證明線面平行的三個技巧

田玉鳳

線面平行是指直線和平面平行.證明直線與平面平行問題在立體幾何中較為常見.證明線面平行問題對同學(xué)們的邏輯推理和直觀想象能力有較高的要求.解答此類問題，需要靈活運用線面平行的判定定理、性質(zhì)定理以及面面平行的性質(zhì)定理.下面主要談一談證明線面平行的三個技巧.

一、利用中位線的性質(zhì)

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半，是三角形中位線的重要性質(zhì)之一.在證明線面平行時，我們可根據(jù)幾何圖形的特點添加合適的輔助線，如果過三角形一邊上的中點作底邊的平行線，將三角形兩條邊上的中點連接，構(gòu)造出三角形的中位線，這樣我們就可以利用中位線的性質(zhì)，證明平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，從而根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.

例1.

二、利用平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的性質(zhì)很多，如（1）平行線間平行的高相等；（2）兩組對邊相等；（3）兩組對角相等.在證明線面平行時，我們可以結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造平行四邊形，讓已知直線成為四邊形的邊或高，然后再利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理證明線面平行.

例2.

通過觀察，可以猜測平面AC1D內(nèi)的直線BB1∥PQ，BB1∥PQ，不妨構(gòu)造四邊形BQC1D、BB1PQ，分別證明其是平行四邊形，就可以運用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行判定定理證明結(jié)論.

三、利用面面平行的性質(zhì)

面面平行的性質(zhì)有很多，常見的有：（1）若兩個平面平行，則在一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面；（2）若兩個平行平面同時和第三個平面相交，則它們的交線平行.在證明線面平行時，只要證明直線l所在的平面α和平面β平行，那么就可以根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證明直線l和平面β平行.

例3.

解答本題主要運用了面面平行的第二個性質(zhì)，先要證明平面MNG∥平面BCF，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行.

總之，在解答線面平行問題時，同學(xué)們需明確輔助線的重要性和合理性，只有合理構(gòu)造三角形的中位線、平行四邊形、平行的平面，才能利用三角形的中位線、平行四邊形、面面平行的性質(zhì)來順利證明線面平行.

（作者單位：江蘇省阜寧縣實驗高級中學(xué)）