圖形疊加生成 定性定量探究*
——以福建省2021年中考數(shù)學(xué)第24題為例

林紅梅

(福建省莆田文獻(xiàn)中學(xué),351199)

對照《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中的“圖形與幾何”知識領(lǐng)域的要求,平面幾何復(fù)習(xí)專題的設(shè)計(jì)應(yīng)考慮精選的試題通過哪些基本圖形的生成疊加來引導(dǎo)學(xué)生研究圖形;通過后續(xù)怎樣的變式，探究一般化思路,來滲透數(shù)學(xué)思想方法和培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力;通過怎樣的內(nèi)調(diào)外聯(lián)形成結(jié)構(gòu)化體系來發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),如此層層遞進(jìn),螺旋提升.本文以2021年福建省中考數(shù)學(xué)第24題為例,談?wù)勅绾伟l(fā)揮試題的內(nèi)涵與外延的價(jià)值.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1,在正方形ABCD中,E,F為邊AB上的兩個三等分點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′,AA′的延長線交BC于點(diǎn)G.

(1)求證:DE∥A′F;

(2)求∠GA′B的大小;

(3)求證:A′C=2A′B.

本題是一道幾何綜合題,涉及正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的定義等知識點(diǎn),主要考查學(xué)生化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,以及幾何直觀、邏輯推理等核心素養(yǎng),能夠較好地體現(xiàn)選拔功能.

二、分析求解

1.化繁為簡,拆分圖形,反向有序生成試題圖形

將圖1逐步拆分,還原圖形生成過程,從定性角度研究基本圖形及其疊加后的構(gòu)成要素及相關(guān)要素之間的結(jié)論.

評注從圖2到圖5,通過基本圖形有順序、有層次的組合疊加來對靜態(tài)幾何圖形的定性研究,是數(shù)學(xué)直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)的表現(xiàn).

2.對于靜態(tài)幾何圖形,從定性研究轉(zhuǎn)化到定量表述

量化是數(shù)學(xué)的思維方式之一.將靜態(tài)幾何圖形相關(guān)元素的定性結(jié)論用某一個量表述——這個量可以是數(shù)值或數(shù)對,則意味著可以把握圖形的變化規(guī)律.這是圖形研究中確定性思想的表現(xiàn).

三、變式探究

1.變換的不變性

將原題中的條件“E為AB三等分點(diǎn)”變式為“點(diǎn)E在AB上運(yùn)動”,則對稱軸DE不確定,因此點(diǎn)A′的位置不確定,在此過程中研究點(diǎn)A在運(yùn)動過程中相關(guān)元素保持的不變性.

變式1如圖7,在正方形ABCD中,E為邊AB上的一動點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′,AA′的延長線交BC于點(diǎn)G.問:(1)求點(diǎn)A′的運(yùn)動軌跡;(2)求∠GA′C的大小;(3)若AB=3,求A′B的最小值.

變式2如圖8,在正方形ABCD中,E為邊AB上的三等分點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′,將直角∠GA′F繞點(diǎn)A′旋轉(zhuǎn),直角邊A′G交BC于點(diǎn)G,直角邊A′F交AB于點(diǎn)F,連結(jié)FG,A′B.若AB=3,求FG的最小值.

2.變換中滿足特定條件下的定性結(jié)論或定量結(jié)果

將原題中的核心條件∠GA′F=90°保持不變,讓點(diǎn)E在邊AB上運(yùn)動.

抓住變式1中∠CA′G=45°這個不變量,可以構(gòu)造等腰直角三角形作為命題的走向.

3.一般化條件后的系列結(jié)論

變式5如圖12,在矩形ABCD中,AD=3,E為邊AB上的一動點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′,連結(jié)A′A并延長交BC于點(diǎn)G,過點(diǎn)A′作A′F∥DE交AB于點(diǎn)F,連結(jié)A′B.問:當(dāng)∠GA′B=45°時,求BF關(guān)于AE的函數(shù)關(guān)系式.

若簡化圖形,只討論軸對稱變化,可以繼續(xù)延續(xù)探究變換中幾何量間的函數(shù)關(guān)系.

變式6如圖13,在矩形ABCD中,AD=3,E為邊AB上的一動點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′,連結(jié)A′B.問:當(dāng)AA′=A′B時,AB的最大值是多少？

簡析如圖13,過點(diǎn)A作MN⊥AB于點(diǎn)N,交DC于點(diǎn)M,連結(jié)DA′,則A′D=AD=3.當(dāng)AA′=A′B時,點(diǎn)A′在AB的垂直平分線上,則N為AB的中點(diǎn).

當(dāng)然圖形的一般化與特殊化不僅僅體現(xiàn)在圖形變換過程中某一相對靜止時刻的一系列結(jié)論,也可以指某些核心條件一般化后產(chǎn)生系列結(jié)論的脈絡(luò)和線索.例如點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡可進(jìn)一步一般化,但仍有點(diǎn)A′的運(yùn)動軌跡保持不變,進(jìn)而繼續(xù)探究變換中滿足特定條件下的定性結(jié)論或定量結(jié)果.

變式7如圖14,在正方形ABCD外側(cè)作直線DE,點(diǎn)A關(guān)于DE的對稱點(diǎn)為A′,連結(jié)AA′,CA′,其中CA′交直線DE于點(diǎn)O.若0°<∠DAA′<90°,用等式表示線段OA′,OC,AD之間的數(shù)量關(guān)系.