圓弧齒線圓柱齒輪建模及接觸應(yīng)力分析*

王小崗，葉友東，范武勝

(安徽理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

齒輪傳動(dòng)在現(xiàn)代工業(yè)中扮演著非常重要的角色，它具有效率高、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動(dòng)精度高等特點(diǎn)，因而被廣泛應(yīng)用于機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域。 直齒、斜齒、人字齒是最常見的齒輪傳動(dòng)，由于結(jié)構(gòu)上的原因，上述圓柱齒輪存在一定的缺點(diǎn)[1]，如漸開線直齒圓柱齒輪承載力有限、斜齒輪存在軸向力以及人字齒輪加工復(fù)雜等問題的存在[2]。 近些年國內(nèi)外有些學(xué)者對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪也進(jìn)行研究，王虹等利用ANSYS 對(duì)齒輪進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析[3]；馬登秋對(duì)齒輪不同位置的沖擊接觸應(yīng)力的分布進(jìn)行了研究[4]；ZHANG X G 等研究了圓弧齒線圓柱齒輪的接觸線，并對(duì)齒輪的接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力進(jìn)行了研究[5]。 CHEN Y C 等[6]推導(dǎo)了該齒面數(shù)學(xué)模型，研究了其傳動(dòng)誤差等，研究結(jié)果表明，該齒輪具有重合度大、接觸潤(rùn)滑性能好、無軸向力、噪音低、嚙合性能好、效率高等優(yōu)點(diǎn)，相對(duì)于直齒輪傳動(dòng)存在的平穩(wěn)性較差，易產(chǎn)生沖擊、振動(dòng)和噪聲問題以及斜齒輪存在軸向力、人字齒輪加工繁瑣復(fù)雜等問題，該齒輪在大多數(shù)應(yīng)用環(huán)境下可以代替使用。

為解決上述圓柱齒輪結(jié)構(gòu)上存在的缺點(diǎn)，筆者分析了一種新型的齒輪傳動(dòng)—圓弧齒線圓柱齒輪。 圓弧齒線圓柱齒輪的主要特征是其齒線為一段空間曲線，圓弧齒線圓柱齒輪的齒廓既可以是漸開線，也可以是諾維柯夫圓弧曲線[7]。 通過分析得出該齒輪作為機(jī)械傳動(dòng)領(lǐng)域的一種機(jī)械基礎(chǔ)零件，具有非常廣闊的應(yīng)用前景。

1 圓弧齒線圓柱齒輪的加工原理

目前，可查詢到的圓弧齒線圓柱齒輪的加工方法有很多[8]，如雙刃旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工、單刃旋轉(zhuǎn)銑刀盤加工、平行連桿機(jī)構(gòu)加工、數(shù)控立式銑床加工等，但最常見的加工方法為旋轉(zhuǎn)刀盤法和平行連桿法。 旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工與平行連桿法機(jī)構(gòu)相比，齒輪加工效率更高，同時(shí)也可以保證精度，在系統(tǒng)剛度、最大切削速度、加工齒形合理性、是否能加工硬齒面方面，旋轉(zhuǎn)刀盤法具有更好的工藝性能[9]，故目前使用范圍最為廣泛。 但這種方法會(huì)使圓弧齒線圓柱齒輪表面留有加工痕跡，后續(xù)還需要進(jìn)一步精加工。

旋轉(zhuǎn)刀盤銑削加工齒輪的原理如圖1 所示，在加工齒輪的過程中，包括了3 個(gè)運(yùn)動(dòng)[10]:刀盤的高速旋轉(zhuǎn)切削運(yùn)動(dòng)、齒坯繞中心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)和刀盤的水平移動(dòng)、保證加工完整的刀盤的進(jìn)給運(yùn)動(dòng)。 刀盤安裝在機(jī)床主軸上，齒坯安裝在機(jī)床上，機(jī)床工作時(shí)，刀盤和齒坯之間將按既定的速度進(jìn)行展成運(yùn)動(dòng)，所以:

圖1 圓弧齒線圓柱齒輪的加工原理

式中:VT是刀盤沿X方向移動(dòng)速度；VR是齒坯節(jié)圓上的旋轉(zhuǎn)速度。

加工一個(gè)完整的齒后，利用分度機(jī)構(gòu)完成齒坯分度，繼續(xù)進(jìn)行下一個(gè)齒面的加工，直至加工一個(gè)完整的齒輪[11]。

建立如圖1 所示坐標(biāo)系，S0(X YZ)為靜止坐標(biāo)系，S1(X1Y1Z1)為與齒固聯(lián)的動(dòng)坐標(biāo)系，ST(XTYTZT)為與刀盤固聯(lián)的坐標(biāo)系，以速度VT＝R·ω相對(duì)S0坐標(biāo)系做平移運(yùn)動(dòng)，R為齒坯的分度圓半徑，刀具平均展成半徑為Rt，右側(cè)內(nèi)刀刃用于生成凸齒面，左側(cè)外刀刃用于生成凹齒面，內(nèi)外刀刃的展出半徑分別為Rn＝R-πm/4 和Rm＝R＋πm/4，齒輪凸齒面的半徑略小于凹齒面半徑。

根據(jù)加工原理可知，加工凸齒面和凹齒面的刀盤半徑存在差異，導(dǎo)致中間截面處的齒槽寬略小于齒輪端面齒槽寬。 當(dāng)由上述原理加工而成的一對(duì)齒輪副進(jìn)行嚙合時(shí)，其中一個(gè)齒輪的凸面與另一個(gè)齒輪的凹面接觸嚙合，由于齒面的展成半徑不同，齒輪的嚙合狀態(tài)就如圖2 所示，此時(shí)的齒輪為點(diǎn)接觸嚙合。 如圖3 所示。 圓弧齒線圓柱齒輪的理想嚙合狀態(tài)為線接觸嚙合，此時(shí)齒輪的凸齒面展成半徑與凹齒面的展成半徑相等，沿齒寬方向的齒廓均為漸開線齒廓，齒線為圓弧的一部分，齒輪的周向齒槽寬和法向齒槽寬處處相等，齒輪副的接觸線為空間曲線。

圖2 點(diǎn)接觸嚙合

圖3 線接觸嚙合

2 圓弧齒線圓柱齒輪齒面方程

如圖4(a)所示，該齒面∑可以認(rèn)為是由某一徑向截面齒面漸開線齒廓T沿基圓柱齒線S掃描形成[3]。 在基圓柱中間截面建立坐標(biāo)系，使S1(X1Y1Z1)的X1O1Y1平面通過基圓柱中間截面，Z1通過基圓軸線，基圓半徑為Rb1。 坐標(biāo)系Sh(XhYhZh)是距離中間截面h 的齒線位置坐標(biāo)系，β為弧齒線的位置角，輪齒與平面XhOhZh截面如圖4(b)，其與齒面∑的交線Th為漸開線。

圖4 圓弧齒線圓柱齒輪漸開線齒廓

齒廓漸開線方程為:

式中:α為漸開線展開角。

Z1和Zh同軸且都通過基圓柱軸線，平面XhOhZh截面的齒廓可認(rèn)為是由X1O1Y1平面上的漸開線齒廓繞Z軸旋轉(zhuǎn)β得到，坐標(biāo)系Sh下的漸開線的方程為:

根據(jù)其幾何關(guān)系可以推出圓弧齒線位置角為:

式中:R為分度圓半徑；RT為齒線半徑。

由Sh坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到S1坐標(biāo)系的變換矩陣為:

通過坐標(biāo)變換:

可導(dǎo)出齒面方程:

式中:b為齒寬。

3 圓弧齒線圓柱齒輪建模

圓弧齒線圓柱齒輪副的基本參數(shù)如表1 所列，基于三維建模軟件SolidWorks，按照以下基本步驟:根據(jù)參數(shù)畫出基圓、齒根圓、分度圓和齒頂圓及漸開線；然后畫出圓弧齒線圓柱齒輪的端面齒形和中間截面齒廓，在Matlab 中編寫相關(guān)程序生成空間引導(dǎo)線，將引導(dǎo)線離散為若干點(diǎn)的坐標(biāo)導(dǎo)入到SolidWorks，利用曲線功能生成空間引導(dǎo)線；由于圓弧齒線圓柱齒輪的齒線為圓弧形狀，在生成模型時(shí)只需要計(jì)算每個(gè)端面的旋轉(zhuǎn)角度，最后根據(jù)引導(dǎo)線執(zhí)行放樣切除、圓角和陣列命令，就可以得到圓弧齒線圓柱齒輪模型。 如圖5 所示。

表1 圓弧齒線圓柱齒輪的主要幾何參數(shù)

圖5 圓弧齒線圓柱齒輪模型

平行于漸開線圓弧齒線圓柱齒輪中間軸線平面的任意截面齒廓均為漸開線齒廓，齒輪的周向齒厚也處處相等，并且該齒輪凹凸面曲率半徑也相等，齒線為圓弧的一部分。 這種齒形屬于標(biāo)準(zhǔn)齒形，一對(duì)壓力角和模數(shù)相等的圓弧齒線圓柱齒輪能嚙合順暢，齒面接觸為線接觸，該齒形可以增大接觸區(qū)域和重合度，使齒輪的使用壽命增加。 齒輪副的模型如圖6 所示。

圖6 圓弧齒線圓柱齒輪 齒輪副模型

4 圓弧齒線圓柱齒輪副接觸應(yīng)力分析

根據(jù)文獻(xiàn)[12]，圓弧齒線圓柱齒輪的齒面接觸應(yīng)力與齒寬和齒線半徑密切相關(guān)，并且相同條件下，圓弧齒線圓柱齒輪副的接觸強(qiáng)度較直齒輪和斜齒輪有明顯提高。 文中研究相同條件下不同齒寬、齒線半徑對(duì)該齒輪齒面接觸應(yīng)力的影響，利用ANSYS Workbench 對(duì)齒輪接觸應(yīng)力進(jìn)行分析和總結(jié)。

4.1 齒寬對(duì)接觸應(yīng)力的影響

為了分析齒寬對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪接觸應(yīng)力的影響，選取8 組齒寬系數(shù)不同的齒輪副進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，齒寬系數(shù)?a為齒輪寬度與中心距的比值，其余參數(shù)如表1 所列。 將建立的齒輪副模型導(dǎo)入到ANSYS Workbench 中對(duì)齒輪副進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，材料默認(rèn)為結(jié)構(gòu)鋼，彈性模量為2×1011Pa，泊松比為0.3，小齒輪施加扭矩T＝200 N·m，齒面接觸類型為摩擦接觸，摩擦系數(shù)0.05，得到八組輪齒接觸應(yīng)力云圖，如圖7 所示。

圖7 不同齒寬時(shí)輪齒的接觸應(yīng)力云圖

圖7(a)～(h)分別對(duì)應(yīng)了8 組不同齒寬系數(shù)的圓弧齒線圓柱齒輪副在扭矩T＝200 N·m 下的接觸應(yīng)力的大小，接觸應(yīng)力值如表2 所列。 將不同齒寬的齒輪接觸應(yīng)力值進(jìn)行擬合，得到的曲線如圖8 所示。

表2 不同齒寬時(shí)輪齒接觸應(yīng)力參數(shù)

圖8 不同齒寬接觸應(yīng)力分布圖

圖8 中，當(dāng)齒輪的齒數(shù)z、模數(shù)m、齒線半徑R、壓力角α等參數(shù)一定時(shí)，齒輪的承載能力在一定范圍內(nèi)會(huì)隨著齒寬b的增加而增強(qiáng)。 但當(dāng)齒寬系數(shù)?a大于0.6 時(shí)，齒面的接觸應(yīng)力開始增大，載荷沿著齒寬的分布開始不均勻，容易造成偏載和應(yīng)力集中的現(xiàn)象，使齒輪的實(shí)際承載能力下降。

4.2 齒線半徑對(duì)接觸應(yīng)力的分析

為了分析變齒線半徑對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪接觸應(yīng)力的影響，選取8 組齒線半徑不同的齒輪副進(jìn)行接觸應(yīng)力分析，其余參數(shù)如表1 所列。 小齒輪施加T＝200 N·m 的扭矩，分析設(shè)置與上述一致，得到的8 組接觸應(yīng)力云圖如圖9 所示。

圖9 不同齒寬時(shí)輪齒的接觸應(yīng)力云圖

圖9(a)～(h)分別對(duì)應(yīng)了8 組不同齒線半徑的圓弧齒線圓柱齒輪副在扭矩T＝200 N·m 下的接觸應(yīng)力的大小，接觸應(yīng)力值如表3 所列。 將不同齒線半徑的接觸應(yīng)力值進(jìn)行擬合，得到的曲線如圖10 所示。

表3 不同齒線半徑時(shí)輪齒的接觸應(yīng)力參數(shù)

圖10 不同齒線半徑接觸應(yīng)力分布圖

從圖10 可以看出，齒輪的齒數(shù)z、模數(shù)m、齒線b、壓力角α等參數(shù)一定時(shí)，齒輪的接觸應(yīng)力隨著齒線半徑的增加，總體表現(xiàn)為先減小后增大的趨勢(shì)，圖形類似拋物線。 通過結(jié)果分析可知，該齒輪的承載能力與其齒線半徑密切相關(guān)，但齒線半徑并非越小越好或越大越好，而是在其他參數(shù)確定的情況下，齒線半徑在某個(gè)范圍內(nèi)，齒輪承載能力最好，接觸應(yīng)力值最小。由10 可知，當(dāng)1.5b≤R≤2.5b時(shí)，圓弧齒線圓柱齒輪的承載能力最好。

5 結(jié) 論

(1) 通過對(duì)圓弧齒線圓柱齒輪副加工原理和齒面方程的分析，利用建模軟件SolidWorks 和分析軟件Matlab 得到圓弧齒線圓柱齒輪的精準(zhǔn)模型，為后續(xù)的分析提供了相關(guān)基礎(chǔ)。

(2) 理論上齒輪齒面接觸應(yīng)力隨齒寬系數(shù)的增加而減小，但并非越大越好，當(dāng)?a大于0.6 時(shí)，會(huì)使齒槽中的空氣體積變化大，嚙合過程中使空氣被壓出的速度很快，導(dǎo)致噪音增大，而且隨著齒寬的增大，載荷沿著齒寬的分布越不均勻，容易造成偏載和應(yīng)力集中的現(xiàn)象，使齒輪的實(shí)際承載能力下降。

(3) 在模數(shù)m＝4，齒數(shù)z1＝20、z2＝30 的圓弧齒線圓柱齒輪副中，齒輪的齒線半徑在1.5b≤R≤2.5b時(shí)，齒輪的承載能力最好。 在齒輪其他相關(guān)參數(shù)不變的情況下，隨著齒線半徑的增加，接觸應(yīng)力總體表現(xiàn)為呈現(xiàn)先減小后增大的趨勢(shì)，最終隨著齒輪齒線半徑增大到無限時(shí)，結(jié)果近似于直齒輪。 研究的結(jié)論為圓弧齒線圓柱齒輪以后的工程應(yīng)用和設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。