再探拿破侖三角形
——由一道模考題說起*

蔡曉波 邱志權(quán) (廣東省中山市桂山中學(xué) 528463)

1 問題背景

·試題與評析

評析本題以拿破侖定理為背景，考查學(xué)生對基本不等式、解三角形等相關(guān)知識的掌握情況，該題圖形具有很好的幾何對稱美(圖1)，可讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)的美與巧妙．

圖1

本題要求“以任意三角形的三條邊為邊，向外作三個(gè)等邊三角形”，實(shí)際上，若向內(nèi)作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的外接圓圓心仍然構(gòu)成等邊三角形，關(guān)于這一點(diǎn)，文[1]已給出相關(guān)的結(jié)論與證明．

·拿破侖定理

關(guān)于拿破侖定理的證明方法很多，這里不再贅述，下面給出拿破侖定理的符號語言形式及內(nèi)外拿破侖三角形的定義．

結(jié)論1(拿破侖定理)任意△ABC以BC,AC,AB為邊向外(向內(nèi))作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次記為A′,B′,C′(A″,B″,C″)，則△A′B′C′(△A″B″C″)為等邊三角形，△A′B′C′(△A″B″C″)被稱為外(內(nèi))拿破侖三角形．

證略．下文中的內(nèi)外拿破侖三角形的頂點(diǎn)及其對應(yīng)關(guān)系均參照上述結(jié)論1．

2 一般性結(jié)論

結(jié)論2已知△ABC的外接圓半徑為r，外拿破侖三角形為△A′B′C′．若∠ACB=θ，記△A′B′C′的面積為S△A′B′C′，則

類似可得(3)，結(jié)論2得證．

類似于結(jié)論2，對于內(nèi)拿破侖三角形有如下結(jié)論：

結(jié)論3已知△ABC的外接圓半徑為r，△ABC的內(nèi)拿破侖三角形為△A″B″C″．若∠ACB=θ，記△A″B″C″的面積為S△A″B″C″，則

3 唯一性問題

以任意三角形的三條邊向外(或向內(nèi))作正n邊形，這3個(gè)正n邊形的外心要構(gòu)成等邊三角形，n必須滿足什么條件呢？

結(jié)論4任意△ABC以BC,AC,AB為邊向外(向內(nèi))作三個(gè)正n邊形(n≥3)，其外接圓圓心依次記為A′,B′,C′，若△A′B′C′為等邊三角形，則n=3．

圖2

4 內(nèi)外拿破侖三角形的位置關(guān)系

結(jié)論5若△ABC中最大角為∠ACB=θ，△ABC對應(yīng)的外拿破侖三角形為△A′B′C′，內(nèi)拿破侖三角形為△A″B″C″，則

在證明該結(jié)論之前，我們先來看一個(gè)引理：

引理任意三角形的內(nèi)外拿破侖三角形具有相同的外心．

該引理在文[1]中已經(jīng)給出了詳細(xì)的證明，故這里不再贅述．下面我們證明結(jié)論5．

圖3

下面先證(3)：

同理可證得A″在△A′B′C′外部，A″與B′在A′C′兩側(cè)，故由對稱性得△A″B″C″三個(gè)頂點(diǎn)均在△A′B′C′外部，且B″與A′在B′C′兩側(cè)，C″與C′在A′B′兩側(cè)，A″與B′在A′C′兩側(cè)．

下證(2)：

圖4

分析 結(jié)合結(jié)論5以及內(nèi)外拿破侖三角形的定義不難證出該推論，故這里不再贅述，相關(guān)證明讀者可自行完成．