也談反比例函數(shù)背景下三角形面積問題新解

高愛香

(山東省鄒城市第九中學(xué),273500)

筆者拜讀了貴刊上的文獻(xiàn)[1]及[2],受益匪淺.本文受文[2]的啟示,在文[1]的基礎(chǔ)上通過深入探究、推演,得到反比例函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)(三點(diǎn)共線除外)連結(jié)而成的三角形面積的計(jì)算公式,并利用此公式快捷地解決相關(guān)中考試題.

一、三角形面積公式及其推導(dǎo)

文[1]給出了函數(shù)背景下斜三角形的面積公式:

①

②

證明由A，B為直線y=ax+b(a≠0)上的兩點(diǎn),可知

b=y1-ax1

由公式①,得

二、公式應(yīng)用

上述公式簡潔對(duì)稱,形式優(yōu)雅,易于記憶.我們只要知道反比例函數(shù)的解析式及其圖象的任意兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或這兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的倍分關(guān)系),就可求出雙曲線上任意兩點(diǎn)與原點(diǎn)(三點(diǎn)共線時(shí)除外)連結(jié)而成的三角形的面積.下面通過中考實(shí)例說明其應(yīng)用.

例1(2021年南充中考題)如圖2,反比例函數(shù)的圖象與過點(diǎn)A(0,-1),B(4,1)的直線交于B,C兩點(diǎn).

(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;

(2)已知點(diǎn)D(-1,0),直線CD與反比例函數(shù)圖象在第一象限的交點(diǎn)為E,直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo),并求?BCE的面積.

由D(-1,0),C(-2,-2),可得yCD=2x+2.

∴E(1,4).

如圖2,連結(jié)OB,OC,OE.

由公式②,得

S?BCE=S?BOC+S?COE+S?BOE

解析如圖3,過點(diǎn)C向x軸作垂線,交x軸于點(diǎn)E,連結(jié)OD,則CE∥AB.

∵C是OA的中點(diǎn),

∴S?COD=S?ACD=2,

即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是點(diǎn)C橫坐標(biāo)的2倍.

由公式②,得

由公式②,得

又?ABP的面積是?AOB的面積的2倍,

∴t2+t-2=±2t.

當(dāng)t2+t-2=2t時(shí),解得t=2;

當(dāng)t2+t-2=-2t時(shí),

∴x2+bx-1=0.

∴A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

由公式②,得

兩邊平方,得b4+4b2-12×16=0,

∴(b2-12)(b2+16)=0,

評(píng)注例3、例4中的常規(guī)解法,需要進(jìn)行分類討論.例3分點(diǎn)P在點(diǎn)B的上方或下方兩種情況進(jìn)行解答;例4按直線y=x+b交于y軸的正半軸或負(fù)半軸進(jìn)行分類討論.部分學(xué)生由于受思維定勢(shì)的影響出現(xiàn)了漏解的情況,而運(yùn)用本文中兩則公式解答則可避免因分類討論而產(chǎn)生漏解的情況,提高了解題的準(zhǔn)確性.

解析由反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性,可知OA=OB.

如圖5,連結(jié)OE,則由直角三角形斜邊的中線的性質(zhì),可以推出?AOE為等腰三角形,∴∠OEA=∠OAE=∠EAC, ∴OE∥AC.

連結(jié)OD,則S?OAD=S?EAD=8.

分別過A,D兩點(diǎn)向x軸作垂線,交x軸于點(diǎn)F,G,則有AF∥DG,

∴AF∶DG=CA∶CD=3∶1,

∴AF=3DG.

整理,得k=6(負(fù)值舍去).

三、結(jié)束語

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,我們除了能熟練、合理、靈活地運(yùn)用課本上直接或間接給出的結(jié)論外,還應(yīng)該重視從課本例題以及有關(guān)數(shù)學(xué)試題中提煉出來的結(jié)論.這些結(jié)論,對(duì)幫助我們快速找到解題的思路或突破口,特別對(duì)選擇、填空題,往往能起到事半功倍的效果,同時(shí)也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的一個(gè)有效途徑.因此,教師在教學(xué)過程中,不僅要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)論解決數(shù)學(xué)問題,同時(shí)也要注意引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論,并及時(shí)提煉總結(jié)數(shù)學(xué)結(jié)論,進(jìn)而應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論指導(dǎo)我們解決問題.這不僅有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高解題效率,而且對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.