時間尺度上Whittaker 方程的Noether 對稱性與守恒量

舒蓮蓮，朱建青

(蘇州科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

1918年，Noether 建立了Noether 理論[1].1988年，Hilger 對時間尺度理論有了初步研究，Agarwal 和Bohner[2]研究了時間尺度上的基本運算法則，并推導(dǎo)了部分定理.之后對于時間尺度的研究快速發(fā)展，并廣泛應(yīng)用在量子力學(xué)、自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域[3-5].Bartosiewicz 和Torres[6]首次研究時間尺度上的Noether 定理.Cai等[7]將時間尺度理論和Noether 對稱性理論結(jié)合，得到了Lagrange 系統(tǒng)中計算第一積分的方法.Peng等[8]將Noether 和Lie 對稱性方法運用到時間尺度上的Hamilton 系統(tǒng)，導(dǎo)出Noether 守恒量.近年來，眾多學(xué)者為將不同力學(xué)系統(tǒng)的對稱性與守恒量推廣到時間尺度理論，做出很多科研成果[9-12].

在物理、工程、生物等領(lǐng)域的數(shù)學(xué)建模中，大多需要通過微分方程來表述.因此對于微分方程的構(gòu)造約化、求解等很有必要，而利用對稱性獲取守恒量求解微分方程是一個靈活有效的方法.Bhutani 和Mital[13]利用Noether 對稱性，討論了Shallow-membrane 方程的第一積分.梅鳳翔[14]研究了Emden 方程的不同表達(dá)形式，有不同的對稱性.張毅[15]用著名的van der Pol、Duffing 等弱非線性方程作為實例，分析了它們的Noether 準(zhǔn)對稱性與近似Noether 守恒量.1904年，Whittaker[16]利用能量積分把完整保守力學(xué)系統(tǒng)降階為基于更少的自由度系統(tǒng)，得到Whittaker 方程.Whittaker 方程不僅可以處理Lagrange 力學(xué)逆問題，還可以為工程實際應(yīng)用中的構(gòu)造模型提供數(shù)學(xué)工具等[17-18].梅鳳翔、丁光濤等[19-20]對構(gòu)造Whittaker 方程的Lagrange 函數(shù)、Hamilton 和Birkhoff 函數(shù)做了進(jìn)一步研究.本文利用Noether 對稱性研究時間尺度上Whittaker 方程的守恒量，首先考慮力學(xué)化后的Whittaker 方程可取得力學(xué)函數(shù)，再根據(jù)力學(xué)系統(tǒng)的Noether理論，討論時間尺度上Whittaker 方程在Lagrange、Hamilton 及Birkhoff 三大力學(xué)體系下的關(guān)系，最后靈活得到方程守恒量.

1 Whittaker 方程在Lagrange 系統(tǒng)下的Noether 定理

時間尺度上Whittaker 方程為

Whittaker 方程可部分Lagrange化，得到Lagrange 函數(shù)和廣義力分別為[20]

則Whittaker 方程的Hamilton 作用量為

再利用時間尺度理論的計算法則，類似于文獻(xiàn)[7]，則Whittaker 方程可化為時間尺度上一般完整系統(tǒng)的Lagrange 方程，即

其中，ε是無限小參數(shù)，ξ0，ξs是生成元.

定義1Hamilton 作用量(3)在變換(5)下的不變性是時間尺度上Whittaker 方程相應(yīng)于Lagrange 系統(tǒng)下的Noether 對稱性.

則此不變性是時間尺度上Whittaker 方程相應(yīng)于Lagrange 系統(tǒng)下的Noether 對稱性.

定理1對于Whittaker 方程在Lagrange 系統(tǒng)下，若變換(5)的生成元 ξ0,ξs使廣義Noether 等式(6)成立，則此系統(tǒng)有Noether 守恒量

證明將式(8)兩邊對t求Δ-導(dǎo)數(shù)，并利用方程(4)和式(6)，可得

因此(8)式是該系統(tǒng)的守恒量.證畢.

2 Whittaker 方程在Hamilton 系統(tǒng)下的Noether 定理

將時間尺度上Whittaker 方程力學(xué)化在力學(xué)體系中，則可利用其分析力學(xué)體系的性質(zhì)，方程在Lagrange 體系下可進(jìn)行轉(zhuǎn)化為等價于Hamilton 體系下的形式，結(jié)合(1)和(2)式，令

則Whittaker 方程的Lagrange 函數(shù)和廣義力(2)式對應(yīng)等價的Hamilton 函數(shù)和廣義力為

即Whittaker 方程在相空間中Hamilton 作用量為

Whittaker 方程可以正則化為時間尺度上相空間一般完整系統(tǒng)的Hamilton 方程，即

則此不變性是時間尺度上Whittaker 方程相應(yīng)于Hamilton 系統(tǒng)下的Noether 對稱性.

定理2對于Whittaker 方程在Hamilton 系統(tǒng)下，若變換(14)的生成元 ξ0,ξs使廣義Noether 等式(15)成立，則此系統(tǒng)有Noether 守恒量

證明將式(17)兩邊對t求Δ-導(dǎo)數(shù)，并利用方程(13)和式(15)，可得

因此(17)式是該系統(tǒng)的守恒量.證畢.

3 Whittaker 方程在Birkhoff 系統(tǒng)下的Noether 定理

Hamilton 體系是Birkhoff 體系的一種特殊形式，若將時間尺度上Whittaker 方程力學(xué)化在Birkhoff 系統(tǒng)，相較于Hamilton 系統(tǒng)更具有普遍性，令

Whittaker 方程Hamilton 函數(shù)和廣義力(11)式對應(yīng)取得Birkhoff 函數(shù)和函數(shù)組、附加函數(shù)為

即Whittaker 方程在時間尺度上的Pfaff 作用量為

Whittaker 方程可以化為時間尺度上廣義Birkhoff 方程，即

其中，ξ0,ξs是無限小變換的生成元.

定義3Pfaff 作用量在變換(23)下的不變性是時間尺度上Whittaker 方程相應(yīng)于Birkhoff 系統(tǒng)下的Noether對稱性.

則此不變性是時間尺度上Whittaker 方程在Birkhoff 系統(tǒng)下的Noether 對稱性.

定理3對于Whittaker 方程在Birkhoff 系統(tǒng)下，若變換(23)的生成元 ξ0,ξs使廣義Noether 等式(24)成立，則此系統(tǒng)有Noether 守恒量

證明將式(25)兩邊對t求Δ-導(dǎo)數(shù)，并利用方程(22)和式(24)，可得

因此(26)式是該系統(tǒng)的守恒量.證畢.

若T=R，得σ(t)=t,μ(t)=0，則式(8)、(17)、(25)得到經(jīng)典的Whittaker 方程在Lagrange、Hamilton、Birkhoff 系統(tǒng)下的Noether 守恒量依次為[19]

4 算例

例1時間尺度 T上Whittaker 方程可取Lagrange 函數(shù)和廣義力為(2)式.

(2)式代入廣義Noether 等式(6)，得到

是生成元(34)運算出的Noether 守恒量.

時間尺度 T上 Whittaker 方程還可以取其他形式的Lagrange 函數(shù)為[19]

代入廣義Noether 等式(6)，得到

方程(37)有解

得到守恒量

是生成元(38)運算出的Noether 守恒量.

例2時間尺度 T上 Whittaker 方程的Lagrange 函數(shù)和廣義力(2)式對應(yīng)等價的Hamilton 函數(shù)和廣義力為(11)式.

(11)式代入廣義Noether 等式(15)得到

方程(40)有解

得到守恒量

是生成元(41)運算出的Noether 守恒量.

例3時間尺度 T上 Whittaker 方程Hamilton 函數(shù)和廣義力(11)式對應(yīng)取得Birkhoff 函數(shù)和函數(shù)組、附加函數(shù)為(20)式.

(20)式代入廣義Noether 等式(24)得到

方程(43)有解

得到守恒量

是生成元(44)運算出的Noether 守恒量.

5 結(jié)論

本文研究了時間尺度上Whittaker 方程的Noether 守恒量，首先Whittaker 方程可力學(xué)化在一般完整的三大力學(xué)體系，由Noether 理論，得出Whittaker 方程的守恒量.其次由研究得出Whittaker 方程力學(xué)化時，其動力學(xué)函數(shù)在每個力學(xué)框架下選取可以有多個，結(jié)果可以找到相同的守恒量.Whittaker 方程在Lagrange 系統(tǒng)下得出的Noether 守恒量等價于Hamilton 系統(tǒng)下的，方程在Hamilton 系統(tǒng)下得出的Noether守恒量是Birkhoff 系統(tǒng)下的特殊形式，方程在Birkhoff 系統(tǒng)下更具有普適性.因此利用Noether 對稱性求解時間尺度上Whittaker 方程的守恒量是一個變通性較強(qiáng)的方法.其思想方法可應(yīng)用于研究微擾動力學(xué)方程等.