例談解答排列組合問題的三種方法

李家森

常見的排列組合問題有分組問題、排隊問題、分配問題、計數(shù)問題等，解答排列組合問題，需重點討論完成一件事情所需要的步數(shù)、方法數(shù)，通常需靈活運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理來求解．那么對于不同的事情，如何計算步數(shù)、方法數(shù)呢？下面介紹三種方法．

一、優(yōu)先法

若題目中的元素有特殊要求，則需采用優(yōu)先法求解．首先分析題目中有特殊要求的元素的排列方式，再分析題目中其他沒有特殊要求的元素的排列方式，最后利用分步計數(shù)原理進行求解，

例1．小明有A、B、C、D、E、F、G7個不同的小球，現(xiàn)將這7個小球放進標號分別為1、2、3、4、5、6、7的盒子里，每個盒子只裝1個小球．若A小球必須放進4號盒子里，有多少種不同的放法？

剖析：本題中的特殊元素為A小球，則需采用優(yōu)先法，優(yōu)先考慮A小球的位置，再考慮剩下的6個小球以及盒子的放置順序，

解：先將A小球放進4號盒子里，有1種放法；

再將剩下的6個小球任意放進6個盒子里，有A =720種放法；

所以一共有A6A1= 720種不同的放法．

二、捆綁法

有些題目中要求幾個元素必須相鄰排列，此時可以運用捆綁法求解．先將必須相鄰排列的元素捆綁起來看成“一個整體”，當做1個元素，與其他元素一起排列；然后考慮這個“整體”內(nèi)部元素的排列順序；最后根據(jù)分步計數(shù)原理求解，

例2．小明有A、B、C、D、E、F、G7個不同的小球，現(xiàn)將這7個小球放進標號分別為1、2、3、4、5、6、7的盒子里，每個盒子只裝1個小球，若放A、B、C小球的3個盒子的標號相鄰，則一共有多少種不同的放法？

剖析：根據(jù)題意可知，要使放A、B、C小球的3個盒子的標號相鄰，需將放有A、B、C3個球的盒子捆綁起來，視為一個“整體”，采用捆綁法求解．

解：將放有A、B、C3個球的盒子捆綁起來，視為一個“整體”，與其他4個盒子一起排列，有A51 120種放法；

將A、B、C3個小球放進標號相鄰的盒子，有A3 =6種放法：

因此一共有A5A3_ 720種不同的放法，

三、插空法

有些題目要求某些元素不能相鄰排列，對于這類問題，需運用插空法求解．先將沒有要求的元素排列；再將要求不能相鄰排列的元素插入已排列好的元素間的空隙中；最后利用分步計數(shù)原理求解即可．

例3．小明有A、B、C、D、E、F、C7個不同的小球，現(xiàn)將這7個小球放進標號分別為1、2、3、4、5、6、7的盒子里，并按照盒子的順序擺成一排，每個盒子只裝1個小球，要求放A、B、C3個小球的盒子的標號不相鄰，且也不放在第一個位置，則一共有多少種不同的放法？

剖析：由題意可知，要使放A、B、C3個小球的盒子的標號不相鄰，則需采用插空法，先將放D、E、F、G4個小球的盒子排列好，再將放A、B、C3個小球的盒子放在其他盒子間的縫隙中，

解：先將放D、E、F、G4個小球的盒子的順序排列，有A4=24種方法；

這4個盒子之間有3個空隙，加上最后的位置，有4個位置，

再將裝有A、B、C3個小球的盒子任意放置在這4個位置中，有C4=4種放法；

所以一共有A4C4=96種不同的放法，

優(yōu)先法、捆綁法、插空法都是解答排列組合問題的常用方法，但每種方法的適用情形不同，優(yōu)先法適用于求解有特殊要求的元素問題；捆綁法適用于求解元素相鄰問題；插空法適用于求解元素不相鄰問題，同學們在解題時，要仔細審題，先明確題目對元素的要求，確定是否有特殊元素，元素是否相鄰，然后再選擇與之相應(yīng)的方法進行求解．