè)置，下面將具體驗證ASS算法的解算性能。

表7統(tǒng)計了不同衛(wèi)星數(shù)下的模糊度平均解算耗時。由表7可知，ASS-2算法平均解算耗時在2.5 ms以內(nèi)，解算性能接近于LAMBDA算法，ASS-1次之，BFS最差；對于GPS數(shù)據(jù)，ASS-2整體解算效率相對于BFS能夠提高3倍以上，對于BDS數(shù)據(jù)，ASS-2整體解算效率相對于BFS也能夠提高58%以上；ASS-2解算耗時與衛(wèi)星個數(shù)呈正相關(guān)，隨著衛(wèi)星數(shù)的增加解算耗時也隨之增加；BFS解算耗時與衛(wèi)星個數(shù)基本呈負相關(guān)，衛(wèi)星數(shù)越少解算耗時越大；ASS-1解算耗時處于二者之間；在弱GNSS模型(如衛(wèi)星數(shù)不超過8顆時)情形下，ASS-2解算效率顯著優(yōu)于BFS，但隨著衛(wèi)星觀測個數(shù)的增加，GNSS模型強度的增強，3種算法均能實現(xiàn)快速搜索，解算性能差異也隨之減小。

表7 不同衛(wèi)星數(shù)下的模糊度平均解算耗時對比

圖7為BFS、ASS-1和ASS-2這3種算法的解算耗時對比。由圖可以直觀看到三者的解算性能優(yōu)劣，此處不再贅述；同時，圖7中BFS趨勢和圖3中F0/Fc趨勢基本一致，說明BFS解算效率與初始空間大小直接相關(guān)，即取決于GNSS模型強度。

圖7 3種算法解算耗時對比Fig.7 Comparison of resolution time of three algorithms

根據(jù)BFS、ASS-1和ASS-2解算耗時比較，其解算效率存在如下關(guān)系：ASS-2>ASS-1>BFS。由于ASS-1相較于BFS增加了縮放因子，ASS-2相較于ASS-1采用的初始空間不同，為便于分析不同因素對ASS算法的影響，下面分別從ASS-1相對BFS的提高原因、ASS-2相對ASS-1的提高原因兩個方面分別進行分析。

圖8 ASS-1算法縮小和放大次數(shù)及初始空間變化Fig.8 Reduction and amplification times and initial space change of ASS-1 algorithm

其次，分析ASS-2解算效率高于ASS-1的原因。圖9為ASS-1和ASS-2算法在縮放次數(shù)(放大次數(shù)+縮小次數(shù))和解算耗時方面的比較關(guān)系圖。由圖9可知，ASS-2的縮放次數(shù)小于ASS-1，主要因為2E0相較于F0，與Fc差異較小，進行空間縮放時更易調(diào)整搜索空間；在解算耗時方面，ASS-2耗時小于ASS-1，且與縮放次數(shù)的變化趨勢基本一致，主要因為每次完成縮放均需重新進行初始化搜索，縮放次數(shù)越多，搜索耗時越大，反之亦然。因此，ASS-2相對于ASS-1算法的主要優(yōu)勢：從下邊界方向設(shè)置初始空間相較于上邊界，可以減小縮放次數(shù)，更快調(diào)整到合適的搜索空間，從而提高解算效率。

圖9 不同歷元下ASS-1和ASS-2算法的縮放次數(shù)和解算耗時Fig.9 Scaling times and resolution time of ASS-1 and ASS-2 under different epochs

3.2 動態(tài)算例

下面采用動態(tài)算例進一步驗證ASS算法的性能，該組數(shù)據(jù)采集于武漢梁子湖大道。圖10為共視衛(wèi)星數(shù)和PDOP值序列圖，由圖10可知，GPS和BDS的可視衛(wèi)星數(shù)均在9顆左右，PDOP值在3以內(nèi)，而在GPST 204 000 s附近跑車由于受建筑物遮擋，導(dǎo)致可視衛(wèi)星數(shù)較少。

圖10 共視衛(wèi)星數(shù)及PDOP值Fig.10 Number of common view satellites and PDOP value

表8統(tǒng)計了在不同衛(wèi)星個數(shù)下的模糊度成功率。由表8可知，CLAMBDA能夠顯著提升弱GNSS模型下的模糊度固定成功率。圖11為GPS單頻基線向量解算結(jié)果，可以看出，由于CLAMBDA的模糊度固定成功率較高，可以獲得較好的基線向量解算結(jié)果。

表8 不同衛(wèi)星個數(shù)下的模糊度固定成功率

圖11 GPS單頻基線向量解算結(jié)果Fig.11 GPS single frequency baseline vector solution results

表9統(tǒng)計了不同衛(wèi)星個數(shù)下的模糊度平均解算耗時。由表9可知，ASS-2平均解算耗時在3 ms以內(nèi)，且整體解算效率最接近于LAMBDA算法，ASS-1次之，BFS解算效果較差，ASS-2整體解算效率相較于BFS可以提高1倍以上；BFS解算效率受GNSS模型強度直接影響，隨著衛(wèi)星數(shù)的增多而增大；ASS-1和ASS-2的解算效率呈現(xiàn)增大后減小的趨勢，主要是當(dāng)GNSS模型強度較強時，解算效率受模糊度維數(shù)的影響。

表9 不同衛(wèi)星數(shù)下的模糊度平均解算耗時對比

4 結(jié) 論

(3) 在弱GNSS觀測模型下，CLAMBDA相較LAMBDA方法可顯著提升模糊度的固定成功率，對信號遮擋比較嚴重的地方，如城市峽谷、山區(qū)等具有較好的實際應(yīng)用價值。