時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性

方 蕊，朱建青

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

時(shí)間尺度理論是研究離散和連續(xù)系統(tǒng)的一種新方法，將離散與連續(xù)系統(tǒng)統(tǒng)一起來進(jìn)行研究。時(shí)間尺度理論已經(jīng)在許多領(lǐng)域中取得了諸多研究成果[1-7]。在力學(xué)系統(tǒng)中主要有三種對(duì)稱性：Noether對(duì)稱性、Lie對(duì)稱性以及Mei對(duì)稱性。對(duì)稱性理論有許多的用途，其中一種就是用來尋求守恒量，目前已經(jīng)取得了一系列的研究成果[8-13]。2018年，田雪等人研究了Herglotz型Hamilton系統(tǒng)在時(shí)間尺度上的的Noether理論[14]；2020年，張毅研究了完整非保守系統(tǒng)在時(shí)間尺度上的Noether定理，并給出了當(dāng)非保守力不存在時(shí)，所對(duì)應(yīng)的Noether等式與守恒量[15]；宋傳靜、祖啟航等人也對(duì)時(shí)間尺度上的對(duì)稱性理論進(jìn)行了研究[16-17]。

在自然界以及工程技術(shù)中存在著許多的變質(zhì)量物體，如：噴氣式飛機(jī)、火箭、在大氣中下落的隕石等。變質(zhì)量系統(tǒng)主要研究了質(zhì)量變化的運(yùn)動(dòng)物體與其所受力之間的關(guān)系。隨著科技的不斷發(fā)展，許多學(xué)者對(duì)變質(zhì)量系統(tǒng)的對(duì)稱性理論進(jìn)行了研究，并通過對(duì)稱性來尋求守恒量。1999年，梅鳳翔對(duì)變質(zhì)量系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量進(jìn)行了研究[18]；2012年，雷惠方在相空間中對(duì)變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的對(duì)稱性進(jìn)行了研究，并得到了對(duì)稱性分別對(duì)應(yīng)的守恒量[19]。關(guān)于時(shí)間尺度上變質(zhì)量系統(tǒng)的對(duì)稱性的研究也取得了一些成果：2019年，吳艷研究了變質(zhì)量系統(tǒng)在時(shí)間尺度上的對(duì)稱性理論[20]；2020年，闕朝月等人研究了變質(zhì)量非完整系統(tǒng)在時(shí)間尺度上的Lie對(duì)稱性及其相應(yīng)的守恒量[21]。在時(shí)間尺度上研究變質(zhì)量系統(tǒng)的對(duì)稱性是對(duì)于經(jīng)典離散和連續(xù)變質(zhì)量系統(tǒng)的對(duì)稱性理論的統(tǒng)一與推廣。筆者在時(shí)間尺度上對(duì)于相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)和相應(yīng)變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性進(jìn)行了研究，得到系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱性的判據(jù)和Noether守恒量，并給出算例說明結(jié)果的應(yīng)用。

1 時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)力學(xué)系統(tǒng)位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qs（s=1，2，…，n）確定，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)在t時(shí)刻的質(zhì)量表示為mi（i=1，2，…，N），△mi表示t+△t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)分離時(shí)的微粒質(zhì)量，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為

系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)受非Chetaev型非完整約束

非完整約束（2）加在虛位移上的限制條件為

這里及文中采用Einstein求和約定。

時(shí)間尺度上Lagrange函數(shù)為

則時(shí)間尺度上變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的微分方程可表示為

其中Ps為廣義反推力

其中ri是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的矢徑，ri△是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度，且

ui是微粒與質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)速度。Qs″=Qs″（t，qσ，q△）為非勢(shì)廣義力，λβ是約束乘子。設(shè)系統(tǒng)非奇異，即

則方程（5）可表示為

其中

引進(jìn)廣義動(dòng)量以及Hamilton函數(shù)

在正則變量p、qσ下，式（2）、（3）和（10）分別變?yōu)?/p>

時(shí)間尺度上的Hamilton作用量為

時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量系統(tǒng)的Hamilton原理為

由式（14）、（15）及（17），可得

在式（12）兩邊對(duì)ps求偏導(dǎo)數(shù)，可得

根據(jù)式（20）、（21）和Dubois-Reymond引理，可得

對(duì)式（22）求△導(dǎo)數(shù)，可得

方程（21）和（23）稱為時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。

由式（15），方程（21）和（23）可進(jìn)一步表示為

2 時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性與守恒量

引入無限小變換群

其中ε是無限小參數(shù)，ξ0、ξs和ηs是生成元。

定義1如果作用量（16）在無限小變換（25）下，對(duì)任意區(qū)間[ta，tb]?[t1，t2]下式

始終成立，則變換（25）稱為Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。這里的G（t，qsσ，ps）為規(guī)范函數(shù)，為全變分。

判據(jù)1若存在規(guī)范函數(shù)G（t，qsσ，ps）使得生成元ξ0、ξs和ηs滿足廣義Noether等式

其中

則相應(yīng)對(duì)稱性為時(shí)間尺度上相空間中相應(yīng)變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱性。

判據(jù)2若存在規(guī)范函數(shù)G（t，qsσ，ps）使得生成元ξ0、ξs和ηs滿足式（27）和限制方程

則相應(yīng)對(duì)稱性為時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱性。

定理1對(duì)于時(shí)間尺度上相空間中相應(yīng)變質(zhì)量完整系統(tǒng)，若生成元ξ0、ξs和ηs滿足式（27），則該系統(tǒng)的Noether守恒量為

對(duì)于時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)，若無限小變換（25）的生成元ξ0、ξs和ηs滿足廣義Noether等式（27）和限制方程（29），則式（30）同樣是該系統(tǒng)的Noether守恒量。

證明

則定理1得證。

推論1若T=R，非完整約束為Chetaev型，由式（27）得到經(jīng)典相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的廣義Noether等式為

相應(yīng)經(jīng)典的Noether守恒量為[21]

3 算例

設(shè)時(shí)間尺度

一變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為

其中m0和α為常數(shù)，且α＞0。

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

非勢(shì)廣義力不存在，并且微粒的絕對(duì)速度為零，即

所受的非完整約束為

假設(shè)方程（38）為非Chetaev型，虛位移限制方程為

由時(shí)間尺度（34），設(shè)t=2m+1∈T，則此時(shí)前跳算子為

由此可得步差函數(shù)為

根據(jù)題意可知

根據(jù)式（11）和（12），可得

將Hamilton函數(shù)代入式（23），則有

由式（38）、（43和（44），可得

于是有

根據(jù)式（27）和（39），可得

對(duì)式（47）進(jìn)行求解

則式（49）為時(shí)間尺度上相空間中相應(yīng)變質(zhì)量完整系統(tǒng)的廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換，顯然在式（49）下式（48）同樣成立，因此，式（49）也為時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)的廣義準(zhǔn)對(duì)稱變換。

根據(jù)定理1可以得到系統(tǒng)的守恒量為

4 結(jié)語

研究了時(shí)間尺度上相空間中變質(zhì)量非完整系統(tǒng)及其相應(yīng)變質(zhì)量完整系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性，給出了系統(tǒng)的廣義Noether等式，并通過廣義Noether等式和限制方程給出了系統(tǒng)的Noether廣義準(zhǔn)對(duì)稱性的定義，進(jìn)一步得到系統(tǒng)的守恒量。該方法可推廣到時(shí)間尺度上變質(zhì)量系統(tǒng)Appell方程等的對(duì)稱性研究中。