有限粗漸近性質(zhì)C-分解復(fù)雜度

李國強

（貴州財經(jīng)大學(xué) 數(shù)統(tǒng)學(xué)院,貴陽 550025）

0 引言

文獻[1]介紹了度量空間中的粗不變量: 有限漸近性質(zhì)C-分解復(fù)雜度,以下簡稱有限APC-分解復(fù)雜度.有限分解復(fù)雜度[2]和漸近性質(zhì)C (Asymptotic Property C,APC)[3]蘊含著有限APC-分解復(fù)雜度,而有限APC-分解復(fù)雜度又蘊含著性質(zhì)A[4].本文的目的在于建立粗范疇意義下的有限APC-分解復(fù)雜度.

為了描繪度量空間的粗幾何特征,文獻[5]介紹了度量空間中的粗結(jié)構(gòu).文獻[6]對群的粗結(jié)構(gòu)進行了研究.結(jié)合文獻[7]中對粗性質(zhì)C和粗分解復(fù)雜度的介紹,在粗結(jié)構(gòu)的意義下,可以引入有限APC-分解復(fù)雜度的概念,以便更好地理解這種性質(zhì).

1 準(zhǔn)備知識

1.1 有限APC-分解復(fù)雜度

文獻[1]結(jié)合有限分解復(fù)雜度[8-9]的分解思想和Dranishnikov 的漸近性質(zhì)C[10]給出了有限APC-分解復(fù)雜度的概念.下面回顧文獻[1]中有限APC-分解復(fù)雜度的定義及相關(guān)性質(zhì).本文延續(xù)文獻[1]中所用的基本符號.

設(shè)(X,d)是一度量空間,r是一正實數(shù),U是X的一個子度量空間族.如果對任意U,V∈U,U≠V,且對任意x∈U,y∈V,總有d(x,y)＞r,則稱U是r-不相交的.

1.2 有限粗APC-分解復(fù)雜度

設(shè)X是一個集合,E和F是X×X的子集.定義E和F的復(fù)合(記為E?F)為

對任意n≥1,令

E的逆為

定義 3[5]設(shè)X是一個集合,E是X×X的一族子集,如果E滿足下面5 個條件:

(1) 如果E∈E,F?E,則F∈E;

(2) 如果Ei∈E,i=1,2,···,n,則

(3) 對角線△X:={(x,x)∈X ×X|x∈X}∈E;

(4) 如果E∈E,則E-1∈E;

(5) 如果E,F∈E,則E?F∈E.

則稱E為X上的粗結(jié)構(gòu),E中的元素稱為控制集,(X,E) 稱為粗空間.

如果控制集E滿足E=E-1,則稱E是對稱的.現(xiàn)在考慮粗空間若子集B滿足B×B∈E,則稱B有界.設(shè)U是X的一個子集族,如果,則稱U是一致有界的.對于一個控制集E,如果對任意A,B∈U,A≠B,有 (A×B)∩E=?,則稱U為E-不相交的.對任意x∈X,定義E[x]:={y∈X|(y,x)∈E}.當(dāng)n=0 時,規(guī)定En=△.

下面的定義可參考文獻[5].設(shè) (X,E)和(Y,F)是兩個粗空間,f:X→Y是一個映射.如果對X中的任意控制集E∈E,有

則稱f是擴張的.如果對任意有界集B?Y,f-1(B) 在X中有界,則稱f是恰當(dāng)?shù)?如果f既是擴張的又是恰當(dāng)?shù)?則稱f是粗映射.如果f是粗映射,且對任意F∈F,有

則稱f為粗一致嵌入.設(shè)映射f,f′:X→Y,如果{(f(x),f′(x))∈Y×Y|x∈X}∈F,則稱f和f′是相近 的.對于空間X和Y,如果存在兩粗映射f:X→Y和g:Y→X,使得f?g和g?f分別與Y和X上的恒等映射相近,則稱X和Y是粗等價的.

下面把有限APC-分解復(fù)雜度的概念由度量空間的范疇移植到Roe 的粗空間范疇上.

定義 4設(shè)X和Y是粗空 間 (Z,E) 的兩個 粗子空間族,L={L1,L2,···}∈EN.如果存 在整數(shù)k,使得對每個X∈X,存在Y的一列子集族U1,U2,···,Uk,滿足每個Ui是Li-不相交的,且,則稱X在Y上是一致L-分解的.把“X在Y上是一致L-分解的”簡記為

定義 5設(shè)是粗空間 (X,E) 的所有一致有界子集族的全體.對每個序數(shù)α＞0,令

關(guān)于有限粗APC-分解復(fù)雜度,有下面的事實.

引理 2設(shè)X是粗空 間 (Z,E) 的一族 粗子空 間,α和β是兩個序數(shù).如 果α＞β,X∈,則X∈

特別地,度量空 間 (X,d)是粗空 間,X×X的子集E是控制 集當(dāng)且 僅當(dāng)存 在r＞0,使得E={(x,y)∈X ×X|d(x,y)≤r}.度量空間 (X,d) 作為粗空間,它的粗結(jié)構(gòu)稱為有界粗結(jié)構(gòu).下面將說明度量空間 (X,d) 具有有限APC-分解復(fù)雜度當(dāng)且僅當(dāng)X作為粗空間具有有限粗APC-分解復(fù)雜度.這樣,在某種意義上用“正確”的方式定義了有限粗APC-分解復(fù)雜度.

性質(zhì) 1設(shè) (X,d)是一個度量空間,E是作為粗空間X的粗結(jié)構(gòu).則 (X,d) 具有有限APC-分解復(fù)雜度當(dāng)且僅當(dāng)(X,E) 具有有限粗APC-分解復(fù)雜度.

證明先假設(shè) (X,E) 具有有限粗APC-分解復(fù)雜度,且{X}∈α.對任意R={R1,R2,···}∈RN,考慮一列控制集L={L1,L2,···},其中Li={(x,y)∈X ×X|d(x,y)≤Ri}.由于{X}∈α,故存在β＜α和Y∈使得,即存在整數(shù)k和Y的一列子集族U1,U2,···,Uk,使得每個Ui是Li-不相交的,且由于Ui是Li-不相交的,所以對任意A,B∈Ui,A≠B,有(A×B)∩Li=?.那 么,如果a∈A,b∈B,則 有 (a,b)∈/Li.因此,d(a,b)＞Ri,這表 明Ui是Ri-不 相交的.所 以,(X,E)具有有限粗APC-分解復(fù)雜度,故 (X,d) 具有有限APC-分解復(fù)雜度.

反之,假設(shè) (X,d) 具有有限APC-分解復(fù)雜度,且{X}∈α.L={L1,L2,···}∈EN是一列控制集,定義R={R1,R2,···}∈RN,其中

由有界粗結(jié)構(gòu)的定義知,每個Ri都是有限的.由于{X}∈α,則存在β＜α和Y∈β,使得,即存在整數(shù)k和Y的一列子集族U1,U2,···,Uk,滿足每個Ui是Ri-不相交的,且X=i Ui.為 了完成證明,需 要證明Ui是Li- 不相交 的.假設(shè)A,B∈Ui,A≠B,a∈A,b∈B,且 (a,b)∈Li,則有d(a,b)≤Ri,這和Ui是Ri-不相交 的事實 相矛盾.所 以,當(dāng)A,B∈Ui,A≠B時,有(A×B)∩Li=? .因此,如果 (X,d) 具有有限APC-分解復(fù)雜度,則 (X,E) 具有有限粗APC-分解復(fù)雜度.

2 有限粗APC-分解復(fù)雜度的保持性質(zhì)

本章證明有限粗APC-分解復(fù)雜度是粗幾何不變量且關(guān)于取子集是保持的,再給出有限粗APC-分解復(fù)雜度的纖維引理.由此,有限粗APC-分解復(fù)雜度在直積運算下是封閉的.

下面證明有限粗APC-分解復(fù)雜度在子集下的遺傳性.

性質(zhì) 2設(shè) (X,E)是粗空間.如果Y?X,Y繼承X上的粗結(jié)構(gòu),且X具有有限粗APC-分解復(fù)雜度,則Y也具有有限粗APC-分解復(fù)雜度.

證明假設(shè){X}∈α,證明{Y}∈α.設(shè)L={L1,L2,···}∈EN,則存在β＜α和Y∈β,使得,即存在整數(shù)k和Y的一列子集族U1,U2,···,Uk,滿足每個Ui是Li-不相交的,且定義

定理 1有限粗APC-分解復(fù)雜度是粗不變量.

證明設(shè) (X,E)和(Y,F)是兩個粗等價 的粗空間.下面證明 如果映射f:X→Y是粗 一致嵌入,且{Y}∈α,則{X}∈α.

首先假設(shè){Y}∈0,即Y有界,Y×Y∈F.因為,f是粗一致嵌入,所以,得

因為Ui是Ki-不相交的,這樣就得到Vi是Li-不相交的,注意到α+γ＜α+β,所以f-1(Y)∈α+β.

性質(zhì) 3設(shè) (X,E)和(Y,F)是兩個粗空間,f:X→Y是擴張映射.假設(shè)存在α,使得對Y的任意一個一致有界子集族V,有f-1(V)∈α,則如果存在β使得{Y}∈β,那么{X}∈α+β.

證明由引理3 可知此結(jié)論成立.

為了證明有限粗APC-分解復(fù)雜度在積運算下是封閉的,可利用Grave 在文獻[11]中定義的標(biāo)準(zhǔn)有界粗結(jié)構(gòu).如果 (Xi,Ei)是一列有限粗空間族,i=1,2,···,k,其乘積空間X1×X2×···×Xk的粗結(jié)構(gòu)如下:

其中,pi記作X1×X2×···×Xk的第i個因子的投影.

引理 4設(shè) (X,E)和(Y,F)是兩個粗空間,B是X中的有界子集,且B繼承X中的粗結(jié)構(gòu),B×Y是乘積粗空間,則B×Y與Y粗等價.

證明考慮b0∈B,定義映射g:Y→B×Y為g(y)=(b0,y) .顯然,g是粗一致嵌入.定義f:B×Y→Y為f(b,y)=y.下面說明f也是粗一致嵌入.由上述粗空間乘積的定義知,f是擴張的.另外,f是恰當(dāng)?shù)?事實上,如果C?Y是有界的,則有f-1(C)=B×C在乘積粗結(jié)構(gòu)中也是有界的.令K∈F,因為,B×B∈E,所以,有 (p1×p1)(f-1(K))=B×B∈E和(p2×p2)(f-1(K))=K∈F.這樣就得到f-1(K)是粗空間X×Y中的控制集.因此,f是粗一致嵌入.

再證明f?g和g?f分別與Y和B×Y的恒等映射相近.顯然,f?g:Y→Y本身就是恒等映射.g ?f:B×Y→B×Y與恒等映射相近,這是因為

則 (p1×p1)({((b0,y),(b,y))|(b,y)∈B×Y})和(p2×p2)({((b0,y),(b,y))|(b,y)∈B×Y}) 均為控制集,所以,式(1)中的集合為乘積粗空間B×Y中的控制集.

性質(zhì) 4設(shè) (X,E)和(Y,F)是兩個粗空間,Z=X ×Y是乘積粗空間.如果X,Y具有有限粗APC-分解復(fù)雜度,則Z也具有有限粗APC-分解復(fù)雜度.

證明假設(shè){X}∈α,{Y}∈β.令f:Z→X為投影映射.注意到f是擴張映射.假設(shè)V是X中一族一致有界的子集族,由定義知{V ×V|V∈V}∈E.如果A∈f-1(V),則存在V∈V,使得A=V ×Y.由引理4 知,每個A∈f-1(V) 與Y都是粗等價的.這樣由性質(zhì)3 知{Z}∈α+β.因此,Z具有有限粗APC-分解復(fù)雜度.

3 有限粗APC-分解復(fù)雜度與粗性質(zhì)A

本章借助文獻[1]中的思想,在粗結(jié)構(gòu)的意義下證明具有有限粗APC-分解復(fù)雜度的粗空間具有粗性質(zhì)A,用文獻[7]中的技巧定義粗空間上的度量.

引理 5設(shè) (X,E)是粗空 間,E是E中的一 個對稱 控制集.定義映 射D:X ×X→Z∪{+∞}為D(x,y)=min{k≥0|(x,y)∈Ek},則D是一個度量.

在度量空間的意義下,性質(zhì)A 有許多種等價定義[12].在文獻[7]中,作者利用l1(X) 的映射的存在性給出了性質(zhì)A 在粗空間下的定義.設(shè) (X,E)是粗空間，ξ是X到Banach 空間的映射，記X中的元素x在ξ下的象為ξx.

定義 6設(shè) (X,E)是粗空間,若對任意ε＞0和任意F∈E,存在映射ξ:X→l1(X),使得

(1)對任意x∈X,有‖ξx‖=1 ;

(2)對任意 (x,y)∈F,有

(3)存在S∈E使得對每個x∈X,s uppξx ?S[x] .則稱 (X,E) 具有粗性質(zhì)A.

定義 7設(shè)ξ:X→l1(X)是一映 射,若對任 意k∈N,(x1,x2)∈X且D(x1,x2)≤k,總有,則稱ξ具有?-變差.

定義 8若映射ξ:X→l1(X) 滿足: 對任意x∈X,有‖ξx‖=1,則稱ξ是標(biāo)準(zhǔn)的.

定義 9設(shè) (X,E)是粗空間,ξ:X→l1(X)是一映射,E是E中的一個對稱控制集.若存在n∈N,使得對每個x∈X,有 s uppξx En[x],則稱ξ是n-粗局部支撐.

下面,利用上述的定義給出粗性質(zhì)A 的另外一種敘述方式.

定義 10設(shè) (X,E)是粗空 間,E是E中的一 個對稱 控制集.若對任 意?＞0,存在映射ξ:X→l1(X)使得:

(1)ξ是標(biāo)準(zhǔn)的;

(2)ξ具有?-變差;

(3) 存在n∈N,使得ξ是n-粗局部支撐.則稱X具有粗性質(zhì)A.

引理6設(shè)(X,E)是粗空間,固定E中的一個對稱控制集E.若ξi:X→l1(X)(i∈I,I為指標(biāo)集)具有?i-變差,則具有變差.

引理 7設(shè) (X,E)是粗空間,固定E中的一個對稱控制集E,?＞0 .映射ξ:X→l1(X) 具有?-變差,且對任意的x∈X,有‖ξx‖≥1 .若記映射是標(biāo)準(zhǔn)的且具有 2?-變差.

引理 8設(shè) (X,E)是粗空間,固定E中的一個對稱控制集E,U?X.若ξ:U→l1(U)是標(biāo)準(zhǔn)的且具有?-變差的m-粗局部支撐映射,對任意的n∈N,定義N(U,n)={x∈X|D(x,U)≤n},則存在粗局部支撐映射:X→l1(X),滿足:

(1) 對任意x∈X,D(x,U)＞n,有

(2) 對任意x∈U,有

證明定義映射α:X→[0,1]為

則α是李普希茨映射.事實上,若x,y∈U或者x,y∈XN(U,n),則

若x,y∈N(U,n)U,則

若x∈XN(U,n),y∈N(U,n)U,則

則可以得到一個標(biāo)準(zhǔn)的且具有?-變差的 (m′+n′)-粗局部支撐映射ξ:X→l1(X) .

定理 3設(shè) (X,E)是粗空間,若X具有有限粗APC-分解復(fù)雜度,則X具有粗性質(zhì)A.

證明假設(shè)則對任意L∈EN,存在β＜α和Y,使得.注意到任何一致有界族都具有一致粗性質(zhì)A,由歸納法假設(shè)可知,Y具有粗性質(zhì)A.由定理 2 可知,{X}具有一致粗性質(zhì)A,則X具有粗性質(zhì)A.

4 粗性質(zhì)C和粗分解復(fù)雜度

定義 11[7]設(shè) (X,E)是粗空間.若對任何一列控制集E1?E2?E3?···,存在整數(shù)n和X的有限子集族序列U1,U2,···,Un,使得

(2) 每個Ui是一致有界的;

(3) 每個Ui是Ei-不相交的.則稱 (X,E) 具有粗性質(zhì)C.

定理 4設(shè) (X,E)是粗空間,則X具有粗性質(zhì)C 當(dāng)且僅當(dāng){X}∈.

證明若X具有粗性質(zhì)C.對任意L∈EN,存在整數(shù)n和X的有限子集族序列U1,U2,···,Un,該序列滿足定義4 中的條件.令Y={U|U∈Ui,i=1,2,···,n},則Y是一致有界的,即Y∈.注意到,則有

反過來,如果{X}∈C1,對任意一列控制集L1?L2?L3?···,令L={L1,L2,L3,···},則存在使得,顯然,X滿足粗性質(zhì)C 的條件.

設(shè) (X,E)是粗空間.Y是X的一族粗子空間,L∈E是一控制集.稱X在Y上是L-分解的,如果存在分解

設(shè)X和Y是粗空間 (Z,E) 的兩族粗子空間,L是一控制集.如果每個X∈X在Y上是L-分解的,則稱X在Y上是L-分解的.

一族粗空間Y是一致有界的,如果是控制集.另外,可以把一個粗空間X的分解理解為一粗空間族{X}的分解.對于粗空間X,做下面一個粗分解游戲: ①玩家1 給出一個控制集L1,玩家2 給出一族粗空間Y1,使得{X}在Y1上是L1-分解的;② 玩家1 給出一個控制集L2,玩家2 給出一族粗空間Y2,使得Y1在Y2上是L2-分解的.這個游戲按這種方式一直玩下去,直到玩家2 勝出為止.玩家2 勝出是指存在k∈N,使得玩家2 能夠在一族一致有界的粗空間上分解Yk-1.

定義 12[7]設(shè) (X,E)是粗空間.如果玩家2 能在對{X}的粗分解游戲當(dāng)中勝 出,則稱X具有有 限粗分解復(fù)雜度.

定義 13[7]設(shè) (X,E)是粗空間.如果對任意一列控制集L1?L2?···,存在X的有限粗子空間族Y1,Y2,···,Yk,使得,且Yk一致有界,則稱X具有直有限粗分解復(fù)雜度.

設(shè) (X,E)是粗空間,Y是X的一族粗子空間.L∈E是一個控制集,d是一個正整數(shù).如果

使得對每個i=1,2,···,d,有,

定義 14[7]設(shè) (X,E)是粗空間.如果玩家2 能在對{X}的弱粗分解游戲中勝 出,則稱X具有有 限弱粗分解復(fù)雜度.

定理 5設(shè) (X,d)是一度量空間,E是X上的有界粗結(jié)構(gòu),則以下結(jié)論成立:

(1) (X,d) 具有有限弱分解復(fù)雜度當(dāng)且僅當(dāng)(X,E) 具有有限弱粗分解復(fù)雜度;

(2) (X,d) 具有有限分解復(fù)雜度當(dāng)且僅當(dāng)(X,E) 具有有限粗分解復(fù)雜度;

(3) (X,d) 具有直有限分解復(fù)雜度當(dāng)且僅當(dāng)(X,E) 具有直有限粗分解復(fù)雜度.

證明(1) 首先,假設(shè) (X,d) 具有有限弱分解復(fù)雜度.當(dāng)玩家1 任給出一控制集L1和正整數(shù)d1時,定義

由 于 (X,d) 具有有 限弱分 解復(fù)雜 度,故存在X1,使得X在X1上是 (R1,d1)-分解的,即有其中Uj ?X1且Uj是R1-不相交的.

下面需要證明Uj是L1-不相交的,即對任意A,B∈Uj,A≠B,有 (A×B)∩L1=? .假設(shè)a∈A,b∈B,(a,b)∈L1,則有d(a,b)≤R1,這與Uj是R1-不相交矛盾.所以,X在X1上是 (L1,d1)-分解的.

當(dāng)玩家1 給出控制集Li和正整數(shù)di時,定義

則存在Xi,使得Xi-1在Xi上是 (Ri,di)-分解的.類似地,可以得到Xi-1在Xi上是 (Li,di)-分解的.由于(X,d) 具有有限弱分解復(fù)雜度,經(jīng)過有限步之后,分解游戲結(jié)束.不妨設(shè)在第k步,存在一致有界子空間族Xk,使得Xk-1在Xk上是(Rk,dk)-分解的.同樣地,Xk-1在Xk上是(Lk,dk)-分解的.

現(xiàn)在需要證明Xk是粗一致有界的.事實上,具有一致有界的直徑,即有,則

即△Xk∈E.所以,(X,d) 具有有限弱分解復(fù)雜度,則 (X,E) 具有有限弱粗分解復(fù)雜度.

反過來,假設(shè) (X,E) 具有有限弱粗分解復(fù)雜度.當(dāng)玩家1 任給R1＞0和正整數(shù)d1時,定義一控制集L1:

由 于(X,E)具有有限粗弱分解復(fù)雜度,故存在X1,使得X在X1上是 (L1,d1)-分解的,即有X=其中Uj?X1且Uj是L1-不相交的.

下面需 要證明Uj是R1-不 相交,即對 任意A,B∈Uj,A≠B,有d(A,B)≥R1.事 實上,對任意A,B∈Uj,A≠B,有 (A×B)∩L1=? .所以,若a∈A,b∈B,則 (a,b)∈/L1,即有d(a,b)＞R1.這樣,得到Uj是R1-不相交的.

當(dāng)玩家1 給出Ri＞0和正整數(shù)di時,定義

則存在Xi使得Xi-1在Xi上是 (Li,di)-分解 的,類似地,可以得到Xi-1在Xi上是 (Ri,di)-分解的.由于(X,E) 具有有限粗弱分解復(fù)雜度,經(jīng)過有限步之后,粗分解游戲結(jié)束.不妨設(shè)在第k步,存在粗一致有界子空間族Xk,使得Xk-1在Xk上是 (Lk,dk)-分解的.同樣地,Xk-1在Xk上是 (Rk,dk)-分解的.由于Xk是粗一致有界的,故.則有

因此,Xk是度量一致有界的.這樣就證明了 (X,E) 具有有限弱粗分解復(fù)雜度,則 (X,d) 具有有限弱分解復(fù)雜度.

(2) 在(1)中取每個di=2 就得到了(2)的證明.

(3)首先,假 設(shè) (X,d) 具有直 有限分 解復(fù)雜 度.L={L1,L2,L3,···}是一列 控制集,其中L1?L2?L3?···.對每個i,定義

由有界粗結(jié)構(gòu)的定義知,每個Ri是有限的,且有R1≤R2≤R3≤···.另一方面,令R1≤R2≤R3≤···是一列正數(shù),定義

得到L1?L2?L3?···,L={L1,L2,L3,···}是一列控制集.剩下的證明與(1)的證明思想是一樣的,這里不再贅述.證畢.