小學(xué)課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)化探究

劉欣（江蘇省吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)山湖花園小學(xué) 215200）

數(shù)學(xué)化的課堂教學(xué)關(guān)注現(xiàn)實(shí)與知識的聯(lián)系，設(shè)計(jì)適宜探究的數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生在數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)氛圍中感悟最本質(zhì)、最純粹的數(shù)學(xué)方法和思維，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光和思維解決現(xiàn)實(shí)生活問題的習(xí)慣，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建

數(shù)學(xué)化有自身的實(shí)施步驟，是從實(shí)際問題引入，再由引出的問題抽象出數(shù)學(xué)常識，由生活經(jīng)驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識，再到實(shí)際問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，構(gòu)建新的知識體系，而不是單純讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)字、符號等“冰冷”的數(shù)學(xué)素材。數(shù)學(xué)化課堂的構(gòu)建是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，通過數(shù)學(xué)化的課堂讓學(xué)生探究數(shù)學(xué)結(jié)果，使學(xué)生頭腦中已經(jīng)具有的零散、淺顯的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)、有序的數(shù)學(xué)結(jié)論，從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究帶來的樂趣，激活數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛力。從具體實(shí)施上講，構(gòu)建小學(xué)數(shù)學(xué)化的課堂有兩種形式：一種是將生活情境中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也就是引導(dǎo)學(xué)生找到生活情境中的數(shù)學(xué)元素，將數(shù)學(xué)元素再進(jìn)行數(shù)學(xué)化加工；一種是將數(shù)學(xué)符號概括成數(shù)學(xué)概念，也就是以數(shù)學(xué)為平臺對符號化素材進(jìn)行抽象化加工?；诖耍瑪?shù)學(xué)化的課堂架構(gòu)可以按如下步驟搭建：

課堂結(jié)構(gòu)即包括課堂的基本步驟，也包括完成基本步驟過程中應(yīng)用的思想方法。步驟與方法契合度越高，課堂結(jié)構(gòu)就越緊密。數(shù)學(xué)化課堂結(jié)構(gòu)可分為四步：呈現(xiàn)素材、感受新知、構(gòu)建知識、實(shí)踐應(yīng)用。同時，在教學(xué)行為中可應(yīng)用三類思想方法：以情境為平臺、以問題為橋梁、以思維為路徑。在實(shí)施教學(xué)的過程中基本步驟與思想方法應(yīng)相互融合。陶行知先生曾提到“生活即教育”，生活素材的呈現(xiàn)以情境為平臺，使學(xué)生初步感受新知，情境可以是真實(shí)的生活情境，可以是教師創(chuàng)設(shè)的問題情境，通過素材呈現(xiàn)感受新知，從客觀素材中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)元素；從感受新知到建構(gòu)知識的環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)的問題為橋梁，通過環(huán)環(huán)相扣的邏輯性問題，激發(fā)出學(xué)生的新思路、新創(chuàng)意、新想法，進(jìn)而重新建構(gòu)知識；從建構(gòu)知識到實(shí)踐運(yùn)用環(huán)節(jié)，由于重新建構(gòu)的數(shù)學(xué)知識抽象性較強(qiáng)，學(xué)生必須經(jīng)歷內(nèi)化過程。教師應(yīng)當(dāng)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)實(shí)踐鞏固的平臺，使學(xué)生以思維為突破口運(yùn)用知識解決實(shí)踐問題。通過四個步驟、三類方法構(gòu)建課堂結(jié)構(gòu)，可實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的數(shù)學(xué)化。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)數(shù)學(xué)化的實(shí)施

在搭建起數(shù)學(xué)化的課堂結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，主要從橫向和縱向兩個角度實(shí)施數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)。

1.橫向數(shù)學(xué)化：從呈現(xiàn)素材到感受新知，數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)的開端

（1）橫向數(shù)學(xué)化的意義

數(shù)學(xué)化課堂強(qiáng)調(diào)學(xué)生用數(shù)學(xué)的方法探究周圍世界，深入思考客觀現(xiàn)象并總結(jié)歸納，進(jìn)而對客觀規(guī)律形成理性認(rèn)識。同時，數(shù)學(xué)化課堂上思想方法的應(yīng)用也是為了幫助學(xué)生有效解決問題，其中關(guān)注學(xué)生知識與技能的掌握，更重要的是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)思維。

結(jié)構(gòu)主義認(rèn)知理論指出，學(xué)生只有對外部世界形成真切體驗(yàn)才能重新建構(gòu)知識。創(chuàng)設(shè)適宜的情境能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍。學(xué)生面對熟悉的情境，更容易理解知識，并用合適的數(shù)學(xué)符號表示，用數(shù)學(xué)思想方法解決問題。

（2）把握本質(zhì)，達(dá)成橫向數(shù)學(xué)化

生活情境將數(shù)學(xué)知識融入生活，這就為橫向數(shù)學(xué)化的達(dá)成提供了廣闊平臺。教師要引導(dǎo)學(xué)生在探究過程中分析生活情境，提煉出生活情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素，總結(jié)背后的數(shù)學(xué)規(guī)律，準(zhǔn)確把握知識的本質(zhì)，理清知識脈絡(luò)。

以蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊第七章《解決問題的策略》教材內(nèi)容為例。某學(xué)校組織足球聯(lián)賽，有四支足球隊(duì)參加，分別為A隊(duì)、B隊(duì)、C隊(duì)、D隊(duì)，如果每兩隊(duì)對決一次，問一共要組織多少場比賽？這道題目是學(xué)生生活情境中常見的問題。在課堂教學(xué)中，教師需要幫助學(xué)生理解題目的含義，引導(dǎo)學(xué)生用適合自己的方式探索解決問題的方法，用多元化的方式呈現(xiàn)探究結(jié)果。對于記錄方式的多樣性，學(xué)生也會積極思考哪種方式最簡潔。比如，用四種圖形分別代表四支球隊(duì)，學(xué)生可先用圓與三角形、正方形、正五邊形搭配，再用三角形與正方形、正五邊形搭配，最后用正方形與正五邊形搭配，簡潔、直觀地記錄球隊(duì)兩兩對決的過程，最后統(tǒng)計(jì)所有的搭配種類，即比賽的總場次，從而將生活中的問題抽象成用數(shù)學(xué)圖形表示的數(shù)學(xué)問題。

2.縱向數(shù)學(xué)化：關(guān)注思維發(fā)展，使數(shù)學(xué)化深入推進(jìn)

在從生活問題中抽象出數(shù)學(xué)問題后，再運(yùn)用思想方法進(jìn)一步加工和整理，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化的縱向推進(jìn)。結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、智力和心理的發(fā)展、當(dāng)前的知識基礎(chǔ)等因素，理解抽象程度高的數(shù)學(xué)概念困難較大。此時，教師更多呈現(xiàn)的是直觀、形象的素材內(nèi)容，采用深入淺出的教學(xué)方法，使學(xué)生對橫向數(shù)學(xué)化體會變得更加深刻，但也容易使學(xué)生思維停留在淺層次，難以形成連貫的思路。而縱向數(shù)學(xué)化關(guān)注思維發(fā)展，能夠彌補(bǔ)橫向數(shù)學(xué)化的短板。在小學(xué)數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)將縱向和橫向兩種數(shù)學(xué)化有機(jī)結(jié)合，使學(xué)生從一類情境中找出共性，從深層次理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，形成知識體系，促進(jìn)學(xué)生高階思維的健康發(fā)展。

（1）引導(dǎo)有序思考，構(gòu)建數(shù)學(xué)思維方式

小學(xué)階段學(xué)生思維發(fā)展不夠成熟，更多是以直觀形象思維為主，邏輯思維還不成熟，思考問題、觀察現(xiàn)象只停留于表面，缺少深入探究的習(xí)慣和有效方式。所以，數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)著重滲透數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生有序思考，構(gòu)建數(shù)學(xué)思維方式。

同樣以蘇教版五年級上冊第七章《解決問題的策略》的教學(xué)為例。將“一共要組織多少場比賽”這種現(xiàn)實(shí)生活中的問題抽象成“一共有多少種圖形搭配”的數(shù)學(xué)問題后，教師提出“如何才能數(shù)全面”的問題，讓學(xué)生按自己的理解數(shù)一數(shù)。有的學(xué)生隨意搭配圖形，有的學(xué)生按照一定順序進(jìn)行搭配，但按照一定順序進(jìn)行搭配的方法也存在差異：有的先用圓與其他三種圖形進(jìn)行搭配，有的先用正五邊形與其他三種圖形搭配。經(jīng)過學(xué)生獨(dú)立探究、小組內(nèi)交流想法、全班匯報(bào)總結(jié)，學(xué)生清楚有序思考的重要性，進(jìn)而理解采用的方法不同排序也會產(chǎn)生差異。接著，教師可進(jìn)一步提出問題：“兩種搭配方式，算式都可以列成3+2+1，算式的含義是否相同？”學(xué)生獨(dú)立思考，從深層次理解排序方式不同，但是數(shù)的過程相同，因此，算式也就相同，但表示的含義有所不同。

（2）借助幾何直觀，搭建抽象與直觀的聯(lián)系

對小學(xué)生而言，數(shù)字是高度抽象的，單純理解數(shù)字會有很大困難。幾何直觀可以將抽象問題直觀化，單純研究圖形容易陷入空洞的泥潭，抽象的數(shù)字則賦予圖形更深層次的內(nèi)涵。教師可在教學(xué)中握緊數(shù)與形內(nèi)在聯(lián)系的抓手，引導(dǎo)學(xué)生從深層次、多角度思考問題，借助幾何直觀研究數(shù)，通過數(shù)精確解釋圖形，通過數(shù)、形結(jié)合幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)、掌握數(shù)學(xué)。

仍以蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊《解決問題的策略》為例。教師可將“一共要組織多少場比賽”的現(xiàn)實(shí)生活問題抽象成“一共有多少條線段”的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而把四支球隊(duì)抽象為四個端點(diǎn)，然后兩兩相連組成線段，線段的條數(shù)就是比賽的場數(shù)。

（3）發(fā)展推理意識，尋找數(shù)學(xué)知識間的關(guān)系

推理意識的發(fā)展與知識和技能的掌握不同，需要經(jīng)過長期訓(xùn)練。教師在教學(xué)過程中要為學(xué)生構(gòu)建深入探索的空間，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明的過程，將發(fā)展學(xué)生推理意識融入數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)的進(jìn)程中。

在《解決問題的策略》教學(xué)中，在“組織比賽”之后設(shè)計(jì)“兩兩握手”的問題，在遷移了有序思考、幾何直觀的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探索隨著人數(shù)增加握手次數(shù)的變化規(guī)律，通過畫圖探索每增加一個端點(diǎn)，線段的總條數(shù)如何變化，再推測增加更多的端點(diǎn)線段條數(shù)的變化規(guī)律。最終畫圖檢驗(yàn)推測的準(zhǔn)確性，總結(jié)出端點(diǎn)的個數(shù)與線段條數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理意識，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣。

3.強(qiáng)調(diào)課后反思，使數(shù)學(xué)化切實(shí)服務(wù)于實(shí)際問題

（1）反思在數(shù)學(xué)化課堂教學(xué)中的重要價(jià)值

在課堂教學(xué)完成以后，橫向數(shù)學(xué)化的實(shí)施步驟可以總結(jié)為：從生活情境中提取數(shù)學(xué)元素——進(jìn)行符號化、概念化轉(zhuǎn)換——找到知識間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律——辨析知識本質(zhì)——與數(shù)學(xué)模型建立對應(yīng)；縱向數(shù)學(xué)化的實(shí)施步驟可以總結(jié)為：用數(shù)學(xué)公式建立聯(lián)系——驗(yàn)證相應(yīng)規(guī)則——重新建構(gòu)模型——實(shí)踐應(yīng)用模型。從橫向和縱向數(shù)學(xué)化的實(shí)施步驟不難看出，課后反思的作用效果顯著。換言之，學(xué)生在深度理解數(shù)學(xué)本質(zhì)后，沒有反思就不能將其準(zhǔn)確歸類，更不能對應(yīng)到建構(gòu)起的新模型。沒有反思，學(xué)生就不能對模型做出調(diào)整和優(yōu)化，難以在實(shí)踐中恰當(dāng)應(yīng)用模型?？v觀數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)知識均是源自直覺，在直覺感受的基礎(chǔ)上積極探索、嘗試表達(dá)、層層檢驗(yàn)，再到總結(jié)知識、有序推理，最終掌握本質(zhì)，完成數(shù)學(xué)化的全部進(jìn)程。在此期間，積極探索原因、嘗試語言表達(dá)、檢驗(yàn)表達(dá)、有序推理等環(huán)節(jié)都是反思。

（2）反思是形成模型思想的重要動力

在數(shù)學(xué)化的課堂教學(xué)中，教師經(jīng)常需要從多重角度引導(dǎo)學(xué)生思考、辨析，進(jìn)而使學(xué)生對知識的認(rèn)識更牢靠，理解更深刻，即便是遇到不熟悉的問題情境，也可以清晰、恰當(dāng)?shù)乇嫖鰯?shù)學(xué)概念，在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題時順利地遷移知識來解決問題?？v向數(shù)學(xué)化是為了幫助學(xué)生找到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，而且縱向數(shù)學(xué)化中的數(shù)學(xué)模型與水平數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)模型既有關(guān)聯(lián)也有區(qū)別。兩者之間的區(qū)別在于縱向數(shù)學(xué)化需要學(xué)生從深層次思考，將數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)概念有機(jī)結(jié)合，進(jìn)而幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)。

對于《解決問題的策略》的教學(xué)，教師在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)線段解決“組織比賽”和“兩兩握手”現(xiàn)實(shí)問題的同時，還應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步反思數(shù)線段能夠解決哪一類問題。通過對比辨析不同類型題目，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)：同一類型事物任意選擇兩個進(jìn)行搭配，則能夠用數(shù)線段的方式解答，兩個以上不能用數(shù)線段的方式；當(dāng)事物的類型不同時，即使任意選擇兩個也不能用數(shù)線段的方式解答。通過理性反思，學(xué)生加深了對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，明確適合用數(shù)線段解答的實(shí)際問題類型。

三、結(jié)語

橫向數(shù)學(xué)化旨在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)意識的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)的情景，進(jìn)而用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界?？v向數(shù)學(xué)化是為了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)思維去思考世界。因此，只有創(chuàng)造出適宜數(shù)學(xué)化的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，才能幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)。