巧用放縮法證明數(shù)列不等式

文帥

證明數(shù)列不等式問題一般較為復(fù)雜.解答這類問題的常用方法是放縮法，通常要靈活運(yùn)用數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)公式對不等式進(jìn)行變形、化簡，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)對數(shù)列不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.而證明數(shù)列不等式的關(guān)鍵是對不等式進(jìn)合理的放縮，下面重點(diǎn)談一談運(yùn)用放縮法證明數(shù)列不等式的幾個(gè)技巧.

一、通過裂項(xiàng)進(jìn)行放縮

有些數(shù)列不等式中的各項(xiàng)為分式，通過變形可裂為兩項(xiàng)之差的形式，此時(shí)可利用裂項(xiàng)求和法來求得數(shù)列的和，再對其進(jìn)行放縮，從而證明不等式.有時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式不能直接裂項(xiàng)，可先將其進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，再進(jìn)行求和.

例1.

二、利用基本不等式進(jìn)行放縮

若a、b>0，則a+b≥2ab，該式稱為基本不等式.運(yùn)用基本不等式可快速將兩式的和或積放大或縮小.在運(yùn)用基本不等式進(jìn)行放縮時(shí)，要注意三個(gè)條件“一正”“二定”“三相等”.需根據(jù)已知的關(guān)系式或目標(biāo)式，合理配湊出兩式的和或積，并使其一為定值.在證明數(shù)列不等式時(shí)，有時(shí)要用到基本不等式的變形式，如a+b+c≥3abc3、a21+a22+…+a2nn≥a1a2…ann等，對所要證明的不等式進(jìn)行放縮.

例2.

該數(shù)列中含有根式，很難快速求得數(shù)列的和，于是將其通項(xiàng)看作兩式的積，構(gòu)造出兩式的和式，便可利用基本不等式將數(shù)列中的每一項(xiàng)進(jìn)行放縮，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解，即可證明不等式.

三、根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行放縮

數(shù)列具有單調(diào)性，所以在證明數(shù)列不等式時(shí)，可根據(jù)不等式的特點(diǎn)找出其中的通項(xiàng)公式，通過作差或作商來判斷數(shù)列的單調(diào)性.若an≥an+1，則該數(shù)列單調(diào)遞增，若an≤an+1，則該數(shù)列單調(diào)遞減，即可利用數(shù)列的單調(diào)性來放縮不等式.

例3.

總之，運(yùn)用放縮法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵是對數(shù)列的通項(xiàng)公式、和式進(jìn)行合理的放縮.同學(xué)們可根據(jù)目標(biāo)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)，也可利用基本不等式，還可以根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性來進(jìn)行放縮.

（作者單位：江西省臨川第二中學(xué)）