依托不動(dòng)點(diǎn)新定義 探究函數(shù)值不變性

李發(fā)勇

(四川省巴中市巴州區(qū)大和初中,636031)

對(duì)于函數(shù)g(x),如果存在x0,使得g(x0)=x0,則x0叫做函數(shù)g的不動(dòng)點(diǎn).本質(zhì)上,不動(dòng)點(diǎn)問題就是方程的根的求解問題.其思考方法:依據(jù)定義,不動(dòng)點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程g(x)=x的根或函數(shù)g(x)=x與直線y=x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)問題.本文舉例說明與不動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題,供分享.

一、不動(dòng)點(diǎn)的存在性

(2)函數(shù)y=3kx+s-1(k,s是常數(shù))的圖象上存在“夢(mèng)之點(diǎn)”嗎?若存在,請(qǐng)求出“夢(mèng)之點(diǎn)”的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

(2) 由y=x,得(1-3k)x=s-1.

由|x1-x2|=2,得(b-1)2=4a2+4a,

例2(2013屆景德鎮(zhèn)市九年級(jí)第三次質(zhì)檢題)新定義:若t=at2+bt+c成立,則稱點(diǎn)(t,t)為拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)上的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)拋物線C的解析式為y=ax2+(b+1)x+(b-1)(a≠0).

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)b,實(shí)數(shù)a應(yīng)在什么范圍內(nèi),才能使拋物線C上總有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)?

解(1)由題意,得

∴拋物線C的解析式為y=x2-x-3.

令x=x2-x-3,

解得x1=-1,x2=3.

∴不動(dòng)點(diǎn)為(-1,-1)和(3,3).

(2)若拋物線C有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn),則由x=ax2+(b+1)x+(b-1),整理得ax2+bx+(b-1)=0.

∴Δ=b2-4a(b-1)>0,

即b2-4ab+4a>0.

∵b為任意實(shí)數(shù),且使得上式成立,

∴(-4a)2-4×1×4a<0,

整理，得a2-a<0,

解得0

∴實(shí)數(shù)a的范圍是0

(3)k=-1或k=-2.(過程略)

二、不動(dòng)點(diǎn)的應(yīng)用

例3(2003年綿陽中考題)若點(diǎn)P(t,t)在拋物線上,則點(diǎn)P叫做拋物線的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)拋物線y=ax2+x+2經(jīng)過點(diǎn)(-1,0).

(1)求這條拋物線的頂點(diǎn)和不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)將這條拋物線進(jìn)行平移,使其只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).證明平移后的拋物線的頂點(diǎn)在直線4x-4y-1=0上.

分析(1)設(shè)出不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),并代入拋物線解析式中,即可求出不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)先設(shè)出平移后拋物線的解析式,再由這個(gè)拋物線只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)可得出平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式.

解(1)由拋物線y=ax2+x+2經(jīng)過點(diǎn)(-1,0),可得a-1+2=0,∴a=-1,

(2)設(shè)平移后的拋物線為y=-(x-a)2+b,則由拋物線只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),可得方程x=-(x-a)2+b,即x2-(2a-1)x+(a2-b)=0只有一個(gè)解,

∴Δ=(2a-1)2-4(a2-b)=0,

即4a-4b-1=0.

故平移后拋物線的頂點(diǎn)在直線4x-4y-1=0上.

例4(2019年上海中考題)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2-2x,其頂點(diǎn)為A.

(1)寫出這條拋物線的開口方向、頂點(diǎn)A的坐標(biāo),并說明它的變化情況;

(2)我們把一條拋物線上橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)叫做這條拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”.

① 試求拋物線y=x2-2x的“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo);

② 平移拋物線y=x2-2x,使所得新拋物線的頂點(diǎn)B是該拋物線的“不動(dòng)點(diǎn)”,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,且四邊形OABC為梯形,求新拋物線表達(dá)式.

解(1)拋物線y=x2-2x的開口向上,頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,-1).

拋物線的變化情況:拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是下降的,右側(cè)的部分是上升的.

(2)① 設(shè)拋物線y=x2-2x的“不動(dòng)點(diǎn)”坐標(biāo)為(t,t),則t=t2-2t,解得t1=0,t2=3.

∴拋物線y=x2-2x的“不動(dòng)點(diǎn)”的坐標(biāo)是(0,0),(3,3).

② 設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)B(m,m)是其“不動(dòng)點(diǎn)”,則新拋物線的對(duì)稱軸x=m與x軸的交點(diǎn)為C(m,0).

∵四邊形OABC是梯形,

∴對(duì)稱軸x=m在y軸左側(cè).

∵BC與OA不平行,∴OC∥AB.

又點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(m,m),∴m=-1,即新拋物線是由拋物線y=x2-2x向左平移2個(gè)單位得到的.

故新拋物線的表達(dá)式是y=(x+1)2-1.

新定義試題屬于創(chuàng)新類試題,主要考查學(xué)生對(duì)“新定義”的理解和認(rèn)識(shí),以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.對(duì)于新定義型問題,我們需要將“新定義”與已學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來,利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來解決.