指向高階思維的圓錐曲線解題教學(xué)

滕詩媛 (浙江省溫州市第八高級中學(xué) 325000)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)知識中的重要內(nèi)容之一，也是高考的一個高頻考點(diǎn)，往往出現(xiàn)在選擇或填空題的靠后位置和大題的倒數(shù)第二題，其難度和重要程度不言而喻．圓錐曲線主要考查學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng)，難點(diǎn)在于計(jì)算量大和幾何條件代數(shù)化．

圖1

(2)若存在不過原點(diǎn)的直線l，使得M是線段AB的中點(diǎn)，求p的最大值．

本題的第(1)題比較簡單，本文重點(diǎn)對第(2)題進(jìn)行研究．學(xué)生拿到題目按照以往的慣性思維進(jìn)行解題：設(shè)點(diǎn)A(線)、聯(lián)立(拋物線和橢圓方程)、建立目標(biāo)函數(shù)求最值[1]．解題思路自然，但解法繁瑣，學(xué)生沒有足夠的時間將題目解完整，甚至沒辦法將目標(biāo)函數(shù)與已知條件聯(lián)系起來.究其原因是學(xué)生未能思考問題本質(zhì)進(jìn)而形成自己的解題策略，而教師也往往停留在常規(guī)解題方法進(jìn)行教學(xué)，沒有分出時間與精力處理學(xué)生這一個性化問題．

布魯姆教育目標(biāo)分類原理將認(rèn)知過程分為記憶、理解、應(yīng)用、分析、評價(jià)、創(chuàng)造六個維度[2]．以 本題而言，考查的是學(xué)生邏輯思維能力(即能正確領(lǐng)會題意，明確解題目標(biāo)，能尋找到實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)的方向和合適的解題方法，對應(yīng)應(yīng)用與分析目標(biāo))，運(yùn)算求解能力(即能根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算變形，根據(jù)問題的條件和目標(biāo)，尋找多種途徑，設(shè)計(jì)較為適合的方法進(jìn)行運(yùn)算、變形，對應(yīng)應(yīng)用與評價(jià)目標(biāo))和綜合應(yīng)用能力(即能對具體問題陳述的材料用數(shù)學(xué)語言正確地表述，用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題，對應(yīng)分析、評價(jià)以及創(chuàng)造目標(biāo))．對照布魯姆六大認(rèn)知能力，這道題乃至這類題目的解題思維顯然屬于后三種的高階思維．在此類題目的解析過程中，幾何條件與代數(shù)表達(dá)進(jìn)行互化無疑是引導(dǎo)學(xué)生形成高階思維的能力載體，因此如何引導(dǎo)學(xué)生利用已有幾何性質(zhì)來分析與比較解題方法并將計(jì)算簡化、將幾何條件與代數(shù)表達(dá)進(jìn)行互化成了教師必須研究的問題．

1 溯本清源，理清學(xué)生思維癥結(jié)

筆者根據(jù)布魯姆六大認(rèn)知目標(biāo)，對本題進(jìn)行能力知識二維目標(biāo)的編碼分析，形成了問卷，試圖通過學(xué)生答題結(jié)果與問卷調(diào)查的對應(yīng)分析，找出學(xué)生“卡脖子”的具體原因，進(jìn)而提出對應(yīng)的解決方案．

問卷的問題大致設(shè)置如下：

1．本次考試你的得分為分．

2．第21題你的得分為分．

3．第(1)題若未得滿分，你失分的原因是( )．

A．拋物線定義忘記了B．計(jì)算出錯

C．其他

4．為了建立目標(biāo)函數(shù)，第(2)題你選取的自變量是( )．

A．k(直線l的斜率)B．點(diǎn)A坐標(biāo)

C．m(直線x=my+t) D．其他

5．第(2)題若未得滿分，你失分的原因是( )．

A．設(shè)出直線方程，與橢圓聯(lián)立后不知道該怎么做

B．用韋達(dá)定理得到點(diǎn)M,B坐標(biāo)后，算不下去了

C．運(yùn)算過程出錯，導(dǎo)致后面做不下去

D．想利用拋物線方程把點(diǎn)M和A坐標(biāo)表示出來，有思路，不會算

E．想利用M是中點(diǎn)，用點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化為斜率問題，沒算出答案

F．無從入手

G．其他

6．在解決這道題的過程中，你認(rèn)為自己還存在哪些問題( )．

A．橢圓拋物線的幾何性質(zhì)不熟練

B．運(yùn)算能力不強(qiáng)

C．自變量選取和目標(biāo)函數(shù)的判斷

D．動拋物線問題識別不出來

E．解題時，不會比較方法優(yōu)劣

F．其他

問卷的第1題和第2題統(tǒng)計(jì)學(xué)生整卷和第21題的得分情況，區(qū)分學(xué)生水平層次，結(jié)合問卷的問題設(shè)置，將不同水平學(xué)生的失分原因進(jìn)行區(qū)分．學(xué)生水平與得分情況成正相關(guān)，整卷得分在80分以下的學(xué)生第21題的第(2)題得分很低，這部分學(xué)生基本屬于事實(shí)性知識和概念性知識沒有掌握，比如忘記拋物線性質(zhì)，中點(diǎn)條件用不起來，是記憶、理解問題．

參照布魯姆六大認(rèn)知目標(biāo)，分解學(xué)生答題過程，問題3～6羅列了學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤、可能會用的解題方法以及存在的問題，試圖對照錯因與解題方法找出學(xué)生在程序性知識和元認(rèn)知知識上存在的問題．統(tǒng)計(jì)學(xué)生第(2)題失分原因，如 表1所示．

表1 布魯姆認(rèn)知目標(biāo)下學(xué)生解題失分原因分析表

由表1可知，大部分學(xué)生在事實(shí)性知識和概念性知識的應(yīng)用上已經(jīng)熟練掌握，也都清楚解析幾何解答題的變量最值問題的常用方法，但對于方法的選取以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等程序性知識和元認(rèn)知知識的問題又顯得無從下手．多數(shù)學(xué)生失分點(diǎn)集中在選取合適的變量與方法進(jìn)行求解，將方程、函數(shù)、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，對應(yīng)認(rèn)知目標(biāo)屬于分析、評價(jià)過程出現(xiàn)問題．因此課堂教學(xué)的目標(biāo)應(yīng)聚焦于審清題目要求，以及為了解決問題如何引導(dǎo)學(xué)生整理思路，找到數(shù)學(xué)方法簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算進(jìn)而完成解答上．

通過以上問卷調(diào)查的數(shù)據(jù)分析，從低階到高階，學(xué)生的失分率越來越高，說明本題“卡脖子”的原因在于學(xué)生的高階思維存在不足．

2 策略引導(dǎo)，變換技巧尋求突破

上題考查橢圓、拋物線的簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，線段的中點(diǎn)，這些知識點(diǎn)對高三學(xué)生來說都很熟悉，但大部分學(xué)生卻做不出來，其原因在于缺乏對解決問題的路徑進(jìn)行規(guī)劃，在變量的選取、方法的選擇等問題上仍有欠缺，關(guān)鍵問題在于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)亟待提高．

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．主要包括：理解運(yùn)算對象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果．在解析幾何問題中，運(yùn)算素養(yǎng)主要體現(xiàn)在變量的選擇、條件的代數(shù)解讀、問題的代數(shù)解析．

常規(guī)做法很多時候不是最好的方法，在高考時間緊、難度大的背景下，若能對這一類題形成解題策略，學(xué)生便能提高得分率，更重要的是能引導(dǎo)學(xué)生從解題技巧的提高走向解題策略的提煉，成為以高階目標(biāo)驅(qū)動技巧方法、提升思維能力的教學(xué)．為了引出仿射變換，尋求橢圓與圓之間的聯(lián)系，給出一道聯(lián)考試題進(jìn)行變式：

對以上變式，常規(guī)解題路徑包括運(yùn)用中點(diǎn)弦、聯(lián)立方程用韋達(dá)定理、刻畫三角形面積等，思路清晰計(jì)算量卻巨大．引導(dǎo)學(xué)生思考：是否還有其他方法？

橢圓可以看成是圓保持橫坐標(biāo)不變、縱坐標(biāo)壓縮后得到的圖形.圓有很多很好的性質(zhì)，若能夠得到橢圓與圓之間的變換關(guān)系(即壓縮比)，解題就會簡化很多．解法如下：

3 目標(biāo)高階，驅(qū)動性問題促進(jìn)教學(xué)

一題多解在高中數(shù)學(xué)解題技巧中很常見，簡化運(yùn)算的本質(zhì)是提高解題過程的思維含量，因此教師在教學(xué)過程中借助問題進(jìn)階將思維路徑可視化顯得尤為重要．

分析 課本上借助坐標(biāo)關(guān)系求解軌跡方程的推理過程，旨在尋求點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系，以點(diǎn)P為中間量，得出點(diǎn)M橫縱坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，這一過程揭示橢圓與圓的幾何與代數(shù)關(guān)系，將學(xué)生不太熟悉的橢圓問題轉(zhuǎn)化為圓的問題簡化運(yùn)算，將邏輯關(guān)系聚焦幾何問題坐標(biāo)化上，引導(dǎo)學(xué)生理解問題本質(zhì)．

引導(dǎo)學(xué)生猜想：圓具有良好的幾何性質(zhì)，如垂徑定理等，能否將橢圓變成圓，利用圓的有關(guān)性質(zhì)來輔助解決橢圓的相關(guān)問題？

為了更好地剖析問題，引發(fā)學(xué)生深度思考，對照布魯姆教學(xué)目標(biāo)，設(shè)置以下幾個思考問題，如表2所示．

表2 認(rèn)知目標(biāo)與驅(qū)動性問題設(shè)置的對應(yīng)關(guān)系