一道高考解析幾何題引發(fā)的頭腦風(fēng)暴
——探究圓錐曲線中定點(diǎn)、定值之間的微妙關(guān)系*

胡蓓蓓 (江蘇省無錫市市北高級(jí)中學(xué) 214000)

今年新高考全國I卷的解析幾何大題讓人頗感熟悉，筆者在二輪復(fù)習(xí)備考中，就曾以2020年新高考全國I卷的解幾壓軸題為引，在課堂上借助思維導(dǎo)圖，組織了一場(chǎng)關(guān)于“探究圓錐曲線中定點(diǎn)、定值之間微妙關(guān)系”的頭腦風(fēng)暴，帶領(lǐng)學(xué)生大膽猜想、驗(yàn)證，師生共同經(jīng)歷定點(diǎn)、定值問題的“前世今生”，從而深刻理解了這類經(jīng)典問題的來龍去脈．

1 問題提出

綜觀近年的高考試卷，圓錐曲線與方程的考點(diǎn)變化不大，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，同時(shí)需要學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)選擇合理的路徑，快速、準(zhǔn)確解題．高三復(fù)習(xí)時(shí)要強(qiáng)化這方面能力的訓(xùn)練,如果學(xué)生能夠?qū)馕鰩缀蔚牡湫徒Y(jié)論有所了解，常能快速捕捉到解題關(guān)鍵，找到解題思路，順利攻破壓軸題．

(1)求橢圓C的方程；

(2)點(diǎn)M,N在橢圓C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足，證明：存在定點(diǎn)Q，使得DQ為定值．

作為高考考場(chǎng)上的壓軸題，如何最完美地完成這道題目是我們平時(shí)學(xué)習(xí)過程中需要共同探尋的，而如何完美地給學(xué)生呈現(xiàn)這道高質(zhì)量的高考?jí)狠S題，讓他們能夠更好地理解題意，以一題通百解，則正是我們?yōu)槿藥熣邞?yīng)該去思考的．

2 問題分析

引例已知A,B為拋物線y2=4x上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足以AB為直徑的圓過頂點(diǎn)．求證：直線AB過定點(diǎn)．

師生(分析)：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，易得過定點(diǎn)；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)lAB:y=kx+m，要證明直線過定點(diǎn)，解題目標(biāo)就是設(shè)法建立k和m的關(guān)系，從而尋找到條件中的唯一等量關(guān)系——垂直．(板書詳細(xì)解題過程，略)

師：接下來請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成2007年的山東高考解幾題——

橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

師：如果我們把橢圓方程一般化，定點(diǎn)還存在嗎？

學(xué)生如醍醐灌頂：原來這個(gè)結(jié)論是可以一般化的．學(xué)生受到啟發(fā)，進(jìn)一步思考：如果是雙曲線，是不是也有同樣的結(jié)論呢？教師首先肯定了學(xué)生的想法，繼而鼓勵(lì)他們繼續(xù)猜想．

師：同學(xué)們，類比、歸納、猜想都是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常重要的思維方式，我們要學(xué)會(huì)利用已有的一些知識(shí)進(jìn)行大膽猜想，這樣我們就可以獲得更多更新的知識(shí)，而這正是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的體現(xiàn)．同學(xué)們?nèi)绻谄綍r(shí)就能注意這樣去思考、解決問題，我相信大家的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一定會(huì)越來越好，解決問題的能力也會(huì)越來越強(qiáng)！在猜想過程中，同學(xué)們可以橫向、縱向地進(jìn)行比較猜想，也可以正向、逆向進(jìn)行思考，還可以從特殊到一般地進(jìn)行歸納猜想，等等．好了，現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們插上思考的翅膀，一起盡情地猜想吧！

3 問題推廣

猜想1 若在圓錐曲線頂點(diǎn)處相互垂直的兩條直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，則直線AB必過定點(diǎn)．

猜想2 若圓錐曲線任意點(diǎn)處相互垂直的兩條直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，則直線AB必過定點(diǎn)．

猜想3 在圓錐曲線任意點(diǎn)處作兩條直線分別交圓錐曲線于A,B兩點(diǎn)，若斜率之積為定值，則直線AB必過定點(diǎn)．

猜想4 在圓錐曲線任意點(diǎn)處作兩條直線分別交圓錐曲線于A,B兩點(diǎn)，若直線AB過定點(diǎn)，則兩條直線的斜率之積為定值．

……

板書(即直線過定點(diǎn)?斜率之積為定值)

師：恭喜同學(xué)們，你們的猜想都是正確的！剛才我們從特殊到一般進(jìn)行猜想，當(dāng)然也可以尋找特殊情況來驗(yàn)證自己的猜想是否正確，如猜想3．類比圓的圖象性質(zhì)，橢圓的結(jié)論便一目了然(圖1)．

圖1

請(qǐng)同學(xué)們課后完成兩個(gè)作業(yè)：(1)運(yùn)用今天學(xué)習(xí)到的解析幾何通法證明一下自己的猜想或者其他同學(xué)的猜想；(2)從我們做過的高考真題或模擬題中，尋找一道與我們猜想的結(jié)論一致的解析幾何題，并把它解答出來，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)原來我們同學(xué)也是可以做命題老師的，而那些神秘的高考題，其實(shí)就是我們平時(shí)遇到的問題，并不可怕.

最后老師也來猜想一個(gè)結(jié)論：如果我們把斜率之積改為斜率之和，又會(huì)有怎樣的結(jié)論呢？還是直線過定點(diǎn)嗎？

我們同樣可以遵循前面的研究方法繼續(xù)探究.先從特殊的斜率之和為0的情況開始思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線并不過定點(diǎn)，但是這條直線的斜率卻是一個(gè)定值．證明方法如圖2所示．

圖2

這正是解析幾何問題最典型的兩條思考途徑，今天的第三個(gè)作業(yè)就是請(qǐng)同學(xué)們課后把這兩種證明方法完整地書寫出來．而這恰恰正是今年新高考全國I卷解析幾何大題的出題背景．

4 問題解決

(1)求l的斜率；

5 問題反思

通過上述對(duì)定值、定點(diǎn)之間千絲萬縷微妙關(guān)系的梳理，我們?cè)賮砜?022年新高考I卷的這道解析幾何大題，發(fā)現(xiàn)它的身上同樣承載著啟動(dòng)一場(chǎng)盛大頭腦風(fēng)暴的重要使命：它是2021年新高考全國I卷的解幾壓軸題結(jié)構(gòu)的一個(gè)退化情形，其本質(zhì)相同．2021年的這道解析幾何題是圓錐曲線中的一個(gè)經(jīng)典性質(zhì)，也是一個(gè)老生常談的結(jié)構(gòu)，在以前諸多的數(shù)學(xué)聯(lián)賽及全國高考卷中屢見不鮮，大家可以查閱研究，如2011年全國II卷、2014年大綱卷等．而2022年考查的退化情形也是高考中的常見問題，如2009年遼寧卷、高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽卷中還考查了它的逆命題等．

由此可見，在高三最后臨近高考的寶貴時(shí)間里，教師要精選典型例題，以高考題為載體，帶領(lǐng)學(xué)生跳出題海，唯有讓思維跳躍，才能讓學(xué)生從千頭萬緒的復(fù)習(xí)中抽身出來，獲得對(duì)問題的真知灼見，從而以不變應(yīng)萬變，從容應(yīng)對(duì)高考試題！

6 教學(xué)反思

最后筆者對(duì)本堂課的設(shè)計(jì)作如下簡單的教學(xué)反思：

·在課堂上開展問題探究活動(dòng)，增強(qiáng)學(xué)生解決圓錐曲線問題的信心與能力，鞏固圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)與方法．問題探究活動(dòng)的過程，不是簡單的一題多解，而是不斷優(yōu)化求解思路、促進(jìn)思維發(fā)展、提升核心素養(yǎng)的過程．

·探究活動(dòng)以小組形式開展，大家既有分工又有合作，還有小組交流和全班交流．每位學(xué)生都有參與學(xué)習(xí)和交流的機(jī)會(huì)，即便一些基礎(chǔ)與學(xué)力較弱的學(xué)生也能獲得積極的情感體驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣與動(dòng)力；而數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生更能發(fā)揮自己的特長與優(yōu)勢(shì)，在帶領(lǐng)小組學(xué)習(xí)、交流的同時(shí)，獲得成功的體驗(yàn)．對(duì)教師而言，預(yù)估了學(xué)生提出的大部分解法和猜想，但也有很多學(xué)生的思維火花超出了教師準(zhǔn)備的教學(xué)內(nèi)容，屬于生成性教學(xué)資源，彌足珍貴．

·作業(yè)設(shè)計(jì)多元化.本節(jié)課安排的課后作業(yè)中既有反思類作業(yè)又有實(shí)際操作類作業(yè)，既有研究類作業(yè)又有分層類作業(yè)．通過開發(fā)多元化的作業(yè)任務(wù)，既讓學(xué)生把課堂內(nèi)容回顧一遍，又能有所延伸，把很多課上來不及仔細(xì)思考的內(nèi)容變成學(xué)生的作業(yè)，充分發(fā)揮其自主學(xué)習(xí)力，一箭雙雕，讓作業(yè)與課堂一起熠熠生輝．

·課堂活動(dòng)評(píng)價(jià)采用自評(píng)、小組成員互評(píng)和教師評(píng)價(jià)的綜合評(píng)價(jià)方式，能夠更加客觀地對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為進(jìn)行評(píng)價(jià)，形成較為完善的評(píng)價(jià)機(jī)制．