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    偏微分方程數(shù)值解法的研究

    2012-09-01 00:18:28王海林宋論兵高全歸
    關(guān)鍵詞:差分法玉溪差分

    王海林,徐 珊,宋論兵,高全歸

    (玉溪師范學(xué)院 物理系,云南 玉溪 653100)

    偏微分方程數(shù)值解法的研究

    王海林,徐 珊,宋論兵,高全歸

    (玉溪師范學(xué)院 物理系,云南 玉溪 653100)

    本文將從兩個方面來討論偏微分方程的數(shù)值解法,其一為網(wǎng)格比對數(shù)值解法的影響,其二為不同差分格式對偏微分方程數(shù)值解法的影響,這兩個方面都會影響偏微分方程數(shù)值解的結(jié)果.

    偏微分方程;數(shù)值解;穩(wěn)定性

    隨著科學(xué)技術(shù)和社會的發(fā)展,大量復(fù)雜的計算問題不斷出現(xiàn)在人們面前.在計算機沒有問世之前,為了解決某些復(fù)雜的計算問題,不少科學(xué)家獻出了大半生,甚至畢生的精力,1867年法國天文學(xué)家達(dá)拉姆尼(D a l a m n y)花了整整20年的時間,求解了一個天體運動的攝動級數(shù)展開式[1].但這并不是解決復(fù)雜問題的好方法,于是人們開始研究解決復(fù)雜計算問題的方法,為了解決一些復(fù)雜的計算問題,數(shù)值計算方法便出現(xiàn)了.而偏微分方程的數(shù)值解是其中一個非常重要的分支,例如要準(zhǔn)確預(yù)測天氣的變化情況,就要求解成千上萬個偏微分方程組[1],人工求解是很不現(xiàn)實的,因而,偏微分方程的數(shù)值解就顯得相當(dāng)重要了.偏微分方程的數(shù)值解法主要有三種,有限差分法,變分法,有限元方法,使用最普遍的是有限差分法.而有限差分法在求解偏微分方程的時候會存在不穩(wěn)定性,所以,需要分析有限差分法求解偏微分方程的穩(wěn)定性,差分方程的穩(wěn)定性是指研究差分方程在右端自由項無誤差的情況下,初值干擾對差分方程解的影響,它反映了差分解是否連續(xù)依賴于初值的情形[2],有限差分法又存在很多種差分格式.本文將從兩個方面討論偏微分方程的數(shù)值解法.本文的第一部分將對有限差分法做個簡單介紹,第二部分將給出網(wǎng)格比對穩(wěn)定性的影響,第三部分將給出具體的差分格式對數(shù)值解的影響,第四部分內(nèi)容為本文的結(jié)論與討論.

    1 有限差分法簡介

    考慮偏微分方程中最簡單的一維對流方程的初邊值問題:

    要利用數(shù)值方法求解上述定解問題,首先需要對定解區(qū)域離散化,用平行直線族xj=j h,tk=k τ,把區(qū)域D劃分成若干個小矩形,其中h,τ稱為空間步長和時間步長,τ稱為網(wǎng)h格比(如果為二階的網(wǎng)格比可表為等).接下來對微分方程離散化,由泰勒級數(shù)展開可知,在接點(j,k)處微商和差商存在如下關(guān)系[3]:

    最后將邊界條件和初始條件離散化后就可以做數(shù)值計算了.

    2 網(wǎng)格比對偏微分方程數(shù)值解的穩(wěn)定性影響

    為了計算方便,取方程(1)中的a=1,這樣方程(1)對應(yīng)的差分方程可以寫為:

    圖1 其中實線代表網(wǎng)格比為=1.1,虛線代表網(wǎng)格比為=0.9,點線代表網(wǎng)格比為=1.0

    由上面的計算可知網(wǎng)格比會影響方程數(shù)值解的穩(wěn)定性.這里只是直觀的給出方程數(shù)值解的穩(wěn)定性的狀況.數(shù)值解的穩(wěn)定性的分析可以采用F o u r i e r方法,H i r t啟示性方法,能量不等式方法等[3].

    3 不同差分格式下的偏微分方程數(shù)值解

    對于不同的差分格式下的偏微分方程的數(shù)值解依然采用方程(1),分別采用下面的四種差分格式做差分:

    (1)迎風(fēng)格式的差分方程可以寫為:

    (2)L-F(L a x-F r i e d r i c h s)格式的差分方程可以寫為:

    (3)L-W(L a x-We n d r o f f)格式的差分方程可以寫為:

    (4)B e a m-Wa r m i n g格式的差分方程可以寫為[4]:

    圖2 迎風(fēng)格式

    圖2、圖3、圖4、圖5分別為上述四種差分格式對應(yīng)的數(shù)值解的函數(shù)圖象.計算過程中取h=0.01,網(wǎng)格比取=0.5,上圖為對時間計算100步后所得到的函數(shù)圖象,由圖可知,圖4,圖5出現(xiàn)了震蕩,圖2,圖3比較平滑,這是由于差分格式不同所導(dǎo)致的.

    圖3 L-F格式

    圖4 L-W格式

    圖5 B e a m-Wa r m i n g格式

    4 結(jié)論與討論

    從上面的計算可知,運用有限差分法求解偏微分方程,網(wǎng)格比會對方程的解的穩(wěn)定性存在影響.而不同的差分格式會使得方程的解存在微小差異,并且其穩(wěn)定狀況也不一樣,因而,在解決實際問題的過程中,求解偏微分方程的需要注意選擇合適的網(wǎng)格比及適當(dāng)?shù)牟罘址椒?,這樣對于偏微分方程的求解是有幫助的.

    〔1〕周煦.計算機數(shù)值計算方法及程序設(shè)計[M].北京:機械工業(yè)出版社,2004.

    〔2〕徐長發(fā),李紅.偏微分方程數(shù)值解法[M].武漢:華中科技大學(xué)出版社,2000.

    〔3〕陸金甫,關(guān)治.偏微分方程數(shù)值解法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2004.

    〔4〕LeVequeR J.NumericalMethodsforConservation Laws.Basel:Birkhauser Verlag,1990.

    O 175.2

    A

    1673-260 X(2012)09-0001-02

    玉溪師范學(xué)院大學(xué)生創(chuàng)新性實驗計劃項目(2011B17)

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