具有多領(lǐng)導(dǎo)的Cucker-Smale模型的有限時(shí)間集群運(yùn)動(dòng)行為

楊施丹，尤希舟，王 俊，茹立寧*

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.江蘇科技大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

最近20年內(nèi)，自組織粒子群的集群運(yùn)動(dòng)行為引起各個(gè)領(lǐng)域?qū)＜业呐d趣，尤其是生物、物理、控制以及數(shù)學(xué)等領(lǐng)域[1-8]。集群運(yùn)動(dòng)行為是指鳥群、魚群等生物群體只使用有限的環(huán)境信息和簡單的通信規(guī)則，經(jīng)過一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)，最后實(shí)現(xiàn)速度同步。在描述上述運(yùn)動(dòng)的模型中，文中研究由Cucker教授和Smale教授創(chuàng)建的模型[9-10]：每個(gè)個(gè)體通過其他個(gè)體的影響作用來調(diào)整自己的速度。在Cucker-Smale（C-S）模型中，存在一個(gè)非常重要的衰減指數(shù)β：當(dāng)0≤β≤1/2時(shí)[11-12]，無條件集群運(yùn)動(dòng)發(fā)生；而當(dāng)β＞1/2時(shí)[9-10]，條件集群運(yùn)動(dòng)發(fā)生，且發(fā)生條件僅依賴于初值與模型參數(shù)。

C-S模型的新穎性與有趣性吸引了大量學(xué)者的注意力。受鳥群遷徙啟發(fā)，Shen[13]把等級(jí)結(jié)構(gòu)引入C-S模型，該模型所對(duì)應(yīng)的Laplace矩陣是下三角矩陣。Li等人[14]利用（sp）矩陣研究了根領(lǐng)導(dǎo)下的C-S模型。Dong等人[15]進(jìn)一步研究了一般有向圖下的C-S模型，該模型是上述兩種模型的推廣。受這些模型的影響，劉友權(quán)等人[16]研究了僅有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的一維與多維C-S模型在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為的問題。需要注意的是，文獻(xiàn)[16]假設(shè)影響函數(shù)具有下界，弱化了研究問題的難度?；诖耍闹醒芯烤哂卸囝I(lǐng)導(dǎo)的多維C-S模型在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為的問題。相較于僅有一個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者的模型而言，首先，需要克服由多領(lǐng)導(dǎo)者的相互耦合所造成的研究難點(diǎn)，利用文獻(xiàn)[17]的定理3.1，可以得到領(lǐng)導(dǎo)者在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為，不妨設(shè)發(fā)生時(shí)刻為T1，因此在T1時(shí)刻后，領(lǐng)導(dǎo)者的速度相同；然后，把C-S模型轉(zhuǎn)成一個(gè)新的誤差模型，利用能量方法并構(gòu)造Lyapunov函數(shù)研究該模型；最后，回歸原始模型，得到系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為。

1 預(yù)備知識(shí)

研究具有多領(lǐng)導(dǎo)的Cucker-Smale模型：考慮由N+M個(gè)個(gè)體組成的系統(tǒng)，其中個(gè)體N+1，N+2，…，N+M是領(lǐng)導(dǎo)者，個(gè)體1，2，…，N是跟隨者。

對(duì)于M個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者而言，滿足如下模型

對(duì)于N個(gè)跟隨者而言，滿足如下模型

在系統(tǒng)（1）-（2）中，xi∈Rd，vi∈Rd分別表示個(gè)體i的位移和速度，α＞0是一個(gè)正常數(shù)。影響函數(shù)ψ是非負(fù)非增函數(shù)，具體表達(dá)式為：ψ（s）=1/（1+s2）β（β≥0）。｜｜·｜｜是l2-范數(shù)，即對(duì)于y=（y1，y2，…，yd）T∈Rd，有函數(shù)sig（y）θ=（sgn（y1）｜y1｜θ，sgn（y2）｜y2｜θ，…，sgn（yd）｜yd｜θ）T，其中，sgn:R→{-1，0，1}為符號(hào)函數(shù)，常數(shù)0＜θ＜1。

注：一方面，文中研究的多領(lǐng)導(dǎo)-多跟隨者系統(tǒng)來源于文獻(xiàn)[18]的3.2節(jié)“Flocking with multiple leaders”，多領(lǐng)導(dǎo)模型的具體定義見文獻(xiàn)[18]的定義3.4?；\統(tǒng)地說，領(lǐng)導(dǎo)者僅受其他領(lǐng)導(dǎo)者的影響，而跟隨者受跟隨者以及領(lǐng)導(dǎo)者的影響。另一方面，對(duì)于一般有向圖下的C-S模型，且該有向圖含有生成樹而言[15]，多領(lǐng)導(dǎo)-多跟隨C-S模型是其特例。這是因?yàn)樵谙到y(tǒng)（1）-（2）所對(duì)應(yīng)的鄰接圖中，每個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者都可以看成一個(gè)根，對(duì)其他領(lǐng)導(dǎo)者以及跟隨者產(chǎn)生影響，從而該鄰接圖有M個(gè)生成樹。綜上所述，文中研究的模型是合理有效的。

C-S模型在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為的定義如下：

定義1如果系統(tǒng)（1）和（2）滿足如下兩個(gè)條件，則稱該系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為：

（1）速度的波動(dòng)在有限時(shí)間內(nèi)等于0：對(duì)于任意t≥T0，有｜｜vi（t）-vj（t）｜｜=0，1≤i，j≤N，其中T0=inf{T:｜｜vi（t）-vj（t）｜｜=0，?t≥T}被稱為收斂時(shí)間。

下面的兩個(gè)引理在定理的證明中起到非常重要的作用。

引理1[19－20]設(shè)a1，a2，…，an是非負(fù)實(shí)數(shù)，若0＜r＜s，則

引理2[20－21]若可微函數(shù)V（t）:[0，+∞）→[0，+∞）滿足微分不等式

其中c＞0，0＜θ＜1，則對(duì)于任意給定的時(shí)刻t0≥0，V（t）滿足如下不等式：V（t）≤（V（t0）1-θ-c（1-θ）t）1/（1-θ），t0≤t≤t1，以及對(duì)于t≥t1，V（t）≡0，其中t1≤t0+V（t0）1-θ/c（1-θ）。

2 主要結(jié)論

為了研究系統(tǒng)（1）-（2）在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為，首先研究領(lǐng)導(dǎo)模型（1）的集群運(yùn)動(dòng)行為。引入系統(tǒng)（1）的平均位移和平均速度（xc，vc），即顯然，。根據(jù)文獻(xiàn)[16]的定理3.1：當(dāng)t≥T1時(shí)，系統(tǒng)（1）的M個(gè)領(lǐng)導(dǎo)者發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為，且

當(dāng)t≥T1時(shí)，考慮如下的誤差系統(tǒng)，系統(tǒng)（1）可轉(zhuǎn)化為

引理3設(shè)是系統(tǒng)（1）-（2）的解，則當(dāng)t≥T1時(shí)，｜｜x（t）｜｜，｜｜v（t）｜｜滿足如下不等式

證明（1）類似于文獻(xiàn)[8]，僅考慮｜｜x（t）｜｜≠0的情形，有

（2）考慮｜｜v（t）｜｜2，對(duì)其求導(dǎo)，得

根據(jù)ψij=ψji以及符號(hào)函數(shù)的性質(zhì)，有

類似于I1的推導(dǎo)

由公式（6）以及ψ的非增性可知ψij≥ψ（a+｜｜x｜｜）。從而代入上式，有

又由于0＜θ＜1，即1＜θ+1＜2，由引理1知

整理得

所以，代入式（9）得

因此，

引理4若T1時(shí)刻的速度和位移滿足下式

則系統(tǒng)（1）-（2）在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為。確切地說，存在非負(fù)常數(shù)xM，當(dāng)t≥T1時(shí)

以及v（t）≡0，t≥T2，其中

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

由引理3可得

故L（t）是非增函數(shù)，從而當(dāng)t≥T1時(shí)，L（t）≤L（T1），即

由已知條件（10）以及ψ的非增性知，存在xM≥｜｜x（T1）｜｜，使得

代入式（11）得

進(jìn)一步，有

再由ψ（s）的非負(fù)性知

由ψ（s）是減函數(shù)，可得ψ（xM+a）≤ψ（｜｜x（t）｜｜+a）代入引理3的式（8），有

由引理2知

以及當(dāng)t≥T2時(shí)，｜｜v（t）｜｜≡0，其中。由定義1知，系統(tǒng)（2）在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為，從而系統(tǒng)（1）-（2）也在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為。

依賴前面的引理，有如下的定理成立。

定理1對(duì)于系統(tǒng)（1）-（2）來說，若以下條件成立之一:（1）0≤β≤1/2；（2）β＞1/2且

則集群運(yùn)動(dòng)行為在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生。

證明一方面，若0≤β≤1/2，有，滿足引理4的條件；另一方面，當(dāng)β＞1/2時(shí)，由條件（12）知初始位移及速度滿足引理4。綜上，由引理4知，系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為。

3 結(jié)語

利用誤差模型，研究了具有多領(lǐng)導(dǎo)的C-S模型的有限時(shí)間集群運(yùn)動(dòng)行為問題，并得到在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生無條件集群運(yùn)動(dòng)行為和條件集群運(yùn)動(dòng)行為。對(duì)于發(fā)生集群運(yùn)動(dòng)行為的有限時(shí)間的上界估計(jì)是未來的研究內(nèi)容。