“前概念”理念下教學(xué)單元的分析與設(shè)計*
——以蘇科版“一元一次不等式”為例

周 煉

(江蘇省泰州市第二中學(xué)附屬初中,225300)

教師時常會以自身的教學(xué)經(jīng)驗來判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)水平已經(jīng)達(dá)到的高度,并以此來組織教學(xué).事實上,學(xué)生在不同年齡階段的認(rèn)知水平、知識儲備是參差不齊的,以至于當(dāng)一個概念進(jìn)入他們的大腦時處理方式與教師的預(yù)想是有差異的.教師在即將開展一個新的單元教學(xué)前,切不可過于主觀地進(jìn)行無依據(jù)的預(yù)設(shè)與猜想,需要充分利用好手頭的物化資料,如教材、課標(biāo)、課外讀物等了解學(xué)生的知識儲備與層次水平,同時要對學(xué)生進(jìn)行與單元教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的深度訪談、調(diào)查研究,充分了解基本學(xué)情,挖掘?qū)W生的前概念,并以此為基礎(chǔ)作出一個相對整體的單元學(xué)前分析.

一、前概念的內(nèi)涵

現(xiàn)代心理學(xué)研究表明:人類總是帶著一些先行的知識、技能去理解一個新事物,影響對環(huán)境的關(guān)注、組織與解釋,以此形成的認(rèn)識系統(tǒng)會循環(huán)影響人們的推理、識別、提取等能力,這樣的先行知識便是前概念.無論是兒童還是成年人都會以自身已有的前概念系統(tǒng)來解碼信息、認(rèn)識世界,它是一個能賦予事物個性意義的網(wǎng)絡(luò)分析系統(tǒng),代表了個人的觀念與立場,并能幫助他們作出預(yù)測與判斷[1].

二、前概念理念下教學(xué)單元分析的必要性

前概念對于要開始新一單元的學(xué)習(xí)者來說既可能是積極的,也可能是消極的.若不積極探究學(xué)生的已有思維,創(chuàng)建可以揭露思維的任務(wù)與條件,幫助學(xué)生在章學(xué)習(xí)前就把隱藏的前概念暴露出來,教師就無法判斷前概念對學(xué)習(xí)的影響是積極的還是消極的.此時教師需要通過章前導(dǎo)學(xué)課將學(xué)生的思維方式、認(rèn)知策略引入正確的方向,形成一個較為清晰的章研究體系,否則花再多的時間反復(fù)講解、大量訓(xùn)練也只是讓新知識在學(xué)生的認(rèn)知大門前短暫地停留,最終沒有在他們心里留下任何印記.

三、前概念理念下學(xué)生知識水平與學(xué)情的分析

1.依托《課標(biāo)》分析學(xué)生的知識水平

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(以下簡稱《課標(biāo)》)第四學(xué)段課程內(nèi)容可知,不等式在“數(shù)與代數(shù)”內(nèi)容版塊中的排序位于“數(shù)與式”之后,在所屬分支“方程與不等式”中位于“方程與方程組”之后,由此可見數(shù)與式、方程與方程組的學(xué)習(xí)能為不等式提供豐富的前概念.在不等式的分條目要求中大多數(shù)都能與已學(xué)知識對應(yīng)(如表1),例如“根據(jù)具體情境了解不等式,會用不等式解決問題”在“有理數(shù)”“代數(shù)式”“方程與方程組”中均有類似描述,這說明前概念在不等式中有較多的可遷移之處[2].

表1

《課標(biāo)》在第一學(xué)段“數(shù)的認(rèn)識”中提到:“理解<,=,>的含義,能用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大小”“能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識兩個一位小數(shù)的大小,能比較兩個同分母分?jǐn)?shù)的大小”;在第二學(xué)段“數(shù)的認(rèn)識”中提到:“能比較小數(shù)的大小和分?jǐn)?shù)的大小”.根據(jù)以上內(nèi)容不難發(fā)現(xiàn),雖然在小學(xué)時已經(jīng)開始要求學(xué)生會用一些基本不等符號比較兩個數(shù)的大小,但其研究范圍局限于“數(shù)”,并未涉及“式”,學(xué)生的前概念可能既有“對不等符號使用較為熟悉”的積極影響,也存在“個體與整體”“數(shù)與式”之間的差異性導(dǎo)致的消極影響.

2.關(guān)于學(xué)生的基本情況分析

由于在初中階段學(xué)生已經(jīng)通過研究兩種方程模型,積累了能根據(jù)實際問題分析數(shù)量關(guān)系并將現(xiàn)實問題抽象成數(shù)學(xué)模型的經(jīng)驗,基本能建立“數(shù)學(xué)——現(xiàn)實”的有效聯(lián)結(jié),所以教師可以設(shè)計相對豐富的實踐活動,使學(xué)生在親身經(jīng)歷中體會新舊知識之間的關(guān)聯(lián),同時也讓前概念易于外顯化.另外,初一學(xué)生的認(rèn)知水平已經(jīng)進(jìn)入形式運算階段,開始由具象思維向抽象思維過渡,他們有能力進(jìn)行一些簡單形式化的思維活動.這為本節(jié)課自主建構(gòu)、類比教學(xué)提供了有力依據(jù).

3.關(guān)于以往教學(xué)經(jīng)驗的回顧分析

根據(jù)教材安排,本章的第一課時是“生活中的不等式”,主要目的就是通過大量實例讓學(xué)生感受到生活中處處有不等關(guān)系,并將其抽象成不等式模型.但由上文分析可知,學(xué)生在小學(xué)階段就已經(jīng)接觸過不等式,如果整節(jié)課把控不好節(jié)奏,僅用大量實際問題進(jìn)行“轟炸”,在歸納概括得出不等式的概念后思維就會處于“空轉(zhuǎn)”狀態(tài)進(jìn)而導(dǎo)致課堂效率低下.很多教師可能意識到了這一點,基于此把前兩節(jié)課合并為一節(jié)課上,在匆匆結(jié)束新課后便開始與學(xué)生共陷題海.這樣教學(xué)的大致結(jié)果就是剛開始學(xué)生錯誤率極高,但隨著練習(xí)量的增加正確率開始提升,但只要隔了一段時間暫停訓(xùn)練,有可能重蹈覆轍,學(xué)生再次陷入題海,形成惡性循環(huán).或許正是因為本章內(nèi)容在前面所學(xué)知識中有太多的可借鑒之處,所以當(dāng)很多細(xì)節(jié)沒有梳理清楚時,學(xué)生的很多前概念與新知識是相互混雜的,學(xué)生帶著疑惑與朦朧記住的只是知識的表層,而對于知識的本質(zhì)并未深刻地理解[3].

四、前概念理念下教學(xué)單元的設(shè)計策略

1.善用類比強化學(xué)生前概念的正遷移作用

波利亞曾說過:“類比既是一種相似,也是一種推理.”類比的最終目標(biāo)是實現(xiàn)學(xué)習(xí)的遷移.遷移分正遷移和負(fù)遷移,分別會對學(xué)習(xí)產(chǎn)生積極與消極的影響.一般來說教學(xué)應(yīng)該促進(jìn)正遷移,規(guī)避負(fù)遷移.

比如,在“不等式”的章前導(dǎo)學(xué)課中,我們可以將方程學(xué)習(xí)的前概念類比到不等式中去,設(shè)計如下教學(xué)環(huán)節(jié):還記得上學(xué)期我們是按照怎樣的路徑研究方程的嗎?類比方程的研究思路,你能設(shè)計一個有關(guān)不等式的研究路徑嗎?請將你的想法填在表2中.

表2

該問題引導(dǎo)學(xué)生從前概念中關(guān)于方程的研究思路尋求不等式的研究思路,以等式與不等式之間的“共振點”“生長線”來引導(dǎo)學(xué)生作研究路徑上的類比.在觀察與猜想的基礎(chǔ)上通過比較與分析與已有的概念框架產(chǎn)生對接,充分地發(fā)揮了前概念對于學(xué)習(xí)新知識的積極作用.

再比如,在“不等式的解集”這一課中,我們可以設(shè)計如下教學(xué)環(huán)節(jié)來引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)軸的前概念類比不等式解集的表示方法:一條公路有三條行車道,分別是小型客車道,中間行車道和右側(cè)行車道.中間行車道的行駛速度為mkm/h,其限速路標(biāo)如圖1所示,請用數(shù)學(xué)式子表示下列數(shù)量關(guān)系.

在實際教學(xué)中學(xué)生大概有以下幾種寫法:m≤100或m≥60,100≥m≥60,60≤m≤100.由于有代數(shù)式與方程的學(xué)習(xí)經(jīng)驗,以及小學(xué)掌握過“<，>，≠”三種不等符號的用法,學(xué)生可能給出了一些不規(guī)范的寫法,此時教師需要挖掘與之有關(guān)的前概念來幫助學(xué)生適應(yīng)新知識.由于數(shù)軸上的點是從左往右按照從小到大的順序排列的,與不等式解集的表示方式高度相似,所以可以將其作為類比素材,在規(guī)范寫法的同時還可以為后續(xù)在數(shù)軸上表示不等式的解集作鋪墊.

以上兩個案例均利用了學(xué)生前概念中有積極影響的部分進(jìn)行了類比,通過提問、設(shè)計、嘗試等形式將新知識與前概念進(jìn)行關(guān)聯(lián)以產(chǎn)生正遷移作用.無論是類比數(shù)軸規(guī)范地表示不等式的解集,還是類比一元一次方程的研究路徑設(shè)計一元一次不等式的研究路徑,都能讓學(xué)生在面對未知時通過前概念找到原型,充分把握類比對象與原型的相似之處.

2.通過實踐消除學(xué)生前概念的負(fù)遷移作用

前概念是寶貴的類比資源,但也時常因為與新知識產(chǎn)生價值沖突會反過來阻礙學(xué)習(xí)進(jìn)程,而成為抑制學(xué)習(xí)的重要因素.這種影響甚至?xí)灤┱麄€章內(nèi)學(xué)習(xí).基于前概念對教學(xué)單元進(jìn)行分析的另一個作用便是將可能會產(chǎn)生負(fù)遷移影響的前概念暴露出來并加以修正.研究表明,學(xué)習(xí)者不是被動的“參與者”,是調(diào)用所學(xué)知識解決真實問題的“創(chuàng)造者”,學(xué)生只有根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗與知識積累煉制出與自身、環(huán)境相容的價值才是有意義的[5].如此看來,要消除前概念的負(fù)遷移效果,就要設(shè)計一些新知識與前概念對立的體驗活動.

比如,在“生活中的不等式”教學(xué)中,我們可以設(shè)計如下教學(xué)環(huán)節(jié)消除數(shù)的不等關(guān)系比較對不等式學(xué)習(xí)的負(fù)遷移效果:

實驗1多次隨意抽取兩位同學(xué)比身高,看看他們身高一樣嗎?你能用數(shù)學(xué)式子描述兩位同學(xué)比較身高的結(jié)果嗎?

實驗2現(xiàn)隨機選擇一位同學(xué)報出他的身高,請大于這個身高的同學(xué)舉手,你能類似地用一個數(shù)學(xué)式子描述這一群學(xué)生的身高特點嗎?(學(xué)生實驗結(jié)果如表3)

隨機比較兩位同學(xué)的身高是學(xué)生熟悉的,但要描述大于某個身高的“一類”數(shù)卻需要較強的符號意識與歸納能力,這對剛接觸代數(shù)式不久的初一學(xué)生來說略有困難.設(shè)計第一個實驗有兩個作用,在體現(xiàn)了生活中存在大量不等關(guān)系,突顯不等式研究價值的同時也與第二個實驗形成了鮮明的對比,使學(xué)生意識到描述數(shù)的不等關(guān)系存在著局限性,揭示出了前概念中“重數(shù)輕式”的不足.事實上,代數(shù)式本身就是一種抽象表達(dá),若在抽象的基礎(chǔ)上再用抽象的方式來教學(xué)便難以為學(xué)生所接受,而采用實驗的方式可以讓個體與環(huán)境在交互中沖擊對原有認(rèn)知中一對一不等關(guān)系的“刻版印象”,逐漸形成集合思想,引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)視角描述不等關(guān)系.

再比如,在“不等式的基本性質(zhì)”這一課中,我們可以設(shè)計如下教學(xué)環(huán)節(jié)來避免等式的性質(zhì)對不等式性質(zhì)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移效果:一只紙箱質(zhì)量為1kg,當(dāng)放入一些蘋果(每個蘋果的質(zhì)量為0.25kg)后,紙箱和蘋果的總質(zhì)量不超過10kg,問這只紙箱內(nèi)最多能裝多少個蘋果?

在沒有介紹不等式性質(zhì)的前提下,學(xué)生能嘗試列出不等式1+0.25x≤10,然后通過移項、合并同類項以及系數(shù)化為1可得x≤36.但若此時對其進(jìn)行變式,改為“一只紙箱質(zhì)量不少于1kg,紙箱和蘋果的總質(zhì)量為10kg,現(xiàn)在要拿走一些蘋果(每個蘋果的質(zhì)量為0.25kg),那么最多能拿走多少個蘋果?”,學(xué)生在列出不等式10-0.25x≥1后,會參照解方程得到x≥36.但當(dāng)x=37時,10-0.25×37=0.75,與題意不符.

從數(shù)學(xué)建模的完整性出發(fā),本環(huán)節(jié)通過“蘋果裝箱問題”讓學(xué)生嘗試解不等式,最初學(xué)生在解“1+0.25x≤10”時誤以為解不等式與解方程并無兩樣,但在解“10-0.25x≥1”時用同樣的方法就出現(xiàn)了問題(沒有變號),通過對比精準(zhǔn)地將學(xué)生在本章內(nèi)與解不等式易混淆的前概念暴露了出來.

以上兩個案例中的“比較身高”實驗就包含了數(shù)與式之間的矛盾與沖突,學(xué)生在比身高的過程中能切實感受到比較兩個數(shù)的大小與概括一類數(shù)的范圍之間是存在差異的,從而意識到在不等式中引入集合思想的必要性,避免出現(xiàn)過于關(guān)注數(shù)的前概念傾向?qū)ρ芯渴降牟坏汝P(guān)系造成的負(fù)遷移作用;在另一個案例“蘋果裝箱問題”中,先后各設(shè)置一個不需要變號和需要變號的解不等式問題,讓學(xué)生嘗試著用解方程的方法去解,學(xué)生會發(fā)現(xiàn)同一種方法產(chǎn)生了兩種截然不同的結(jié)果,形成了成功和與失敗的強烈對比.若學(xué)生不是親身體會過這種矛盾與反差,就不會引起對解方程與解不等式之間差異的重視,不用變號的方程前概念對解不等式的負(fù)遷移影響就不會輕易地暴露出來.不等式與方程固然有很多可類比之處,但一味地類比不僅會限制學(xué)生的想象力,更會將差異化知識同質(zhì)化,從而使他們建立錯誤的概念網(wǎng)絡(luò).在章前導(dǎo)學(xué)課中教師可以設(shè)計一些類似“比較身高”“蘋果裝箱問題”的活動讓學(xué)生在實踐中感悟到某些前概念的知識與方法套用在新知識身上是站不住腳的,此時大腦便會支配學(xué)生作出相應(yīng)的行為來修正“概念網(wǎng)絡(luò)”,在原有的基礎(chǔ)上生成更適應(yīng)現(xiàn)狀的新概念[6].