一類圓內(nèi)接四邊形的系列結(jié)論及應(yīng)用
——以一道中考模擬題為例

虞 會

(浙江省寧波市鎮(zhèn)海蛟川書院,315201)

一、試題呈現(xiàn)

(1)∠DAB=______(請用α的代數(shù)式表示),并求證:DA=DB;

(3) 如圖2,連結(jié)AM并延長,交BC于點(diǎn)F, 交⊙M于點(diǎn)E,

② 若3BF=2OD,請直接寫出四邊形ABDC的面積.

此題為2022年寧波市鎮(zhèn)海區(qū)中考模擬卷中的一道壓軸題,涉及圓的基本性質(zhì)、直角三角形、勾股定理、相似三角形等相關(guān)知識,三小問難度層層遞進(jìn),全面考查了學(xué)生分析問題,解決問題的能力.從學(xué)生的答題情況來看,第(1)、(2)問學(xué)生尚能解決,第(3)問很多學(xué)生難以入手,究其原因還是對特殊圓內(nèi)接四邊形的認(rèn)識不足.

二、圖形分析

筆者發(fā)現(xiàn),在去掉平面直角坐標(biāo)系的背景后,此題可歸結(jié)為圓中的一類內(nèi)接四邊形(兩條對角線互相垂直且一條對角線等于一條邊的圓內(nèi)接四邊形)問題.

1.圖形初步認(rèn)識

如圖3,已知在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,從此圖中可以得出哪些結(jié)論?

從角的方面考慮:

結(jié)論1:若∠CAD=α,則圖形中所有的角都可以用α來表示.

特別地,∠BAC=∠BDC=2α.

從線段的方面考慮:

結(jié)論2:因?yàn)锳C⊥BD,所以有四組線段滿足勾股定理.

結(jié)論3:由于四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,故有兩對相似三角形.

結(jié)論4:(托勒密定理)AB·CD+AD·BC=AC·BD.

從角和線段相結(jié)合的方面考慮:

2.圖形變式認(rèn)識

變式1如圖4,已知在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,連結(jié)AO交BD于點(diǎn)F,連結(jié)CF,從此圖中又能得出哪些關(guān)鍵結(jié)論?

結(jié)論6:?ABF≌?ACF≌?ADC,

結(jié)論7:CD+DE=BE.

由結(jié)論6,可得BF=CF=CD,FE=DE,從而可證結(jié)論7.

結(jié)論7 其實(shí)就是阿基米德折弦定理,如果知道此定理,則在圖形初步認(rèn)識里面就可以得出結(jié)論7.

結(jié)論8:?AFD∽?ABC(手拉手相似),Rt?AEF∽Rt?BEC,Rt?ABE∽Rt?FCE.

變式2如圖5,已知在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,連結(jié)BO交AC于點(diǎn)G,從此圖中又能得出哪些關(guān)鍵結(jié)論?

結(jié)論9:?ABG∽?DBC和?ABD∽?GBC(手拉手相似).

結(jié)論10:若已知AG,CG的長,則可求得圖中所有線段的長.

結(jié)論11:如圖6,若延長BG交⊙O于點(diǎn)H,連結(jié)AH,DH,則四邊形AHDC為等腰梯形.

變式3如圖7,已知在⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,連結(jié)CO交BD于點(diǎn)H,延長CO交AB于點(diǎn)Q,從此圖中又能得出哪些關(guān)鍵結(jié)論?

結(jié)論12:CQ∥AD.

結(jié)論13:DC=DH.

結(jié)論14:BH=2DE.

∵BE=DE+DC(結(jié)論7),

DC=DH(結(jié)論13),

∴BH=BE-HE

=DE+DH-HE=2DE.

結(jié)論15:?ECH∽?EBC.

三、試題解答

(1) 由圓的性質(zhì),可得∠DAB=∠DCB=90°-α.

∵∠DBC=∠CAD=90°-2α,

∠ABC=∠ADC=α,

∴∠DBA=90°-α.

∴∠DAB=∠DBA,進(jìn)而得DA=DB.

在Rt?AOC中,由結(jié)論5,可得

OC∶OA∶AC=3∶4∶5.

由結(jié)論15,可得?OAF∽?OBA,

解得OB=5,∴BF=4.

② 由結(jié)論14,可知BF=2CO.

∴3×2CO=2OD,即3CO=OD,

在Rt?AOC中,由結(jié)論5,可得

AO∶CO∶AC=3∶4∶5.

四、解后思考

正如章建躍博士在《幾何研究中的數(shù)學(xué)思維方式》中所說:幾何學(xué)的課題就是研究和理解幾何圖形的本質(zhì)與結(jié)構(gòu).本質(zhì)是指事物的根本性質(zhì),是事物自身組成要素之間相對穩(wěn)定的內(nèi)在聯(lián)系;結(jié)構(gòu)是指事物內(nèi)部各組成要素之間的相互聯(lián)系、相互作用的方式.在近幾年的中考模擬或者中考試題中,對壓軸題的要求往往是去模型化,更加關(guān)注學(xué)生的思維,更趨向于考查學(xué)生的分析問題,解決問題的能力.所以,教師在平時(shí)講解幾何綜合題時(shí),一定要追本溯源,讓學(xué)生學(xué)會拆分復(fù)雜的圖形,厘清基本圖形之間的相互聯(lián)系,能遷移所掌握的基本圖形性質(zhì),這樣才能提高學(xué)生應(yīng)用知識,解決問題的能力.