挖掘圖形特征 優(yōu)化解題思路

于云霞 王春麗

(山東省榮成市教育教學(xué)研究中心,264300) (山東省榮成市實(shí)驗(yàn)中學(xué),264300)

一道好的數(shù)學(xué)題,既能考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,又能提升學(xué)生學(xué)科的核心素養(yǎng).在解題教學(xué)中,充分挖掘題目?jī)?nèi)在的數(shù)學(xué)思想和方法,發(fā)揮其應(yīng)有的功能和價(jià)值,必能拓寬學(xué)生的解題思路.本文以2019年浙江省富陽市中考模擬試卷第20題為例,談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生挖掘圖形特征,優(yōu)化解題思路,形成解決幾何問題的基本策略.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1,已知?ABC是等邊三角形,CE是外角平分線,點(diǎn)D在AC上,連結(jié)BD并延長(zhǎng),與CE交于點(diǎn)E.

(1)求證:?ABD∽?CED;

(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的長(zhǎng).

二、試題分析

此題不僅考查了學(xué)生對(duì)等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況,還考查了學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、幾何直觀等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用能力.

本題第(1)小問比較簡(jiǎn)單,略.下面只對(duì)第(2)問進(jìn)行解法探究.

三、解法展示

1.利用銳角三角函數(shù)解斜三角形

解法1如圖2,過點(diǎn)E作EM⊥BF,垂足為M.

∵?ABD∽?CED,AD=2CD,

∵AB=6,∴CE=3.

在Rt?CEM中,∠ECM=60°,

解法2如圖3,過點(diǎn)B作BM垂直于EC交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M.

在Rt?BCM中,∠BCM=60°,BC=6,

在Rt?BME中,

∵EM=CM+CE=3+3=6,

說明在斜?BCE中,已知兩邊及兩邊的夾角,通常作垂線,將斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.

解法3如圖4,過點(diǎn)B作BM⊥AC,垂足為M.

在Rt?ABM中,∠A=60°,AB=6,

∵AD=2CD=4,∴DM=1,

∵?ABD∽?CED,

解法4如圖5,過點(diǎn)E作EM⊥CD,垂足為M.

∵∠ECM=60°,CE=3,

∵?ABD∽?CED,

解法5如圖6,過點(diǎn)D作DM垂直BC,垂足為M.∵∠DCB=60°,DC=2,

∵BC=6,∴BM=BC-CM=5,

∵?ABD∽?CED,

說明在幾何解題教學(xué)中,通過作三角形的內(nèi)高或者外高,如圖7“背靠式”、圖8“疊合式”將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來解決問題,體現(xiàn)了化“斜”為“直”的數(shù)學(xué)思想.

2.構(gòu)建“手拉手”模型

解法6如圖9,取CG=CE,連結(jié)AG,過點(diǎn)A作AM⊥BC,垂足為M,則由AC=BC,∠ACG=∠BCE=120°,可得?ACG≌?BCE,∴AG=BE.

∵BC=AB=6，

在Rt?AMG中,MG=CM+CG=6,

說明如果題目中出現(xiàn)共頂點(diǎn)、等線段條件,我們可以選擇構(gòu)建“手拉手”模型來解決問題.

四、解后反思

1.認(rèn)識(shí)基本圖形,回歸本源思考

在幾何題目中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單內(nèi)涵卻很豐富的基本圖形,這些圖形往往會(huì)蘊(yùn)含一些靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系，因此，認(rèn)識(shí)并理解這些基本模型,有利于提升學(xué)生的高階思維能力.此題在解斜三角形的時(shí)候,由已知條件可以得到斜三角形的兩邊及其夾角(用“SAS”表示),可將探究三角形全等的方法進(jìn)行有效遷移,來解決有這樣特點(diǎn)的斜三角形.在教學(xué)中,教師可以引領(lǐng)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行拓展,若斜三角形中已知元素為“AAS”如圖10,“ASA”如圖11,“SSS”如圖12,“SSA”如圖13和圖14,即斜三角形滿足已知兩角一邊或者兩邊一角,或者三邊的條件,也是可解的.

2.優(yōu)化解題思路,把握通法通則

在解題過程中,如果我們能夠?qū)栴}進(jìn)行多角度的思考,優(yōu)化解題思路,就能夠激發(fā)學(xué)生思維的靈活性,形成解決問題的通性通法.在具體解題過程中我們會(huì)發(fā)現(xiàn),許多題目中的基本模型都會(huì)缺失部分元素,需要學(xué)生添加輔助線將其補(bǔ)全,這時(shí)就需要學(xué)生具有幾何直觀能力和空間想象能力,從不同的切入點(diǎn)聯(lián)想幾何模型,產(chǎn)生豐富多彩的構(gòu)圖方案,繼而得到不同的解題思路.例如，此題要求的是線段BE的長(zhǎng)度問題,已知條件中有等邊三角形,可以建立學(xué)生最熟悉的手拉手模型,通過轉(zhuǎn)化的思想,將邊BE轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊長(zhǎng),借助勾股定理解決問題.另外,函數(shù)思想是貫穿于代數(shù)和幾何兩大領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)思想,在解決線段長(zhǎng)度的問題時(shí),數(shù)形結(jié)合不失為一種解決問題的基本方法.

總之,解題過程中,我們只有實(shí)現(xiàn)“怎樣做”到“怎樣想”的轉(zhuǎn)變,弄清思想方法的來源,挖掘基本圖形特征,把握通法通則,才能夠在解題的過程中以不變應(yīng)萬變,真正將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實(shí)處.