古巴比倫記數(shù)法

徐品方

在亞洲西部有個(gè)叫美索不達(dá)米亞的平原，它的南部被稱為巴比倫尼亞．這一帶以及往南的地中海東岸居住著蘇美爾人，公元前五千年左右，蘇美爾人建立氏族公社，創(chuàng)造了楔形文字，其農(nóng)業(yè)、牧業(yè)等方面都達(dá)到了較高的水平，巴比倫人繼承了蘇美爾人在數(shù)學(xué)和天文學(xué)方面的成果，并在此基礎(chǔ)上對(duì)其作出進(jìn)一步的探索．底格里斯河和幼發(fā)拉底河兩河流域的人用泥板來(lái)記數(shù)約始于公元前三四千年，主要用于商業(yè)貿(mào)易交換和貨物數(shù)量登記．

19世紀(jì)到20世紀(jì)，人們發(fā)掘出了大量刻有楔形文字的泥板，泥板上的線條一端粗一端細(xì)，好像楔子，后人稱它為泥板書．泥板書是用蘆葦管或小木棒在軟泥板上刻寫成的，這些泥板只有巴掌大或磚頭大小，堅(jiān)硬如石，可以長(zhǎng)期保存．

目前，考古學(xué)家發(fā)掘出了約55萬(wàn)塊泥板書，上面主要記錄了古巴比倫王國(guó)的一些珍貴文獻(xiàn)．經(jīng)考古學(xué)家鑒定，其中約有400塊泥板書上記載的都是數(shù)字表和數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是研究古巴比倫數(shù)學(xué)的重要史料，

數(shù)學(xué)泥板書反映了在約公元前2100年至公元前300年這個(gè)時(shí)期巴比倫的數(shù)學(xué)發(fā)展概況．最初用半圓形或月牙形代表1，用小圓圈“O”或小圓點(diǎn)“．”代表0，后來(lái)用一種三角形的木筆刻寫數(shù)字，并壓黏土板，創(chuàng)造了一種楔形文字記數(shù)法．圖1是約公元前2100年以前，巴比倫人用楔形文字記下的數(shù)學(xué)符號(hào)，

圖2、圖3是古巴比倫人留下的泥板殘片，上面刻有幾何圖形和符號(hào)，反映了他們當(dāng)時(shí)所掌握的幾何知識(shí)、幾何知識(shí)水平以及畫圖技術(shù)，

古巴比倫人用兩種進(jìn)位制：一種是十進(jìn)制，另外一種是六十進(jìn)制．十進(jìn)制計(jì)數(shù)法是我們現(xiàn)在日常生活中所用的計(jì)數(shù)方法，打算盤時(shí)用的“逢十進(jìn)一”的規(guī)則就是依據(jù)十進(jìn)制而制定的.60以下的數(shù)采用10進(jìn)簡(jiǎn)單累數(shù)制，且只用兩種符號(hào)．但在不同時(shí)期，巴比倫楔形數(shù)字的寫法并不完全相同．公元前2400年的楔形數(shù)字中只有兩種符號(hào)： 和 ，其中 表示的是1； 表示10.公元前2400年后的楔形數(shù)字“1”用丫表示，“10”用表示．第一種計(jì)數(shù)法中用 （與表示1的符號(hào)有點(diǎn)區(qū)別）表示60，第二種計(jì)數(shù)法中用表示60.在幼發(fā)拉底河下游烏魯克（約公元前312年～公元前64年）出土的泥板上就刻有 ，

古巴比倫人將這兩個(gè)基本符號(hào)相加或累乘，用來(lái)表示1- 59中的任何數(shù)，并將高位數(shù)寫在低位數(shù)的左邊，這與中國(guó)、印度的記數(shù)法相同，如圖4．

古巴比倫人的這種記數(shù)法有一些缺點(diǎn)：其一是十進(jìn)制與六十進(jìn)制并用時(shí)，很難分清楚哪一個(gè)數(shù)碼是在什么位置上．例如記號(hào)：YYY表示十進(jìn)制的3個(gè)1呢，還是六十進(jìn)制的3個(gè)60呢．此時(shí)只有結(jié)合上下文，才能知道它表示的意思；其二是有的符號(hào)之間有空格．例如，蘇撒出土的一塊泥板書上有這樣的記號(hào)：彳<萬(wàn)，它表示lOx60+15=615.書寫者可能意識(shí)到這樣的書寫方式容易被誤會(huì)成《Rrr （20+5=25），或<<Ⅳ（lOx602+lOx60+5=36605），于是將左邊兩個(gè)《之間的間距調(diào)大，除了分隔兩個(gè)數(shù)碼外，空白（格）有時(shí)表示空位，即在這個(gè)位置上沒(méi)有數(shù)，但這種書寫方式仍會(huì)讓人產(chǎn)生誤解，只有對(duì)照上下文，才能作出正確的判斷．

有了記數(shù)符號(hào)以后，古巴比倫人開(kāi)始用這些數(shù)碼制造數(shù)學(xué)用表，圖5是在巴比倫尼普爾（位于幼發(fā)拉底河下游）的廟宇中發(fā)現(xiàn)的乘法表，該表約是在公元前1350年被描繪出來(lái)的．

這個(gè)乘法表中的乘數(shù)是18，被寫在第一行的最左端，中間的兩個(gè)字表示“乘數(shù)”，所得的積被寫在最右端，原文中沒(méi)有等號(hào)，第1行的意思是：“18乘以1（=18）“，第2、3行分別是“18乘以2（=）36，18乘以3（=）54”，第4行應(yīng)該是“18乘以4（=）72”．但72已超過(guò)60，轉(zhuǎn)而使用六十進(jìn)制“逢60進(jìn)1”，即60構(gòu)成一個(gè)較高的單位，這個(gè)單位無(wú)需另設(shè)符號(hào)，仍用表示“1”的符號(hào)來(lái)表示，不過(guò)要將其寫在60的位置上，即 ：，其表示1x 60+10+2=72.

另外，古巴比倫人還創(chuàng)造了兩個(gè)符號(hào)“me”與“l(fā)imu”，表示100、1000，比如，把346寫成“3me46”．除了用十進(jìn)制與六十進(jìn)制外，巴比倫人還用過(guò)二十四進(jìn)制、十二進(jìn)制、七進(jìn)制和二進(jìn)制，例如他們規(guī)定一天24小時(shí)，把一年分為12個(gè)月，把7天作為一周，分別用日、月、火、水、金、木、土七個(gè)星球的名稱來(lái)命名．這就是今天通用的7天為一個(gè)星期的來(lái)歷．所以說(shuō)，古巴比倫人的記數(shù)法中所用到的進(jìn)位制是五花八門的．

雖然巴比倫人用的十進(jìn)制與六十進(jìn)制記數(shù)符號(hào)中只有簡(jiǎn)單的兩種符號(hào)，但是所表示出來(lái)的大數(shù)十分復(fù)雜，在運(yùn)算中存在難辨的空格和易混淆的“1”“60”，在引入阿拉伯?dāng)?shù)字后，古老的巴比倫記數(shù)符號(hào)就被取代，慢慢被永久地收藏在史書中，

——摘自《數(shù)學(xué)符號(hào)史》