基于實驗 自主探究 發(fā)展素養(yǎng)
——“圓周角(1)”教學實錄與反思

丁銀杰 (江蘇省蘇州市草橋中學校 215031)

1 基本情況

1.1 教材內容分析

圓周角(1)是蘇科版《義務教育教科書·數(shù)學》九年級上冊第2章“對稱圖形——圓”第4節(jié)“圓周角”第1課時的內容，在本章的前3節(jié)學生學習了圓的有關概念，圓的對稱性和確定圓的條件等知識，本節(jié)課學習圓周角的概念與性質．圓周角是本章的核心概念，是學習圓內接四邊形，探究圓冪定理的重要基礎，同時也是聯(lián)系圓與三角形、四邊形及相似形知識的紐帶．

教材首先介紹了弧所對的圓周角概念，其次通過分別畫90°,60°的圓心角對應的圓周角，并得出其分別為45°,30°，獲得同弧所對的圓周角是圓心角一半的猜想，最后用分類與整合的方法證明圓周角性質，并通過例題教學加以鞏固．

1.2 學生學情分析

施教對象為蘇州市教育局直屬初中校九年級學生，學業(yè)基礎較好，經過七、八年級系統(tǒng)的數(shù)學實驗教學，學生具有一定的實驗探究、合作交流、分析整合的能力．根據(jù)兒童思維發(fā)展理論，九年級學生的思維以抽象邏輯思維為主要形式，但抽象思維水平仍然較低，對數(shù)學知識的理解還需要如實物學具、技術平臺等直觀形象的支撐．

1.3 教學目標設置

教學目標 (1)(知識與技能)認識并理解圓周角概念，了解并證明圓周角定理，能運用圓周角定理解決相關問題；(2)(思想與方法)在探索和證明圓周角定理的過程中，體會特殊與一般、分類與整合、轉化與化歸的數(shù)學思想方法，學會數(shù)學地思考；(3)(策略與途徑)經歷“觀察—猜想—驗證—證明—應用—拓展”的探索過程，發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學建模等素養(yǎng)．

1.4 重點難點確定

教學重點 基于實物操作和技術探究構建圓周角概念，探索圓周角性質．

教學難點 從實物模型中抽象出圓周角概念，運用分類與整合，轉化與化歸的思想方法探索并證明圓周角性質．

1.5 教學策略選擇

由于圓周角概念的抽象性，圓周角定理探索需要用到分類與整合的思想方法，本節(jié)課的教學采用實驗探究的方式進行，教學中引入實物工具“圓周角探究儀”和技術工具GeoGebra，支持學生的自主探究，營造“做”數(shù)學的環(huán)境，幫助學生在實物操作的基礎上構建概念，在技術探究中探索性質，發(fā)展素養(yǎng)．

2 教學過程

2.1 創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣

師：如圖1，在一個圓形場地上，圖中陰影部分是舞臺，甲、乙、丙三位攝影師分別在C,D,E三點處對著舞臺攝影．哪位攝影師拍攝的角度最大？哪位攝影師拍攝的角度最??？

圖1

生：憑直覺，甲攝影師拍攝的角度最大，丙攝影師拍攝的角度最小(但不能明白其中的數(shù)學原理)．

師：你的直覺是對的，學完本節(jié)課的內容，你就會知道其中的數(shù)學原理．

2.2 實驗操作，構建概念

師：這節(jié)課我們采用實驗探究的方式來學習，圖2是一個學具，由一個直線軌道和一個圓形軌道組成，A,B為圓形軌道上的兩個定點，動點P可以在直線或圓形軌道上自由滑動．

圖2

(1)操作：分別沿學具的直線軌道和圓形軌道移動“動點P”；

(2)觀察：在“動點P”移動的過程中，∠APB的頂點、兩邊與“圓”有怎樣的位置關系？

生：當點P沿直線軌道運動時，∠APB的頂點可能在圓內、圓上或圓外，兩邊都與圓相交；當點P沿圓形軌道運動時，∠APB的頂點始終在圓上，兩邊都與圓相交．

師：當點P沿圓形軌道運動時，同學們發(fā)現(xiàn) 圖3中的∠AP1B,∠AP2B,∠AP3B，它們有兩個共同特征：它們的頂點都在圓上，它們的兩邊都與圓相交，這一類特殊的角就是本節(jié)課的研究對象——圓周角(板書課題)，你能給圓周角下個定義嗎？

圖3

生：類比∠AOB，頂點為圓心，稱為圓心角，可以這樣定義圓周角：頂點在圓上，兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

師：概括得很好(板書定義)．

請你根據(jù)圓周角定義，辨析圖4中的角是否為⊙O的圓周角？為什么？

圖4

生：∠1不是⊙O的圓周角，因為它的頂點在圓外；∠2是⊙O的圓周角；∠3不是⊙O的圓周角，因為它的頂點在圓內；∠4不是⊙O的圓周角，因為它的一邊與⊙O不相交．

2.3 實驗探究，探索性質

2.3.1操作與猜想

師：剛才通過實驗操作，我們構建了圓周角概念，那么圓周角有怎樣的性質呢？我們繼續(xù)用實驗的方式探究．

(1)操作：分別沿學具的直線軌道和圓形軌道移動“動點P”；

(2)思考：在“動點P”移動的過程中，∠APB的大小如何變化？

生：當點P沿直線軌道由圓內向圓外運動時，∠APB由大變??；當點P沿圓形軌道運動時，∠APB的大小不變，并且等于∠AOB的一半．

師：你是如何得到“當點P沿圓形軌道運動時，∠APB的大小不變，并且等于∠AOB的一半”的？

生：我是根據(jù)量角器測量的數(shù)據(jù)得到的，先量得圓心角∠AOB為100°，再在三個不同的位置量得圓周角∠APB均為50°．

師：同學們通過實驗的方法得到了一個猜想：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧所對的圓周角相等．

2.3.2驗證與說理

師：這個猜想是否總是成立？我們再用技術驗證一下．

圖5

(2)拖動點C，改變點C的位置，觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況；

(3)拖動點B，改變點B的位置，觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況；

(4)拖動點A，改變⊙O的大小，觀察∠AOB和∠ACB的度數(shù)的變化情況．

生：經過度量，動態(tài)觀察，∠ACB的度數(shù)始終是∠AOB的一半．

師：我們借助技術更一般地驗證了猜想，猜想要成為定理還需要證明，先來嘗試證明下面的特殊情形．

(1)如圖6，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(不與A,B重合)，試說明∠ACB=90°；

圖6 圖7

生：(利用三角形內角和定理解決上述問題，獲得經驗，具體過程略．)

師：以上我們證明了兩種特殊情形：當圓心角為180°時，對應的圓周角為90°；當圓心在圓周角的一邊上時，同弧所對的圓周角是圓心角的一半．圓心和圓周角還有哪些不同的位置關系？

生：(借助平板操作)還可能圓心在圓周角的內部或圓心在圓周角的外部．

師：如圖8、圖9，這兩種情形更具有一般性，如何證明呢？

圖8 圖9

師：也就是說，在圖8中，我們借助于添加直徑，把一般情形轉化成如圖7的兩個特殊情形的“和”，用同樣的方法，圖9這種情形可以轉化成如圖7的兩個特殊情形的“差”，請同學們課后完成證明過程．這樣我們就得到了圓周角的性質(板書)：圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧所對的圓周角相等．

圖10

2.4 變式訓練，應用拓展

師：下面我們來看一組問題．

變式1 在圖11中，連接AC，交BD于點F，則∠AFD=°．

圖11 圖12

變式2 如圖12，⊙O中，點C在⊙O內，點D在⊙O上，點E在⊙O外(C,D,E在AB同側)．試比較∠ACB,∠ADB和∠AEB的大小，并說明理由．

教師巡視，學生先獨立思考，再小組合作，班級交流，順利解決例題和變式1，體會圓周角性質的應用價值，初步感受求“圓外角(∠AEB)”“圓內角(∠AFB)”中的轉化與化歸的思想方法．對于變式2，教師稍加提示后，學生也能繼續(xù)通過添加適當?shù)妮o助線，將問題轉化．

生：在圖12中，設BE與⊙O交于點F，延長BC交⊙O于點G，連接AG，則根據(jù)圓周角的性質可得∠AFB=∠ADB=∠AGB．又因為∠AEB<∠AFB，∠AGB<∠ACB，所以∠AEB<∠ADB<∠ACB，

師：也就是說，在本課開頭的問題情境中，甲攝影師拍攝的角度(∠ACB)最大，丙攝影師拍攝的角度(∠AEB)最小．

2.5 課堂小結，布置作業(yè)(略)

3 回顧與反思

3.1 教學設計的立意

本節(jié)課設計了兩條主線，一條是基于知識的明線(情境—概念—定理—應用—拓展)，學生以“做”為支架，用實驗的方法自主探究，經歷知識

發(fā)生、發(fā)展和應用的全過程，拓展思維廣度和深度．

另一條是基于核心素養(yǎng)發(fā)展的暗線，素養(yǎng)立意主要體現(xiàn)在：(1)圓周角探究儀中的直線軌道、圓形軌道、橡皮筋等物化工具有利于學生抽象出圓周角概念，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)；(2)從操作到猜想，從特殊到一般，定理探索的全過程充分運用了合情推理與演繹推理，有利于發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)；(3)學具的直觀、數(shù)據(jù)的直觀和圖形的直觀，有利于學生獲得猜想，突破思路，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；(4)圓周角定理建立了一個“良構”的數(shù)學模型，圓內角、圓外角的探究是模型的自覺應用，發(fā)展了數(shù)學建模素養(yǎng)．

3.2 教學反思

(1)數(shù)學課堂要突出學生的主體地位

《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》強調“動手實踐”是學習數(shù)學的重要方式，要求“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想、計算、推理、驗證等活動過程”[1]，學生是學習的主體，課堂教學要以學生的“學習”為中心．基于實物學具圓周角探究儀的操作和基于技術工具GeoGebra的探究很好地體現(xiàn)了學生主體觀，學生在操作中思考，在探究中辨析，具身參與認知過程，通過手腦協(xié)同，達到啟思明理，從而構建新知，發(fā)展素養(yǎng)．教師的作用在于給學生設計適當?shù)幕顒?，提供適切的工具，進行適度的指導，幫助學生完成自主研究，發(fā)揮應有的主導作用．

(2)數(shù)學課堂要關注知識的來龍去脈

數(shù)學是嚴謹、系統(tǒng)的學科，每一個相對獨立的知識都是數(shù)學體系的一個有機組成要素，我們不僅要關注它是什么，也要關注它來自何方，將走向何處．舞臺的拍攝角度、足球射門的角度等是圓周角、圓內角和圓外角的生活起源，圓心角是圓周角、圓內角和圓外角的數(shù)學之根．借助圓周角探究儀的操作，圓心角生長為圓內角、圓周角和圓外角．基于技術的探究為用分類與整合、轉化與化歸的思想方法證明圓周角性質獲得了突破口，例題的變式訓練不僅鞏固了新知，更能讓學生體會知識的應用價值，變式拓展呼應情境，解決實際問題，蘊含模型思想．情境的創(chuàng)設引發(fā)學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，問題的解決則是學生用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界的最好寫照．

(3)數(shù)學課堂要落實素養(yǎng)的發(fā)展指向

“立德樹人”是數(shù)學課程的根本任務，主陣地是課堂，落腳點是發(fā)展學生學科核心素養(yǎng)．《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》提出了要在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的課程目標[2].因此，教學設計中不僅要重視知識目標的設置與達成，也要關注素養(yǎng)目標的指向與落實．盡管知識不等于素養(yǎng)，活動不等于素養(yǎng)，但素養(yǎng)的發(fā)展必須基于獲取知識的活動過程．教師要通過指向素養(yǎng)的教學設計，給予學生足夠的活動時間與空間，發(fā)展學生學科核心素養(yǎng).本節(jié)課基于實驗探究，自主學習，發(fā)展了學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模和直觀想象等素養(yǎng)．