例談求解圓錐曲線中離心率問題的三種思路

黃文地

圓錐曲線的離心率是描述圓錐曲線圓扁程度的量.有關(guān)離心率問題的常見命題形式有求橢圓、雙曲線的離心率及其取值范圍，根據(jù)圓錐曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍、求圓錐曲線的方程等.那么，如何求解圓錐曲線中的離心率問題呢？下面介紹三種思路.

一、采用公式法

圓錐曲線的離心率公式為e=ca，其中，a為橢圓的長半軸長、雙曲線的實(shí)軸長，c為半焦距，且在橢圓中，c=a2-b2，在雙曲線中，c=a2+b2.若容易求得圓錐曲線的方程、橢圓的長半軸和短半軸長、雙曲線的實(shí)軸和虛軸長，就能快速求得a、c的值，將a、c的值代入公式e=ca中，即可求出離心率的值.

例1.

解：

已知條件中含有a、b的關(guān)系式，根據(jù)等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的定義建立關(guān)于a、b的方程組，求得a、b的值，即可運(yùn)用圓錐曲線的離心率公式e=ca求得問題的答案.

二、構(gòu)造齊次式

有些問題中只給出了關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，或根據(jù)題意可直接求得關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，此時可通過構(gòu)造關(guān)于a、b、c的齊次式，即a、b、c的次數(shù)相同的式子，再根據(jù)橢圓中a、b、c的關(guān)系a2=c2+b2，雙曲線中a、b、c的關(guān)系c2=a2+b2，將齊次式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、c的等式，最后在其左右同時除以c2、c4等，得到關(guān)于ca的方程，解方程即可求得ca的值，從而得到圓錐曲線的離心率.

例2.

解：根據(jù)題意畫出如圖1所示的圖形，

解答本題主要運(yùn)用了構(gòu)造齊次式法，首先建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式：c2-a2=ac，再在其左右同時除以a2，將該關(guān)系式化為齊次式，再根據(jù)橢圓、雙曲線中a、b、c的關(guān)系得到關(guān)于ca的方程，進(jìn)而求得離心率的值.

三、利用幾何性質(zhì)法

圓錐曲線均為平面幾何圖形.在求解圓錐曲線的離心率時，可根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)建立關(guān)于橢圓的長半軸和短半軸長、雙曲線的實(shí)軸和虛軸長、焦半徑的關(guān)系式.也可將橢圓的長半軸和短半軸長、雙曲線的實(shí)軸和虛軸長、焦半徑看作三角形、平行四邊形、梯形的一條邊，或圓中的一條弦，利用三角形、平行四邊形、梯形、圓的性質(zhì)來建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，從而求得圓錐曲線的離心率.

例3.

解：

解答本題，需先明確AB為等腰三角形的底邊，然后采用幾何性質(zhì)法，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再將其代入雙曲線的方程，從而建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式.

本文主要介紹了三種求解圓錐曲線中離心率問題的思路.從上述分析可以看出，不論運(yùn)用哪一種思路解題，都需根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、c的關(guān)系式，或求得a、c的值.因此，同學(xué)們在建立關(guān)系式時，要將其與a、b、c關(guān)聯(lián)起來.

（作者單位：福建省南安市五星中學(xué)）