關(guān)于大學(xué)教育數(shù)學(xué)的設(shè)想*

王雷 李麗

（1.吉林財(cái)經(jīng)大學(xué) 吉林長(zhǎng)春 130000；2.吉林省醫(yī)藥中等職業(yè)學(xué)校 吉林長(zhǎng)春 130000）

伴隨著社會(huì)的發(fā)展和科技的進(jìn)步，數(shù)學(xué)在其中扮演的角色愈加重要。以至于著名數(shù)學(xué)教授葉其孝先生深有感觸地評(píng)價(jià)：“高技術(shù)的出現(xiàn)把社會(huì)推進(jìn)到了數(shù)學(xué)工程技術(shù)時(shí)代，高技術(shù)本質(zhì)上是數(shù)學(xué)技術(shù)?！睆哪撤N意義上講，大學(xué)生的數(shù)學(xué)受教育程度和水平直接關(guān)系到未來中國(guó)的國(guó)民綜合素質(zhì)、科技實(shí)力乃至綜合國(guó)力。當(dāng)今社會(huì)對(duì)于應(yīng)用型和復(fù)合型數(shù)學(xué)專業(yè)人才的需求業(yè)已達(dá)到了前所未有的程度。然而，大學(xué)數(shù)學(xué)教育的發(fā)展在很多方面跟不上時(shí)代前進(jìn)的步伐，有滯后甚至落后的現(xiàn)象，尤其是在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域里師生的功利思想嚴(yán)重限制了教育教學(xué)質(zhì)量。很多學(xué)生盲目地應(yīng)付考試、追求高分，死記硬背進(jìn)行程式化學(xué)習(xí)，機(jī)械地模仿在短期內(nèi)確實(shí)讓他們記住了規(guī)定步驟和計(jì)算方法，取得了學(xué)分。但是如果將時(shí)間拉長(zhǎng)，著眼于五年、十年甚至更長(zhǎng)的時(shí)間段，這部分學(xué)生由于數(shù)學(xué)思想、精神沒有理解、領(lǐng)悟和徹底吃透，腦子里數(shù)學(xué)的思維意識(shí)也沒有達(dá)到根深蒂固的程度。在這種情況下，一旦遇到實(shí)際問題往往會(huì)不知所措，無法舉一反三、觸類旁通，更談不上打破常規(guī)和開拓創(chuàng)新了。

如何與時(shí)俱進(jìn)地發(fā)展大學(xué)數(shù)學(xué)教育呢？早在1989 年，張景中院士在著作《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》中曾打了這樣一個(gè)十分貼切的比方：“學(xué)數(shù)學(xué)好像吃核桃。核桃仁美味而富有營(yíng)養(yǎng)，但要砸開才能吃到它。如若砸不得法，砸開了還很難吃到。數(shù)學(xué)教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育數(shù)學(xué)呢，則要研究改良核桃的品種，讓核桃更美味，更營(yíng)養(yǎng)，更容易砸開吃凈?！北砻嫔?，這段話給出了數(shù)學(xué)教育和教育數(shù)學(xué)的聯(lián)系與區(qū)別，其實(shí)它指明了今后大學(xué)數(shù)學(xué)教育的一個(gè)極其重要的發(fā)展方向，即在深化數(shù)學(xué)教育改革的過程中不斷推進(jìn)教育數(shù)學(xué)的成長(zhǎng)。通過改造甚至重構(gòu)大學(xué)數(shù)學(xué)自身的形態(tài)，來降低數(shù)學(xué)學(xué)科特有的抽象難度，讓數(shù)學(xué)教育變得易學(xué)宜教，從而提高大學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，減少功利性學(xué)習(xí)成分。對(duì)于具體實(shí)施層面上的教育數(shù)學(xué)，我們應(yīng)該立足于大學(xué)數(shù)學(xué)教育的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展，明確培養(yǎng)大學(xué)生“大數(shù)學(xué)觀”、數(shù)學(xué)模型意識(shí)以及創(chuàng)新能力的戰(zhàn)略目標(biāo)，以促進(jìn)大學(xué)生“用數(shù)學(xué)思考”和“在數(shù)學(xué)上行走”為抓手，以課堂教學(xué)范式改革為驅(qū)動(dòng)力，遵循教育規(guī)律和認(rèn)知規(guī)律，革新教學(xué)內(nèi)容和教育模式，設(shè)計(jì)好數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革進(jìn)程中的教育數(shù)學(xué)發(fā)展路線圖，通過激發(fā)大學(xué)生的個(gè)人潛能，提高他們的綜合素養(yǎng)。

從純粹數(shù)學(xué)到教育數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化是一項(xiàng)系統(tǒng)且深刻的教育變革，需要在教育思想、內(nèi)容、范式、培訓(xùn)等諸多環(huán)節(jié)上做出相應(yīng)的調(diào)整，此處我們著重闡述知識(shí)更新、范式改革以及過程考核這三個(gè)側(cè)重點(diǎn)。首先，教育數(shù)學(xué)要適應(yīng)人才培養(yǎng)要求，及時(shí)更新?lián)Q代教學(xué)內(nèi)容。大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)本身是動(dòng)態(tài)的和發(fā)展的，絕對(duì)不是一成不變的，哪怕對(duì)于那些放之四海而皆準(zhǔn)的真理也同樣需要隨著時(shí)代的發(fā)展不斷地豐富內(nèi)涵和拓展外延。大學(xué)數(shù)學(xué)課堂不僅要向大學(xué)生傳授既有的數(shù)學(xué)思想、工具和方法，更關(guān)鍵的是要展示最新的前沿研究成果，探討開創(chuàng)性的數(shù)學(xué)技術(shù)方案。大學(xué)數(shù)學(xué)教材改革要體現(xiàn)時(shí)代性、趣味性、直觀性、啟發(fā)性、技巧性、邏輯性以及簡(jiǎn)易性。同時(shí)，教學(xué)內(nèi)容的前瞻性、深刻性和思想性也正是培養(yǎng)時(shí)代需要的創(chuàng)新型數(shù)學(xué)人才的重要前提條件。在實(shí)踐中，我們要力爭(zhēng)打破“數(shù)學(xué)無用論”，集成優(yōu)秀教學(xué)模塊，弘揚(yáng)數(shù)學(xué)的多維價(jià)值。由于數(shù)學(xué)思想普遍滲透到應(yīng)用學(xué)科和交叉學(xué)科中，我們需要從中挖掘有用素材，補(bǔ)充經(jīng)典案例、文化背景、數(shù)學(xué)、模型、前沿成果和哲學(xué)觀點(diǎn)等知識(shí)到教材中，豐富大學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，開闊他們的學(xué)術(shù)視野。這里不妨舉幾個(gè)例子。一補(bǔ)充交叉學(xué)科的特色案例。如將經(jīng)濟(jì)學(xué)著名的生產(chǎn)要素最優(yōu)組合問題補(bǔ)充到微積分教材之中，假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)只依賴于勞動(dòng)投入量和資本投入量，而后兩者同時(shí)滿足特定成本方程。生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)者關(guān)心一定成本條件下的最大產(chǎn)量問題，它可以歸結(jié)為利用拉格朗日乘子法求解條件極值問題，這里極值理論幫助到工廠優(yōu)化配置生產(chǎn)要素。學(xué)生閱讀此案例自然會(huì)覺得數(shù)學(xué)理論的確是實(shí)實(shí)在在的有用，學(xué)習(xí)也不是“空對(duì)空”并且摸不著頭腦的。二、從哲學(xué)視角審視數(shù)學(xué)之美。計(jì)算機(jī)之父馮·諾依曼曾經(jīng)指出“微積分是近代數(shù)學(xué)中最偉大的成就”，它承載了海量文化信息，其中不乏令人贊嘆的奇思妙想和世代相傳的傳奇佳話，更有隨處可見人類思想的流淌，處處充斥著曲與直、變與不變、運(yùn)動(dòng)與靜止、有限與無限、局部與整體、精確與近似等等辯證關(guān)系。歷史上，兩位科學(xué)巨人牛頓和萊布尼茲共同發(fā)明了微積分基本定理，被后人稱為牛頓-萊布尼茲公式。該公式深刻地揭示了微分和積分的辯證統(tǒng)一關(guān)系，在微分學(xué)和積分學(xué)之間搭起了一座意義深遠(yuǎn)的橋梁，至此微分學(xué)和積分學(xué)合二為一，成為一個(gè)自封的、強(qiáng)大的科學(xué)體系。我們?cè)诮滩纳弦詡渥⒎绞浇忉尯沃^既對(duì)立又統(tǒng)一的辯證關(guān)系。一方面，微元經(jīng)過無限作和，從量變到質(zhì)變，不斷累積成為總量；另一方面，總量經(jīng)過無限細(xì)分，可以不斷地退化成微元。大學(xué)生看到這部分內(nèi)容會(huì)有一種“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此上中”的感覺，他們仿佛遠(yuǎn)遠(yuǎn)地站到“數(shù)學(xué)圈外”，正在以一種哲學(xué)觀點(diǎn)來欣賞數(shù)學(xué)之美，領(lǐng)路數(shù)學(xué)思想的博大精深和無窮魅力，熏陶數(shù)學(xué)情感和人文情懷，從而增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的再認(rèn)識(shí)、再理解和再領(lǐng)悟。三、傳承數(shù)學(xué)建模思想。建立量化模型是數(shù)學(xué)特有的觀察、思考、分析和處理實(shí)際問題的方法和手段。從人才培養(yǎng)的高度看待數(shù)學(xué)建模教育，及早幫助學(xué)生確立模型觀點(diǎn)并且接觸包括假設(shè)、建模、求解、解釋和驗(yàn)證在內(nèi)的基本建模方法，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力、合作精神、創(chuàng)新意識(shí)有著獨(dú)特的作用。如在談到第二個(gè)重要極限的應(yīng)用時(shí)，引入雅克比·貝努力連續(xù)復(fù)利模型。學(xué)習(xí)到這里，學(xué)生一定會(huì)感受得到：生活中隨處是數(shù)學(xué)，模型是用數(shù)學(xué)刻畫生活的語(yǔ)言和方式，學(xué)習(xí)建模也就是在體驗(yàn)生活。四、融入思政教育元素。如微積分的課程體系中蘊(yùn)含了嚴(yán)謹(jǐn)、理性、辯證、簡(jiǎn)潔、分明的最上層之美，具有天然的思想教育功能。從微分、積分、級(jí)數(shù)、微分方程等主要知識(shí)點(diǎn)中挖掘馬克思列寧主義思政元素并融入教材之中，在大思政教育背景下，講好中國(guó)數(shù)學(xué)家的故事，弘揚(yáng)中華數(shù)學(xué)文化，深化學(xué)生的生活感悟，補(bǔ)強(qiáng)隱性思政教育短板，幫助大學(xué)生塑造獨(dú)立、健康的人格和科學(xué)的、正確的人生觀、價(jià)值觀和世界觀，實(shí)現(xiàn)德育育人目標(biāo)。

其次，構(gòu)建生成性數(shù)學(xué)課堂，創(chuàng)新數(shù)學(xué)教學(xué)范式。伴隨著大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)內(nèi)容的重新整合，知識(shí)結(jié)構(gòu)變得更加開放，學(xué)習(xí)過程變得更加靈活和自由，課堂教學(xué)也更多地承載著激活大學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)、喚醒創(chuàng)新精神以及教會(huì)他們?nèi)绾巫灾鲗W(xué)習(xí)和獨(dú)立學(xué)習(xí)的教育職能。生成性課堂為師生提供了一個(gè)共建、共享、對(duì)話、協(xié)作、體驗(yàn)和創(chuàng)新的教學(xué)平臺(tái)，它不是傳統(tǒng)意義上教和學(xué)的簡(jiǎn)單加法，而是二者的有機(jī)融合。該課堂教學(xué)范式致力于培養(yǎng)大學(xué)生的思辨能力，注重啟發(fā)和引導(dǎo)，提倡突破現(xiàn)存觀念和模式的限制，同時(shí)鼓勵(lì)質(zhì)疑、反思、合作和創(chuàng)新。在這種學(xué)習(xí)氛圍中，教師和大學(xué)生的主體性地位互換。教師從知識(shí)傳授者逐漸轉(zhuǎn)變成為學(xué)習(xí)對(duì)話者和思維啟迪者，學(xué)生從被動(dòng)接受者逐漸轉(zhuǎn)變成為主動(dòng)研究者。在具體操作層面上，我們的主要想法包括以下四個(gè)方面。一、廣泛使用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)軟件和現(xiàn)代多媒體技術(shù)，提高教學(xué)內(nèi)容的可視性和生成性。在很多情況下，數(shù)學(xué)的難度源自抽象，課堂上如果能夠使用數(shù)學(xué)軟件繪制出圖形甚至制作出動(dòng)畫，邊講邊演示更直觀、也更生動(dòng)。學(xué)習(xí)者往往會(huì)自然而然地置身其中概括和歸納出相應(yīng)的規(guī)律、公式和結(jié)論。數(shù)學(xué)教學(xué)上應(yīng)用幾何直觀勝過千言萬語(yǔ)，可以達(dá)到事半功倍的良好效果。二、重視傳承數(shù)學(xué)思想方法為主的文化信息。由于微積分課程并非單純介紹知識(shí)，而是非常重視思維訓(xùn)練尤其是演繹分析與邏輯推理的一門課程。因此，在《微積分》課程的教學(xué)中，教師需要明確其中重要的數(shù)學(xué)思想、精神實(shí)質(zhì)并交代給學(xué)生，如使他們了解局部線性化的思想、會(huì)用微元法解決實(shí)際問題、理解微分方程建模思想等等。三、數(shù)學(xué)課程的課堂教學(xué)方式從單一的講授式逐漸轉(zhuǎn)向案例式、類比式、啟發(fā)式以及討論式等多種教學(xué)方式的綜合運(yùn)用。接下來，我們順次介紹幾種教學(xué)方法及其應(yīng)用。（一）案例教學(xué)法。按照高等院校人才培養(yǎng)要求，在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中要凸顯服務(wù)所學(xué)專業(yè)的特點(diǎn)。在經(jīng)管專業(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)，提倡從解決經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域中的實(shí)際問題入手，建立和求解數(shù)學(xué)模型。這些數(shù)學(xué)模型包括導(dǎo)數(shù)經(jīng)濟(jì)意義：邊際和彈性以及最值理論、級(jí)數(shù)理論在經(jīng)濟(jì)與管理問題中的應(yīng)用等。（二）類比教學(xué)法。在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中，教師要關(guān)注各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，注重類比引導(dǎo)，使學(xué)生理解新舊知識(shí)的區(qū)別與聯(lián)系，培養(yǎng)他們觀察問題、思考問題、分析問題以及解決問題的能力。如將二重積分的定義和性質(zhì)與定積分的定義和性質(zhì)作類比，找出相同點(diǎn)與差異點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在比較中思索，加深對(duì)二重積分知識(shí)的理解和記憶。（三）啟發(fā)式教學(xué)法。在課堂教學(xué)中，教師要多注意激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)積極性，多以啟發(fā)性語(yǔ)言展開講解，給學(xué)生留出一定的想象空間，引導(dǎo)他們發(fā)揮想象力積極思考，不斷探索。（四）討論式教學(xué)法。以問題驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)，通過提出問題，再分析問題的本質(zhì)，一步一步探討解決問題的思路，最后給出解決問題的方法。還原科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考、應(yīng)用和創(chuàng)新能力。四、基于“把課堂還給學(xué)生”的理念，將研究生數(shù)學(xué)教育中普遍采用的“自主式”教學(xué)模式局部地嵌入到本科生數(shù)學(xué)課堂上來，即實(shí)施 “半自主式”的教學(xué)模式?！鞍胱灾魇健蹦Ｊ阶屨J(rèn)識(shí)過程中的必不可少的質(zhì)疑、理解、反思的鏈條得到修復(fù)，學(xué)生可以更大地發(fā)揮主觀能動(dòng)性，真正成為課堂教學(xué)活動(dòng)的“主角”，他們可以大膽的質(zhì)疑，可以展開辯論，可以憑興趣交流，甚至可以挑戰(zhàn)教師的權(quán)威。而教師只負(fù)責(zé)設(shè)計(jì)教學(xué)方案，把握教學(xué)方向，測(cè)評(píng)及教學(xué)成效，總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。相較于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)，教師功能從單一的“授業(yè)”逐步轉(zhuǎn)變成“傳道”“授業(yè)”“解惑”兼而有之。“傳道”即“授人以漁”，傳授學(xué)生學(xué)習(xí)的能力和方法，“授業(yè)”只教授給學(xué)生“不教不能懂”的知識(shí)點(diǎn)，“解惑”包括普通的答疑和布置帶有啟發(fā)性的習(xí)題。事實(shí)上，這種模式寓教于樂，既鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又深化了他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和領(lǐng)悟。同時(shí)，教學(xué)相長(zhǎng)也直接促進(jìn)了教師的專業(yè)成長(zhǎng)。

最后，強(qiáng)調(diào)大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)效果的過程性考核，科學(xué)合理建立、設(shè)計(jì)和優(yōu)化評(píng)價(jià)指標(biāo)。對(duì)于如何保證生成性課堂活動(dòng)的教學(xué)質(zhì)量問題，是否需要重新建立一套行之有效的評(píng)價(jià)體系，還是只需要簡(jiǎn)單地“復(fù)制”常規(guī)的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)量化指標(biāo)體系？答案是顯而易見的，我們只能不斷地改造、完善和更新當(dāng)前的評(píng)價(jià)體系，使之更加適應(yīng)新的教學(xué)形態(tài)。我們所要確定的評(píng)價(jià)體系一定不是淡化學(xué)生對(duì)于大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握程度，而是強(qiáng)化了監(jiān)測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)的即時(shí)性和準(zhǔn)確度。從評(píng)價(jià)維度上看，則應(yīng)當(dāng)更傾向于諸如學(xué)習(xí)興趣、過程體驗(yàn)以及創(chuàng)新能力等在內(nèi)的內(nèi)生和成長(zhǎng)性項(xiàng)目。考慮到數(shù)學(xué)學(xué)科自身的特點(diǎn)，通過與學(xué)生進(jìn)行私下溝通和交流，感受他們真實(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài)，診斷學(xué)習(xí)上存在的不足和問題，在教學(xué)理念、內(nèi)容、形式和方法上及時(shí)做出相應(yīng)的調(diào)整，提出個(gè)性化的教學(xué)整改方案是十分必要的。作為教育工作者，我們不能僅僅關(guān)注學(xué)習(xí)者的認(rèn)知因素，而應(yīng)當(dāng)更加重視非認(rèn)知因素的作用和影響。比如我們需要盡力幫助學(xué)業(yè)上遇到困難的學(xué)生找到自信心并迎頭趕上。之前有關(guān)于教育數(shù)學(xué)的研究已經(jīng)表明：這種新的教學(xué)形態(tài)更容易被學(xué)生所接受，而學(xué)習(xí)成績(jī)的提高和能力素質(zhì)的增強(qiáng)與之均存在顯著的正相關(guān)性。然而，現(xiàn)實(shí)中受教育者的個(gè)體差異仍然是一條不可忽視的客觀因素，我們不能期望所有學(xué)生都能從教育數(shù)學(xué)中獲益，教育數(shù)學(xué)也只是提供了一條通向數(shù)學(xué)殿堂的道路，同學(xué)們可以沒有障礙地邁出前進(jìn)的第一步。我們完全有理由認(rèn)為衡量教學(xué)效果的好壞的標(biāo)準(zhǔn)中最基本的一條，不是天賦高低，不是勤奮程度，不是能力強(qiáng)弱，而是學(xué)生頭腦中是否已經(jīng)初步形成了數(shù)學(xué)思想意識(shí)。

綜上，在中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革進(jìn)程中，教育數(shù)學(xué)研究是一項(xiàng)需要大量投入、不斷試錯(cuò)并且探索前行的關(guān)鍵課題，其研究意義應(yīng)該獲得社會(huì)各界特別是數(shù)學(xué)教育界的充分重視。無論是從探討中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教育理論的專業(yè)角度，還是站在服務(wù)于未來國(guó)家社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展大局的高度，當(dāng)代數(shù)學(xué)教育工作者均有責(zé)任、有義務(wù)深耕于教育數(shù)學(xué)領(lǐng)域，系統(tǒng)地開展理論研究與實(shí)證分析，共同攜手、奮力開創(chuàng)中國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)教育的嶄新時(shí)代。