加強(qiáng)尺規(guī)作圖建立幾何直觀

趙桂芳

（遼寧教育學(xué)院）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）“幾何更強(qiáng)調(diào)直觀”，更加強(qiáng)調(diào)通過尺規(guī)作圖等幾何作圖活動過程來實(shí)現(xiàn)幾何概念的直觀建立。隨著新課標(biāo)的修訂，各個版本的教材也將隨之進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化，但無論怎樣變化，把握尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容的相互聯(lián)系和內(nèi)在邏輯，以及明確尺規(guī)作圖在建立幾何直觀、發(fā)展核心素養(yǎng)方面的意義和價值應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教師的專業(yè)要求。

一、直觀與幾何直觀

《辭?！返尼屃x：直觀即感性認(rèn)識，其特點(diǎn)是生動性、具體性和直接性?！吨袊蟀倏迫珪贰罢軐W(xué)卷”的釋義：直觀是通過對客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識。西方哲學(xué)家通常認(rèn)為：直觀就是未經(jīng)充分邏輯推理而對事物本質(zhì)的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質(zhì)的認(rèn)識。我國當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家徐利治教授提出：“直觀就是借助于經(jīng)驗(yàn)、觀察、測試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關(guān)系產(chǎn)生對數(shù)量關(guān)系的直接感知。”

新課標(biāo)對幾何直觀行為特征的描述如下：幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；根據(jù)語言的描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。建立幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

華東師范大學(xué)鮑建生教授說：“幾何直觀不僅能為學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識、進(jìn)行幾何探究與推理提供便利，而且也能為學(xué)生理解與洞察其他更為抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容與結(jié)構(gòu)搭建橋梁，幾何直觀是啟發(fā)問題解決思路的基本策略?！睎|北師范大學(xué)史寧中教授指出：“在思考問題時，我們往往通過畫幾何圖形來理解問題，啟發(fā)思路，得到結(jié)論，這是直觀的三個本質(zhì)功能。只有利用圖形、圖形的關(guān)系、圖形的變化和運(yùn)動的軌跡來實(shí)現(xiàn)直觀的三個本質(zhì)功能，才是幾何直觀?！笨梢?，幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑。

二、尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖是幾何作圖的重要內(nèi)容，是指用無刻度直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖。新課標(biāo)“幾何更強(qiáng)調(diào)直觀”，更加強(qiáng)調(diào)通過尺規(guī)作圖等幾何作圖活動過程來實(shí)現(xiàn)幾何概念的直觀建立（明確“是否存在？”如“圓的切線”等概念的建立）；更加強(qiáng)調(diào)基本尺規(guī)作圖的理由（明確“為什么這樣做？”）；更加強(qiáng)調(diào)作圖背后的思考（明確“如何想到要這樣做？”）。以第四學(xué)段為例，新課標(biāo)中尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容的要求及變化如下。

【學(xué)段目標(biāo)】通過尺規(guī)作圖等直觀操作的方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系。

【內(nèi)容要求】與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》相比，新課標(biāo)將基本作圖“作一條線段等于已知線段”下移到第二學(xué)段（3~4年級）的“圖形的認(rèn)識與測量部分”，這樣就共有4個基本作圖，即作一個角等于已知角，作一個角的平分線，作一條線段的垂直平分線，過一點(diǎn)作已知直線的垂線；5個三角形作圖，即已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形，已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形，已知一直角邊和斜邊作直角三角形。5個與圓有關(guān)的作圖，即過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓，作三角形的外接圓、內(nèi)切圓，作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形。同時，新增“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”和“?過圓外一點(diǎn)作圓的切線”兩個內(nèi)容。

【學(xué)業(yè)要求】經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程，增強(qiáng)動手能力，能想象出通過尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力。

【教學(xué)提示】新課標(biāo)中指出：“圖形的性質(zhì)”強(qiáng)調(diào)通過實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，從基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理，理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法。

可見，新課標(biāo)不僅把尺規(guī)作圖作為一種幾何任務(wù)，更重要的是將它作為一種感知幾何圖形、理解圖形性質(zhì)、探究幾何規(guī)律的認(rèn)知工具。

著名數(shù)學(xué)教育家傅種孫先生曾指出：“幾何之務(wù)，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由以知其所以然？”具體到幾何作圖，達(dá)成上述“幾何之務(wù)”則要求不僅能做出符合某種條件的幾何圖形，還要知道它的作圖根據(jù)是什么，更要明白為什么會有如此限制以及如何想出怎么進(jìn)行尺規(guī)作圖，最終領(lǐng)會作圖的內(nèi)涵。

三、尺規(guī)作圖與幾何直觀

隨著新課標(biāo)的修訂，各個版本的教材也將隨之進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整與優(yōu)化，但無論怎樣變化，把握尺規(guī)作圖相關(guān)內(nèi)容的相互聯(lián)系和內(nèi)在邏輯，以及明確尺規(guī)作圖在建立幾何直觀、發(fā)展核心素養(yǎng)方面的意義和價值應(yīng)該成為數(shù)學(xué)教師的專業(yè)要求。

（一）尺規(guī)作圖是實(shí)現(xiàn)圖形變化的科學(xué)手段，直觀且準(zhǔn)確

如作一條線段等于已知線段或作一個角等于已知角，相當(dāng)于把已知線段或已知角利用圖形變換移到到另外一個位置，使用圓規(guī)直尺可以非常精確地做出來，且大小不變，既直觀又準(zhǔn)確，比起用量角器和刻度尺來做要容易得多，也更加清晰嚴(yán)密。

（二）尺規(guī)作圖是數(shù)學(xué)中反例說明的有效手段，直觀且簡潔

數(shù)學(xué)中說明一個命題是假命題的簡單且常用方法就是舉反例，而舉反例的最有力證據(jù)之一就是畫圖。如“SSA”不能作為兩個三角形全等的判定條件，若用尺規(guī)作圖進(jìn)行處理，很容易構(gòu)造反例，而且論證直觀，思路清晰，具有極強(qiáng)的說服力。

（三）尺規(guī)作圖是基于圖形感知的結(jié)論預(yù)判，直觀且精巧

史寧中教授說：“數(shù)學(xué)直觀是對數(shù)學(xué)對象和對象之間關(guān)系的一種直觀判斷?！庇袝r候，一道題目我們要思考很長一段時間才能得出結(jié)論，而直觀則能幫助我們快速做出判斷。

例如，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，BC=7，則sin∠ABC的值為________。

很顯然，這個題目需要先畫圖再分析求解，而部分學(xué)生會畫出所謂的“草圖”，然后作出BC邊上的高，用勾股定理列方程求解（如圖1）。這樣做雖然答案不受影響，但解方程的計算量較大，也易使學(xué)生對知識理解不深入和機(jī)械套用模型。

圖1

事實(shí)上，由該題題干可知，已知三邊ΔABC是完全確定的，若用尺規(guī)作圖規(guī)范畫圖，ΔABC是鈍角三角形，而已知三邊時三角形的三條高均可求，但實(shí)際求解過程中計算量的大小會有差異，哪個高相對來說更好求呢？當(dāng)然是希望出現(xiàn)特殊角，而此三角形中是否有特殊角呢？學(xué)生直觀感知就能發(fā)現(xiàn)：∠B和∠C不是特殊角。若考慮到∠BAC是特殊角，可嘗試作出AC邊上的高（如圖2），由此很容易求得AD=2.5，再用面積法，可輕松求得AH的值。這樣，問題便會輕松解決。教師若能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究，可能還會有意想不到的收獲（如圖3）：有60°的外角時，補(bǔ)出等邊三角形，又能發(fā)現(xiàn)兩個特殊的三角形，即三邊都是整數(shù)且有1個角是特殊角的三角形。無論是求三角形的面積，還是求某個銳角的三角函數(shù)值，所作高不同，求解的難易度會有很大的差異。像這樣，教師應(yīng)借助尺規(guī)作圖培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生在猜想中嘗試，在嘗試中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中積累。

圖2

圖3

（四）尺規(guī)作圖是學(xué)生實(shí)際執(zhí)行的操作，直觀且深刻

華東師范大學(xué)鮑建生教授說：“尺規(guī)作圖等操作活動是一種手腦并用的活動方式，可以增強(qiáng)大腦中不同功能區(qū)域的聯(lián)系，有助于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。”新課標(biāo)提倡“讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計算、推理、驗(yàn)證等活動過程”。尺規(guī)作圖中學(xué)生思考、作圖、驗(yàn)證的過程正是這樣的活動，讓學(xué)生直觀地感受、直觀地體驗(yàn)。一方面，便于學(xué)生在體驗(yàn)中明確何為尺規(guī)作圖及其相關(guān)要求；另一方面，便于學(xué)生在操作中領(lǐng)會尺規(guī)作圖背后的數(shù)學(xué)思考，如“為什么要這樣作？”“怎樣想到要這樣作？”等，在積累尺規(guī)作圖基本經(jīng)驗(yàn)的同時發(fā)展了其幾何直觀。

四、尺規(guī)作圖的教學(xué)實(shí)施建議

從現(xiàn)行教材的尺規(guī)作圖教學(xué)實(shí)施情況來看，目前尺規(guī)作圖教學(xué)多數(shù)停留在“教師示范作法，學(xué)生模仿作圖”的實(shí)施水平，僅僅表現(xiàn)為一種工具使用的程序性知識的學(xué)習(xí)，教學(xué)缺乏單元整體的系統(tǒng)設(shè)計，活動缺乏數(shù)學(xué)思維的深度參與。這實(shí)際上是對尺規(guī)作圖教學(xué)水平要求的降低（缺乏道理的解析，更缺失作法的探析），更是對尺規(guī)作圖在幫助學(xué)生有效建立幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)育人價值上的弱化。

基于尺規(guī)作圖的教學(xué)現(xiàn)狀，教師有必要按照新課標(biāo)的相關(guān)要求，進(jìn)一步規(guī)范與加強(qiáng)尺規(guī)作圖的教學(xué)與研究，整體設(shè)計尺規(guī)作圖教學(xué)，深度挖掘尺規(guī)作圖中蘊(yùn)含的思維營養(yǎng)，充分發(fā)揮尺規(guī)作圖在建立幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的育人價值。

（一）基于單元整體目標(biāo)，明確尺規(guī)作圖的地位與價值

尺規(guī)作圖教學(xué)是單元整體教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，教師需要明確局部與整體之間的聯(lián)系，需要在單元整體目標(biāo)的統(tǒng)攝下明確尺規(guī)作圖教學(xué)的地位和價值。

（二）規(guī)范作圖過程的實(shí)操示范，挖掘尺規(guī)作圖背后的數(shù)學(xué)思考

尺規(guī)作圖的教學(xué)具有“動手操作”和“動腦思考”兩重教學(xué)價值。從“動手操作”的教學(xué)價值看，尺規(guī)作圖屬于程序性知識的教學(xué)，需要學(xué)生明確操作規(guī)范和操作程序，即明確尺規(guī)作圖的要求、作法、步驟以及注意事項。從“動手思考”的教學(xué)價值看，教師要讓學(xué)生去想為什么要這么做，這是尺規(guī)作圖教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

（三）培養(yǎng)學(xué)生有效畫圖、用圖思考、依圖想象的習(xí)慣

在尺規(guī)作圖的教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)邏輯和數(shù)學(xué)直觀相輔相成、交織關(guān)聯(lián)。在具體的教學(xué)中，建議教師通過課程中的尺規(guī)作圖教學(xué)，讓學(xué)生逐步積累用圖形理解數(shù)學(xué)概念、探尋解題思路等活動經(jīng)驗(yàn)；不斷增強(qiáng)幾何概念、幾何關(guān)系、幾何結(jié)論等的存在感，不斷明確尺規(guī)作圖與圖形判定（定義）內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，逐步養(yǎng)成畫圖、用圖的習(xí)慣，逐步建立幾何直觀，為學(xué)生核心素養(yǎng)的全面提升提供支撐。

（四）讓尺規(guī)作圖教學(xué)貫穿學(xué)生整個學(xué)習(xí)過程

尺規(guī)作圖不僅是一種畫圖操作，更是一種數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)探究的過程，是知法明理的追溯。在學(xué)生學(xué)習(xí)的各環(huán)節(jié)，教師要有針對性地設(shè)計相關(guān)作圖活動，通過尺規(guī)作圖讓知識有機(jī)融合，以學(xué)生的先行獨(dú)立嘗試開路，使其經(jīng)歷合情推理到演繹推理的過程，這也是幾何直觀到幾何推理的過程。以下五點(diǎn)建議僅供參考。

1.以尺規(guī)作圖為載體，進(jìn)行新知的探索

如圖4，探索全等三角形的判定定理,可以給定一個ΔABC，明確標(biāo)注出該三角形的三條邊和三個角的大小，要求學(xué)生在旁邊復(fù)制一個ΔDEF，使得ΔDEF≌ΔABC。

圖4

教師應(yīng)關(guān)注：（1）學(xué)生會怎么操作？是否能體會到尺規(guī)作圖的簡潔方便？（2）學(xué)生作圖是否規(guī)范？作圖過程中是否能發(fā)現(xiàn)：復(fù)制該圖形不需要所有條件都用上；（3）學(xué)生會有什么猜想？是否會主動嘗試新的做法？（4）學(xué)生會有什么樣的驗(yàn)證方法？疊合法外是否能合情推理？

2.以尺規(guī)作圖為抓手，加深對命題的理解

如圖5，“邊邊角”不能作為判定兩個三角形全等的條件，教材中是用木棒拼擺舉反例加以說明的，但教師的教學(xué)不該停留于此，應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生反思：滿足“SSA”的兩個三角形是否有全等的情況？有哪些情形？這時尺規(guī)作圖的直觀性就能發(fā)揮最大效能。

圖5

如圖6，學(xué)生將木棒拼擺的圖形抽象出這個反例后，會主動去思考：只要讓圖6中的弧線與射線BC只有一個交點(diǎn)即可。在尺規(guī)作圖嘗試的過程中，學(xué)生會想到圖7、圖8和圖9的情況，并能進(jìn)一步總結(jié)出：若“SSA”中已知角的對邊大于或等于已知的鄰邊，三角形能完全確定；若“SSA”中已知角的對邊小于已知的鄰邊，只有直角三角形時才能完全確定。到這里，學(xué)生的思考與總結(jié)已經(jīng)非常到位。但為了進(jìn)一步加深理解，針對圖7，教師可以繼續(xù)追問：什么情況下角的對邊一定大于其鄰邊？這時圖10和圖11兩個特例會很容易出現(xiàn)（其實(shí)圖11就是“HL”）。這樣，通過作圖及反思，學(xué)生能更為深入地理解新學(xué)習(xí)的知識，同時增強(qiáng)思維的全面性和深刻性。

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

3.以尺規(guī)作圖為媒介，促進(jìn)思維的深入發(fā)展

幾何作圖的教學(xué)，若教師提出作圖的目標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生會從不同的角度出發(fā)，選擇不同的方法、運(yùn)用不同的定理解決問題，這樣會更具開放性，更能考查學(xué)生知識運(yùn)用的能力。為此，教學(xué)中教師可適時設(shè)計相關(guān)幾何作圖題，力求讓學(xué)生在作圖的過程中靈活運(yùn)用新知。

例如，中考真題：用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若這樣的三角形只能作一個，則a，b間滿足的關(guān)系式是________。

顯然，本題考查的是“SSA”的深入理解和靈活應(yīng)用，若“滿足SSA的兩個三角形不一定全等”這個結(jié)論是學(xué)生經(jīng)歷全面的探究發(fā)現(xiàn)并自我總結(jié)得出的，那么解答本題就不會出現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生因考慮不全面而“丟解”的情況。相反，若學(xué)生當(dāng)初的學(xué)習(xí)只是機(jī)械的記憶，這道題就會是超級拉分題。

如圖12所示，本題的答案是：b≥a或

圖12

4.以尺規(guī)作圖為牽動，促進(jìn)知識的建構(gòu)

應(yīng)該說，尺規(guī)作圖教學(xué)活動安排的時間節(jié)點(diǎn)不同，學(xué)生的作圖思路和作圖方法也會不同，但一定是隨著知識的增加，學(xué)生的思維更靈活更發(fā)散。以“過直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”為例，教師可以從單元整體教學(xué)的理念出發(fā)，以問題解決為驅(qū)動，以知識的整合與延展為抓手，引導(dǎo)學(xué)生從不同的思考方向嘗試給出具體的尺規(guī)作圖操作，感悟尺規(guī)作圖的合理性及圖形的幾何特征，形成局部的演繹體系。

如圖13~圖15，學(xué)生直接從平行線的定義、性質(zhì)、判定出發(fā)，自然聯(lián)想到構(gòu)造“三線八角”的解題思路，并且思維能從角一般性（一般銳角）到特殊性（直角）合理展開，實(shí)現(xiàn)解決問題由通法到技巧的過渡。這種靈活運(yùn)用圖形的性質(zhì)讓數(shù)學(xué)作圖更加簡約的方式，培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化意識的同時也讓學(xué)生感受到此類作圖依然是繼承了尺規(guī)作圖的道理，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的同時發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

圖13

圖14

圖15

如圖16~圖21，會有部分學(xué)生思維更加靈活，從一個點(diǎn)通過聯(lián)想打通數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個知識板塊之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而產(chǎn)生更多的作圖方法。這種經(jīng)歷“草圖—分析—驗(yàn)證—反思”的自我探究和發(fā)現(xiàn)的過程，是發(fā)展學(xué)生幾何直觀的良好契機(jī)。

圖16

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

特別要指出的是，在探析做法的過程中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)一般化的思考方法，引導(dǎo)學(xué)生形成一般化的思維習(xí)慣，感悟尺規(guī)作圖的合理性及圖形的幾何特征，感悟尺規(guī)作圖的魅力在于它內(nèi)隱的作圖道理——圖形性質(zhì)的運(yùn)用。

5.以尺規(guī)作圖為工具，彰顯學(xué)科的融合

幾何直觀的養(yǎng)成依賴于學(xué)生對數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的認(rèn)識，依賴于學(xué)生數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗(yàn)。小到學(xué)習(xí)小組或班集體的徽標(biāo)，大到奧運(yùn)會或國際會議的徽標(biāo)，教師都可以鼓勵學(xué)生積極參與設(shè)計。如在探究性作業(yè)、實(shí)踐性作業(yè)、長周期作業(yè)等中融入這種開放性的圖案設(shè)計活動，既是作圖技能的再次鞏固，作圖道理的再次理解，作法步驟的再次實(shí)踐；又是展現(xiàn)學(xué)生動手操作能力，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)散及語言表達(dá)的最好載體；更是滲透數(shù)學(xué)文化，發(fā)現(xiàn)美與創(chuàng)作美，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的最好體現(xiàn)。