解答三角函數最值問題的幾種措施

萬廣生

三角函數最值問題側重于考查三角函數中的基本公式，三角函數圖象和性質，二次函數的性質等.求解三角函數最值問題的方法很多，如換元法、數形結合法、基本不等式法、導數法等.本文主要介紹下列三種求解三角函數最值問題的措施.

一、數形結合

數形結合法是求解三角函數問題的常用方法.將數形結合起來，可使三角函數問題變得直觀、具體.在解答三角函數最值問題時，可根據題意或者函數式的幾何意義，畫出相應的圖形，通過分析函數圖象的變化趨勢、最高點、最低點、對稱性、周期性等，求得函數在某一個區(qū)間上的最值.有時，可將y=sinx、y=cosx、y=tanx的圖象進行伸縮、翻折、旋轉，從而得到滿足題意的圖象.

例1.

由分式可聯想到直線的斜率公式，于是將其看作定點（-3，-2）和單位圓上一點（cosx，sinx）連線的斜率.然后畫出相應的圖形，便可通過分析圖形，明確直線的斜率取得最值的情形，再根據圓的性質：切點到圓心的距離為半徑，建立關系式，即可求得函數式的最值.

二、利用函數的單調性

對于只含有一種函數名稱，或可化簡為只含有一種函數名稱的函數式，我們可利用正弦函數、余弦函數、正切函數、一次函數、二次函數、指數函數的單調性來求函數的最值.若函數的定義域內含有多個單調區(qū)間，則需根據函數的單調性求得每個單調區(qū)間上的最值，再將所得的結果進行比較，較大的為最大值，較小的為最小值.

解答本題，需先根據輔助角公式，將函數式化簡為只含一種函數名稱的式子，然后根據正弦函數的單調性求出最值.

三、利用一元二次方程的根的判別式

對于含有二次式的三角函數式，通?？刹捎门袆e式法來求最值.首先需將y看作參數，構造關于x的一元二次方程；然后根據方程有解，建立關于判別式的不等式△≥0；再解不等式，得到對應的解集，即可求得三角函數的最值.

例3.

利用一元二次方程的根的判別式求函數的最值，需確保方程的二次項的系數不為0.若二次項的系數為參數，則需對其進行討論.

相比較而言，第一、二種措施比較常用，且適用范圍較廣；第三種措施的適用范圍較窄，但是較為便捷.同學們在求最值時，要注意根據函數式的結構特點，選擇與之相應的措施進行求解.

（作者單位：甘肅省慶陽市環(huán)縣第四中學）