基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的概率系列課程“一體兩翼”的教學(xué)設(shè)計

黃煜可，閔祥偉，胡細(xì)寶，焦榮珍

(北京郵電大學(xué) 理學(xué)院，北京 100876)

一、引 言

高等工程教育在我國高等教育中占有重要的地位。深化工程教育改革、建設(shè)工程教育強(qiáng)國，對服務(wù)和支撐我國經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型升級意義重大。工程教育專業(yè)認(rèn)證是目前國際通行的最為有效的工程教育質(zhì)量保障制度，其秉承“以學(xué)生為中心、以產(chǎn)出為導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”的理念。

北京郵電大學(xué)(以下簡稱北郵)是教育部直屬、工業(yè)和信息化部共建的“985優(yōu)勢學(xué)科創(chuàng)新平臺”項目重點建設(shè)高校，是我國信息科技人才的重要培養(yǎng)基地。北郵的信息與通信工程、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)以及電子科學(xué)與技術(shù)這三個一級學(xué)科在2016年全國第四輪學(xué)科評估中被評為A類學(xué)科，其中信息與通信工程被評為A+學(xué)科。隨機(jī)數(shù)學(xué)理論是信息與通信工程、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、電子科學(xué)與技術(shù)、人工智能、網(wǎng)絡(luò)空間安全、軟件工程等領(lǐng)域的重要理論基礎(chǔ)之一。北京郵電大學(xué)從建校起就非常重視概率系列課程體系的建設(shè)，20世紀(jì)50年代就在通信類專業(yè)開設(shè)了“概率論與隨機(jī)過程”課程，是北郵首批確定的校級重點建設(shè)的精品課程，并于2008年被評為北京市精品課程。近年來，隨著計算機(jī)水平的飛速發(fā)展和數(shù)據(jù)處理能力需求的增加，北郵又增加了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的教學(xué)需求。目前，這兩門課程選用的教材分別為北郵數(shù)學(xué)系概率教學(xué)組編的《概率論與隨機(jī)過程》和盛驟、謝式千、潘承毅編的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》。

二、教學(xué)改革的現(xiàn)狀綜述

課程，是保證畢業(yè)要求達(dá)成的最后一公里。可見，如果一線教師不行動，沒有按照中國工程教育專業(yè)認(rèn)證的要求改進(jìn)課程目標(biāo)、內(nèi)容、方法和考核，認(rèn)證工作的目標(biāo)將無法實現(xiàn)。概率系列課程為高等工程教育提供了隨機(jī)數(shù)學(xué)的重要理論基礎(chǔ)，可見在工程教育專業(yè)認(rèn)證背景下概率系列課程的教學(xué)改革十分重要和迫切。

(一)文獻(xiàn)調(diào)研

在工程教育理念的引導(dǎo)下，國內(nèi)的教學(xué)改革研究工作取得了豐富的成果。截至2022年4月，中國知網(wǎng)收錄以“工程教育認(rèn)證”為主題的文章5 500余篇。其中，近五年(2017—2021年)的年度發(fā)文量分別為467、752、1 066、1 144和945篇，2022年的預(yù)測發(fā)文量更是高達(dá)1280篇。然而，這些文章主要針對工科專業(yè)課程。事實上，增加主題“數(shù)學(xué)”后，中國知網(wǎng)收錄的文章數(shù)量銳減為113篇。進(jìn)一步的文獻(xiàn)調(diào)研顯示，其中絕大部分文章主要討論如何在工科專業(yè)課程教學(xué)中優(yōu)化數(shù)學(xué)內(nèi)容以及數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)改革。涉及面向工科學(xué)生的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)改革文章僅22篇，其中數(shù)學(xué)類9篇、離散數(shù)學(xué)6篇、高等數(shù)學(xué)5篇、線性代數(shù)1篇、概率論1篇。在工程教育專業(yè)認(rèn)證背景下數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)改革尚處于迷茫期。

(二)教學(xué)改革和教學(xué)設(shè)計

章培軍等[1]總結(jié)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)主要存在的問題，這些問題同樣存在于概率系列課程教學(xué)中。具體而言：從教學(xué)內(nèi)容上看，內(nèi)容相對陳舊；從教學(xué)安排上看，面臨學(xué)時少、內(nèi)容多的困境；從教學(xué)方法上看，仍以講授模式為主；從學(xué)生情況上看，個體差異大且學(xué)習(xí)的主動性不高。這些問題與工程教育專業(yè)認(rèn)證的“以學(xué)生為中心、以產(chǎn)出為導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”的理念有很大差距。

教學(xué)改革通常從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)安排、教學(xué)方法、考核方法等角度展開。其中一些研究角度已經(jīng)獲得了不少被普遍認(rèn)可的結(jié)論：如在教學(xué)方法方面，充分利用現(xiàn)代信息技術(shù)開展課程教學(xué)活動，注重建設(shè)和使用多媒體課件、數(shù)學(xué)軟件、慕課(massive open online courses，MOOC)、小規(guī)模限制性在線課程(small private online course，SPOC)等創(chuàng)新性教學(xué)資源，變“教師主動教”為引導(dǎo)“學(xué)生主動學(xué)”；在考核方法方面，將過程性考核與終結(jié)性考核相結(jié)合，合理評價學(xué)生的知識、能力與思維的發(fā)展水平。

本文則主要關(guān)注教學(xué)設(shè)計方面。以概率系列課程為例，探討如何優(yōu)化面向工科學(xué)生的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)設(shè)計，以便更好地配合相關(guān)專業(yè)教學(xué)改革和工程教育專業(yè)認(rèn)證，實現(xiàn)培養(yǎng)優(yōu)秀工程人才的目標(biāo)。

(三) 相關(guān)院校改革經(jīng)驗

盡管基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程教學(xué)改革的成果很少，但相關(guān)問題的研究討論很早得到了關(guān)注。北郵《電子與電氣信息類專業(yè)理工融合教育模式及課程體系的研究與實踐》項目榮獲2004年北京市教育教學(xué)成果(高等教育)一等獎。近年來，以學(xué)生為本[2]、以“理工融合”[3-5]為契機(jī)、以“案例式教學(xué)”[6]為重要特征的教學(xué)改革正在高校中如火如荼地進(jìn)行，這些成果值得分析、學(xué)習(xí)和借鑒。

2003年，電子科技大學(xué)開始了“國家工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)基地”建設(shè)[7]，強(qiáng)調(diào)在課程設(shè)置和內(nèi)容選擇上進(jìn)行整合與優(yōu)化。具體包括專業(yè)性課程與基礎(chǔ)性課程的整合、各基礎(chǔ)課程之間的整合、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之間的整合。2016年，電子科技大學(xué)啟動了“互聯(lián)網(wǎng)+”復(fù)合型精英人才培養(yǎng)計劃，積極探索學(xué)科專業(yè)之間的交叉融合，培養(yǎng)更多工程實踐能力強(qiáng)、創(chuàng)新能力強(qiáng)，具備國際競爭力的高素質(zhì)復(fù)合型人才[8]。為了實現(xiàn)上述培養(yǎng)目標(biāo)，電子科技大學(xué)整合了包含數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在內(nèi)的7個學(xué)院的學(xué)科優(yōu)勢與優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源，實施“2+2”和“雙學(xué)位”培養(yǎng)模式。如對于第一專業(yè)為物聯(lián)網(wǎng)工程、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、智能電網(wǎng)信息工程、新能源材料與器件等4個工科專業(yè)的學(xué)生，可以將數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)等3個專業(yè)之一的專業(yè)作為第二專業(yè)。

楊威等[9]以西安電子科技大學(xué)國家精品在線開放課程“實用大眾線性代數(shù)”為例，闡述了新工科背景下線性代數(shù)教學(xué)改革的思路：在教學(xué)內(nèi)容改革方面，基于“成果導(dǎo)向”理念，從人才需求出發(fā)反向設(shè)計教學(xué)內(nèi)容；從應(yīng)用實例出發(fā)引出數(shù)學(xué)概念；制作與后續(xù)課程及不同專業(yè)背景相關(guān)的應(yīng)用實例。

三、基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的教學(xué)設(shè)計

工程教育專業(yè)認(rèn)證的通用標(biāo)準(zhǔn)中列出了12項“畢業(yè)要求”。通過優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，概率系列課程至少可以支撐以下三項畢業(yè)要求：(1)工程知識。能夠?qū)?shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程基礎(chǔ)和專業(yè)知識用于解決復(fù)雜工程問題。(2)問題分析。能夠應(yīng)用數(shù)學(xué)、自然科學(xué)和工程科學(xué)的基本原理，識別、表達(dá)、并通過文獻(xiàn)研究分析復(fù)雜工程問題，以獲得有效結(jié)論。(3)終身學(xué)習(xí)。具有自主學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)的意識，有不斷學(xué)習(xí)和適應(yīng)發(fā)展的能力。

教學(xué)設(shè)計優(yōu)化主要從以下兩方面進(jìn)行。

(一) 修訂教學(xué)大綱，重構(gòu)教學(xué)重點

對于大多數(shù)工科學(xué)生而言，數(shù)學(xué)教育的目標(biāo)不是培養(yǎng)學(xué)生成為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才，而是為后續(xù)的工科專業(yè)課程學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)，幫助學(xué)生成為優(yōu)秀的工程人才。因此，面向工科學(xué)生的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)大綱和教學(xué)設(shè)計必須響應(yīng)學(xué)生所在專業(yè)的未來發(fā)展需求，能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法在未來職業(yè)發(fā)展中的重要作用。

對比北郵概率系列課程2018年的教學(xué)大綱，2022年的教學(xué)大綱增加了很多基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的要求：課程目標(biāo)需要對畢業(yè)要求指標(biāo)點形成支撐，并且要可衡量、可評價；需要明確課程與所支撐的相關(guān)專業(yè)的畢業(yè)要求的對應(yīng)關(guān)系，形成“培養(yǎng)標(biāo)準(zhǔn)及實現(xiàn)矩陣”。在新的教學(xué)大綱基礎(chǔ)上，授課教師對教學(xué)重點進(jìn)行系統(tǒng)化重構(gòu)。

(二) 強(qiáng)化應(yīng)用導(dǎo)向，克服學(xué)用分離

概率系列課程的教學(xué)指導(dǎo)思想是“學(xué)以致用”。工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不是為了研究數(shù)學(xué)本身，而是為了運用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思維在自己的專業(yè)領(lǐng)域進(jìn)行研究和創(chuàng)新[10]。但與很多面向工科學(xué)生的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程一樣，“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”“概率論與隨機(jī)過程”等概率系列課程也存在“學(xué)用分離”的痛點。理論脫離實踐，學(xué)生不知道“為什么學(xué)、學(xué)了有什么用”。教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，例題選擇旨在幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識點的理解，這些例題與學(xué)生所在專業(yè)的學(xué)科前沿、專業(yè)思想聯(lián)系不夠緊密，與學(xué)生關(guān)心的生活熱點聯(lián)系也不夠緊密。

在教學(xué)實踐中，從具體應(yīng)用實例，特別是從本專業(yè)工程應(yīng)用背景出發(fā)引入數(shù)學(xué)概念和理論，或者將這些應(yīng)用案例代替?zhèn)鹘y(tǒng)的教學(xué)案例，有助于克服學(xué)用分離的痛點。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決復(fù)雜工程問題的能力，培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)的能力。

四、一體兩翼、教學(xué)內(nèi)容模塊化

在“學(xué)以致用”和“工程教育專業(yè)認(rèn)證”的背景下，筆者提出“一體兩翼、教學(xué)內(nèi)容模塊化”的教學(xué)設(shè)計整體思路?！耙惑w”指課程基礎(chǔ)知識與基本技能，對傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容做減法；“兩翼”指工程應(yīng)用案例和數(shù)學(xué)研究工具，對貼合學(xué)生專業(yè)發(fā)展需求的教學(xué)內(nèi)容做加法。具體如圖1所示。

圖1 “一體兩翼”的教學(xué)設(shè)計

粗略地講：“一體”，即優(yōu)化課程基礎(chǔ)知識與基本技能的教學(xué)，有助于課程“高質(zhì)輕負(fù)”，為增加貼合學(xué)生專業(yè)發(fā)展需求的教學(xué)內(nèi)容提供教學(xué)時長的保障；“兩翼”中的“工程應(yīng)用案例”是基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的概率系列課程教學(xué)設(shè)計改革的關(guān)鍵；“兩翼”中的“數(shù)學(xué)研究工具”是針對不同專業(yè)對數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力和數(shù)學(xué)研究工具的要求，有選擇性地增加部分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)理論；“教學(xué)內(nèi)容模塊化”則有助于教師根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和專業(yè)發(fā)展需求，靈活調(diào)整教學(xué)內(nèi)容。接下來將逐一闡述每部分內(nèi)容的改革意義、改革實例、實施手段和主要困難等細(xì)節(jié)。

(一)“一體”——課程的基礎(chǔ)知識與基本技能

課程的基礎(chǔ)知識與基本技能是課程學(xué)習(xí)要求的底線，是課程教學(xué)內(nèi)容的“主線劇情”。本部分教學(xué)內(nèi)容以傳統(tǒng)的教師講授為主。在教師講授的過程中，需注重數(shù)學(xué)思想和知識本質(zhì)的傳授，將散見于不同章節(jié)的知識點進(jìn)行系統(tǒng)化重構(gòu)，這樣有助于幫助學(xué)生更深刻地理解、更長久地掌握教學(xué)知識點，特別要反對“背公式套公式”和“題海戰(zhàn)術(shù)”。數(shù)學(xué)課的目的不是培養(yǎng)會背公式、會考試的學(xué)生，而是培養(yǎng)會思考、會創(chuàng)新的學(xué)生。在實際應(yīng)用，特別是復(fù)雜工程問題中，數(shù)學(xué)知識不會以課本中的定理和性質(zhì)的形式呈現(xiàn)，需要學(xué)生靈活運用。而靈活運用數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)就是抓住知識點的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而非死記硬背固有公式。

1.改革意義

本部分教學(xué)設(shè)計的優(yōu)化，有三方面重要意義。

其一，教學(xué)中注重數(shù)學(xué)思想和知識本質(zhì)的傳授，將知識點系統(tǒng)化重構(gòu)，有助于提高學(xué)生解決實際應(yīng)用，特別是復(fù)雜工程問題的能力。

其二，壓縮課程中基礎(chǔ)知識與基本技能的教學(xué)時間。根據(jù)學(xué)生不同專業(yè)發(fā)展需求，引入高階性、創(chuàng)新性、挑戰(zhàn)度的教學(xué)內(nèi)容提供教學(xué)時長的保障。

其三，降低課程學(xué)習(xí)門檻，保證教學(xué)效果的“全員”性，即所有學(xué)生都能學(xué)會課程中最基礎(chǔ)的教學(xué)內(nèi)容。工程教育專業(yè)認(rèn)證的畢業(yè)要求是面向相關(guān)專業(yè)全體學(xué)生。

綜上所述，對傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容做減法，有助于課程“高質(zhì)輕負(fù)”，為在數(shù)學(xué)課程中增加貼合學(xué)生專業(yè)發(fā)展需求的教學(xué)內(nèi)容提供教學(xué)時長的保障。事實上，更多的時間和精力的投入通常意味著更優(yōu)秀的成績，這是教學(xué)實踐中被普遍認(rèn)可的觀點。但是如前所述，面向工科學(xué)生的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)目標(biāo)不是培養(yǎng)學(xué)生成為優(yōu)秀的數(shù)學(xué)人才，而是為后續(xù)的工科專業(yè)課程學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)，幫助學(xué)生成為優(yōu)秀的工程人才。為了提高數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)水平而使學(xué)生大幅度加大學(xué)習(xí)精力的投入，有可能占用學(xué)生對專業(yè)課的學(xué)習(xí)精力，不利于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展。以北郵為例，很多卓有成效的專業(yè)課教學(xué)改革正在如火如荼地進(jìn)行，學(xué)生專業(yè)課的學(xué)習(xí)強(qiáng)度很大。從實踐角度看，要求學(xué)生再拿出大量精力參與數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革并不現(xiàn)實?？梢?，通過優(yōu)化“一體”，也就是課程基礎(chǔ)知識與基本技能的教學(xué)，有助于課程“高質(zhì)輕負(fù)”。

2.改革實例

在現(xiàn)行“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程的教材中涉及三種常用的“中心極限定理”，它們的數(shù)學(xué)記號表述都非常繁瑣，但其數(shù)學(xué)本質(zhì)卻很簡單。中心極限定理研究在什么條件下，獨立隨機(jī)變量和的極限分布為正態(tài)分布。而三種常用的中心極限定理則給出了三種成立條件。掌握了這個本質(zhì)，當(dāng)學(xué)生在實際應(yīng)用中遇到“獨立隨機(jī)變量和”時，就可以聯(lián)想到“中心極限定理”和“正態(tài)分布”。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中只是死記硬背公式，那么他們只能在看到相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號和公式時才能想到正態(tài)分布，這樣根本無法將知識點用于解決復(fù)雜工程問題。進(jìn)一步地，筆者總結(jié)了幾種不同情況下“隨機(jī)變量和”的常見研究思路，即根據(jù)研究對象重構(gòu)知識點，這將大大提高學(xué)生解決問題的能力。畢竟在實際應(yīng)用，特別是復(fù)雜工程問題中，人們往往只能看到研究對象。

(二)“兩翼”——工程應(yīng)用案例和數(shù)學(xué)研究工具

如前文所述，“兩翼”是對貼合學(xué)生專業(yè)發(fā)展需求的教學(xué)內(nèi)容做加法，其中“工程應(yīng)用案例”設(shè)計是基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的概率系列課程教學(xué)設(shè)計改革的關(guān)鍵。

1. “兩翼”之工程應(yīng)用案例

基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的教學(xué)設(shè)計，需要堅持“以學(xué)生為中心”的理念。為了實現(xiàn)這個目標(biāo)，筆者認(rèn)為，教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容設(shè)計須符合學(xué)生所在專業(yè)的學(xué)科特點和學(xué)生實際水平，響應(yīng)學(xué)生所在專業(yè)的未來發(fā)展需求，能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法在未來職業(yè)發(fā)展中的重要作用。

(1)改革意義

對工程應(yīng)用案例做加法是基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的概率系列課程教學(xué)設(shè)計改革的關(guān)鍵。貼合專業(yè)背景的教學(xué)例題更容易激發(fā)學(xué)生的心理共鳴和學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生帶著問題和思考走進(jìn)課堂，并通過“數(shù)學(xué)小論文”(過程性考核)等形式探索數(shù)學(xué)知識點在生活熱點和工程專業(yè)問題中的應(yīng)用，學(xué)生自主學(xué)習(xí)和終身學(xué)習(xí)的意識顯著提高。

(2)改革實例

筆者根據(jù)不同專業(yè)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)水平和專業(yè)發(fā)展需求設(shè)計不同的教學(xué)內(nèi)容。如在教學(xué)實踐中，一般通過高爾頓釘板直觀展示中心極限定理的結(jié)論，即每個小球的運動軌跡是無序的，但無序中蘊含了有序，大量小球下落最終形成優(yōu)美的鐘型曲線。根據(jù)北郵的整體教學(xué)安排，面向信息與通信工程專業(yè)學(xué)生的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程一般在本科二年級下學(xué)期開設(shè)。而學(xué)生在本科二年級上學(xué)期的專業(yè)課“信號與系統(tǒng)”中熟練使用卷積方法研究信號的疊加。因此，對該專業(yè)學(xué)生講解中心極限定理時，可以讓學(xué)生通過逐次卷積觀察若干獨立同分布的信號如何疊加成近似服從正態(tài)分布的信號。進(jìn)一步的，針對中心極限定理的應(yīng)用，對計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的學(xué)生著重介紹一種基于中心極限定理的正態(tài)分布偽隨機(jī)數(shù)生成方法。這兩個應(yīng)用案例正好體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)概念引入和數(shù)學(xué)知識應(yīng)用兩個方面響應(yīng)學(xué)生所在專業(yè)未來發(fā)展需求的教學(xué)設(shè)計思路。

此外，網(wǎng)絡(luò)空間安全專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”的同時還在學(xué)習(xí)專業(yè)課“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)”。因此，作為泊松定理的應(yīng)用案例，筆者講解了為什么當(dāng)網(wǎng)絡(luò)足夠大時，ER隨機(jī)圖(Erd?s-Rényi)的度分布可以由泊松分布刻畫。數(shù)學(xué)知識與工科專業(yè)課程知識的“夢幻聯(lián)動”讓學(xué)生眼前一亮。

(3) 實施手段

由于面向工科學(xué)生的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的授課老師一般不具備充足的工程專業(yè)背景知識，貼合學(xué)生專業(yè)發(fā)展需求的教學(xué)設(shè)計非常困難。在教學(xué)實踐中，筆者主要從三個途徑獲得教學(xué)設(shè)計(特別是工程應(yīng)用案例)的靈感和理論支撐：查文獻(xiàn)、問學(xué)生、問專家。

其二，問學(xué)生。北京郵電大學(xué)是我國信息科技人才的重要培養(yǎng)基地，其重點優(yōu)勢學(xué)科的學(xué)生基礎(chǔ)好、學(xué)習(xí)能力強(qiáng)、學(xué)習(xí)積極性高。筆者在教學(xué)中引入過程性考核環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)小論文，鼓勵學(xué)生結(jié)合教學(xué)知識點，給出貼近生活或者本專業(yè)學(xué)習(xí)的應(yīng)用案例及解答。這些數(shù)學(xué)小論文為貼合學(xué)生專業(yè)的教學(xué)設(shè)計提供了豐富的源泉，如“信號、卷積與中心極限定理”的教學(xué)案例就是根據(jù)信息與通信工程專業(yè)學(xué)生朱勇鋼的數(shù)學(xué)小論文改編，而網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院學(xué)生鄧海晨關(guān)于Fermat素性檢驗和貝葉斯公式的數(shù)學(xué)小論文則形成教學(xué)論文一篇[11]。

其三，問專家。問專家，也就是向相關(guān)專業(yè)的教師，特別是后續(xù)工科專業(yè)課程的教師請教。相關(guān)專業(yè)的教師不僅可以提供教學(xué)設(shè)計思路，還會給出學(xué)生培養(yǎng)的建議，如應(yīng)該加強(qiáng)哪些知識點以便更好地與后續(xù)工科專業(yè)課程銜接。近期，筆者還加入了北京郵電大學(xué)牽頭的電子信息類專業(yè)虛擬教研室，期待與相關(guān)專業(yè)教師進(jìn)一步加強(qiáng)教學(xué)改革合作，助力相關(guān)專業(yè)工程教育專業(yè)認(rèn)證。

(4) 主要困難

目前，工程應(yīng)用案例設(shè)計主要存在兩方面困難。

其一，工科專業(yè)書籍中使用的記號與數(shù)學(xué)教材中的常用記號往往有較大差別，研究思路也存在差異。在教學(xué)設(shè)計時不能簡單的拿來用，需要從數(shù)學(xué)課程的角度重新書寫，這給教學(xué)案例設(shè)計帶來了不小的困難。然而，這項工作的意義重大，一方面可幫助學(xué)生學(xué)習(xí)如何運用數(shù)學(xué)知識分析和解決復(fù)雜工程問題，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)興趣；另一方面建立了以概率系列課程為例的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程與后續(xù)工科專業(yè)課程的橋梁。

其二，應(yīng)用于數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程教學(xué)的工程應(yīng)用案例應(yīng)該以數(shù)學(xué)知識點為主，不能涉及太多與課程知識點沒有直接聯(lián)系的專業(yè)知識，特別是學(xué)生尚未學(xué)到、比較陌生的專業(yè)知識。例如，極大似然估計法在人工智能算法中具有廣泛應(yīng)用，但這些算法對于人工智能等專業(yè)的本科二年級學(xué)生而言還比較陌生。筆者認(rèn)為，將它們直接設(shè)計為工程應(yīng)用案例在課堂教學(xué)中講授并不妥當(dāng)。目前，這類工程應(yīng)用案例主要通過課外分級閱讀材料等形式供學(xué)有余力的學(xué)生選讀。當(dāng)然，筆者也在努力探索這類工程應(yīng)用案例的更優(yōu)化的設(shè)計方案。

2.“兩翼”之?dāng)?shù)學(xué)研究工具

在很多數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)改革研究論文中存在“淡化數(shù)學(xué)推導(dǎo)”的觀點。但筆者在與工科專業(yè)課程教師的溝通中發(fā)現(xiàn)，不同專業(yè)對數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力和數(shù)學(xué)研究工具的要求具有較大區(qū)別。筆者在與北京郵電大學(xué)信息與通信工程等重點優(yōu)勢學(xué)科的工科專業(yè)課程的授課教師的交流中發(fā)現(xiàn)，為了讓學(xué)生更好地適應(yīng)后續(xù)工科專業(yè)課程的“金課”建設(shè)、工程教育專業(yè)認(rèn)證等，不僅不應(yīng)該過分淡化數(shù)學(xué)推導(dǎo)，甚至需要補(bǔ)充一些現(xiàn)行工科教材中沒有涉及的數(shù)學(xué)理論知識。近年來的教學(xué)實踐顯示，這些專業(yè)的學(xué)生基礎(chǔ)好、學(xué)習(xí)能力強(qiáng)，絕大部分學(xué)生愿意并且可以完成補(bǔ)充知識的學(xué)習(xí)。

(1) 改革意義

嚴(yán)格來講，數(shù)學(xué)研究工具并不屬于創(chuàng)新的教學(xué)內(nèi)容，它與“一體”都屬于傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容。其中，“一體”僅包含課程基礎(chǔ)知識與基本技能，其他相對較難的數(shù)學(xué)理論知識則被“淡化”。但這種“一刀切的淡化”不利于培養(yǎng)拔尖創(chuàng)新人才。因此，本部分改革旨在將不屬于最基本的教學(xué)內(nèi)容但常用的數(shù)學(xué)研究工具以模塊化的形式呈現(xiàn)。授課教師可以根據(jù)學(xué)生所在專業(yè)發(fā)展需求，有針對性地“淡化”或“加強(qiáng)”課程中的數(shù)學(xué)理論知識。

(2) 改革實例

在教學(xué)實踐中，筆者面向絕大部分工科專業(yè)學(xué)生補(bǔ)充伽瑪函數(shù)這一數(shù)學(xué)工具，以幫助學(xué)生完成與正態(tài)分布和指數(shù)分布相關(guān)的幾類特殊類型積分的計算。此外，為了更好地與后續(xù)專業(yè)課“隨機(jī)信號分析”等銜接，在面向信息與通信工程專業(yè)的“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中，補(bǔ)充特征函數(shù)這一在現(xiàn)行工科教材中沒有講授的數(shù)學(xué)工具。

(三) 教學(xué)內(nèi)容模塊化

以概率教學(xué)組為例，數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的授課教師通常需要面向絕大部分工科專業(yè)的學(xué)生授課，而且授課專業(yè)也需要根據(jù)全校整體安排統(tǒng)一調(diào)整，這使教師面向的學(xué)生專業(yè)不固定，教師在同一個學(xué)期需要面向多個專業(yè)的學(xué)生講授課程名稱和學(xué)時完全相同的課程。

1.改革意義

考慮到數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程授課教師需要面對不同的專業(yè)、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和專業(yè)發(fā)展需求的學(xué)生授課，教學(xué)內(nèi)容模塊化為授課教師始終保持以“學(xué)生為中心”優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，提供了靈活性和可操作性。模塊化的教學(xué)內(nèi)容，特別是“兩翼”中的工程應(yīng)用案例和數(shù)學(xué)研究工具，可以很好地形成教學(xué)資源庫，有助于教學(xué)內(nèi)容的持續(xù)改進(jìn)，并且具有很強(qiáng)的推廣價值。

2.改革實例

在某學(xué)期的教學(xué)實踐中，筆者需要同時面向“雙培計劃”學(xué)生和“英才班”學(xué)生講授課程名稱和學(xué)時完全相同的課程。其中，“雙培計劃”學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與北郵本校學(xué)生相比相對較弱，而“英才班”學(xué)生則是從北郵電子信息類(信息通信)的本科一年級學(xué)生中擇優(yōu)選拔?！坝⒉虐唷敝荚谥С殖鲱惏屋偷膬?yōu)秀學(xué)生更好地發(fā)揮潛能，促進(jìn)拔尖創(chuàng)新人才的涌現(xiàn)。兩個教學(xué)大班的學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和專業(yè)發(fā)展需求方面存在較大差別。同時面向這兩類學(xué)生授課，對教師的教學(xué)能力提出了很大的挑戰(zhàn)。通過教學(xué)內(nèi)容模塊化設(shè)計，筆者較好地完成了兩個教學(xué)大班的個性化教學(xué)，真正做到了以“學(xué)生為中心”優(yōu)化教學(xué)設(shè)計。具體而言：(1)在面向“雙培計劃”學(xué)生的教學(xué)實踐中，優(yōu)先保證“一體”，也就是“基礎(chǔ)知識與基本技能”的教學(xué)，讓學(xué)生學(xué)懂學(xué)透，再補(bǔ)充少量生動有趣的生活熱點和工程應(yīng)用案例。這樣的教學(xué)設(shè)計可以適當(dāng)降低學(xué)習(xí)門檻，避免學(xué)生因突然面對高難度的數(shù)學(xué)內(nèi)容而產(chǎn)生畏難情緒。(2)在面向“英才班”學(xué)生的教學(xué)實踐中，筆者補(bǔ)充了當(dāng)時設(shè)計完成的工程應(yīng)用案例模塊和數(shù)學(xué)研究工具模塊。最終，兩個教學(xué)大班都取得了較好的教學(xué)效果。

五、理論框架的實踐效果

筆者從2018年開始在“一體兩翼、教學(xué)內(nèi)容模塊化”的理論框架指導(dǎo)下推進(jìn)基于學(xué)以致用和工程教育專業(yè)認(rèn)證的概率系列課程教學(xué)設(shè)計改革。粗略地講，就是對傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容做減法，對貼合實際應(yīng)用和學(xué)生專業(yè)發(fā)展需求的教學(xué)內(nèi)容做加法。本節(jié)將從學(xué)生成績、學(xué)生評價和教學(xué)成果三個角度逐一展示教學(xué)改革的實踐效果。

(一)學(xué)生成績——從應(yīng)試到應(yīng)用

隨著改革的推進(jìn)，學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)從提高考試分?jǐn)?shù)逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)以致用、解決實際問題。具體表現(xiàn)在兩個方面：

其一，在教學(xué)改革之初，學(xué)生最常提的問題是“這道題應(yīng)該怎么做呢”“正確答案是什么呀”？隨著在課堂中引入越來越多貼合生活熱點和工程應(yīng)用的案例，學(xué)生越來越深刻地感受到數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法在未來生活和職業(yè)發(fā)展中的重要作用。學(xué)生主動學(xué)習(xí)、積極思考和交流互動，他們發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力大大提高?，F(xiàn)在，學(xué)生最常提的問題已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)椤澳硞€生活熱點或工程應(yīng)用問題是不是可以用某個數(shù)學(xué)知識點解釋呢”？這些問題看似天馬行空，但這恰恰是值得鼓勵和推廣的獨立思考、勇于創(chuàng)新的研究性學(xué)習(xí)。

其二，在過程性考核環(huán)節(jié)，要求學(xué)生在題型總結(jié)和應(yīng)用案例中選擇一個撰寫數(shù)學(xué)小論文，其中應(yīng)用案例又可分為生活熱點和工程應(yīng)用兩類。在教學(xué)改革之初，大部分學(xué)生會選擇題型總結(jié)，因為這種題型更有助于提高考試分?jǐn)?shù)?，F(xiàn)在，大部分學(xué)生會選擇更具有探索性的應(yīng)用案例，嘗試運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，特別是貼合自身專業(yè)發(fā)展需求的工程應(yīng)用問題。選題比例如圖2所示。

圖2 數(shù)學(xué)小論文選題比例變化圖

如前文所述，學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)從應(yīng)試逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)用，在應(yīng)付期末考試方面花費的精力減少，這是否意味著考試成績會下降呢？事實上，學(xué)生成績箱線圖(如圖3所示)說明，隨著改革的推進(jìn)，學(xué)生整體成績穩(wěn)步提高，不同學(xué)生成績差距縮小。在統(tǒng)計學(xué)中，四分位數(shù)是指把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個分割點位置的數(shù)值。具體而言，所有數(shù)值中大于上四分位數(shù)、中位數(shù)和下四分位數(shù)的數(shù)值比例分別為25%、50%和75%。上四分位數(shù)與下四分位數(shù)之間的距離稱為箱體長度。上邊緣是上四分位數(shù)加上1.5倍的箱體長度；而下邊緣是下四分位數(shù)減去1.5倍的箱體長度。如果數(shù)據(jù)大于上邊緣或者小于下邊緣，就稱為離群值。

圖3 學(xué)生成績箱線圖

綜上，在學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)從應(yīng)試轉(zhuǎn)變?yōu)閼?yīng)用時，其考試成績穩(wěn)步提高，這個現(xiàn)象并不意外，筆者總結(jié)出四個原因：

其一，針對“一體”的改革使傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容“高質(zhì)輕負(fù)”，有助于學(xué)生在付出的精力減少的同時，提高對數(shù)學(xué)知識點的學(xué)習(xí)效果。

其二，兩翼中的工程應(yīng)用案例使學(xué)生基于“應(yīng)試”的外在動力轉(zhuǎn)變?yōu)榛凇皯?yīng)用”的內(nèi)在動力。興趣是最好的老師，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性大大提高。

其三，兩翼中的“數(shù)學(xué)研究工具”不僅提高了學(xué)生解決實際問題的能力，也提高了學(xué)生解題的能力。

其四，現(xiàn)在的各類考試越來越反對死記硬背和題海戰(zhàn)術(shù)，重點考察考生學(xué)以致用的能力。本文提出的教學(xué)改革正好順應(yīng)了新的命題趨勢，有利于學(xué)生取得好成績。

(二)學(xué)生評價——來自學(xué)生的認(rèn)可

筆者在教學(xué)改革中非常重視收集學(xué)生的評價、反饋和建議，并以此作為持續(xù)改進(jìn)的重要依據(jù)。在學(xué)生評價和問卷調(diào)研的各項指標(biāo)中，特別是“激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情”“培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題能力”等指標(biāo)穩(wěn)步提升。越來越多的學(xué)生認(rèn)可基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的教學(xué)設(shè)計改革，并積極參與到改革活動中。

在師生互動中，學(xué)生向筆者推薦了不少工科專業(yè)書籍。教學(xué)相長，促進(jìn)了“工程應(yīng)用案例”的持續(xù)改進(jìn)。根據(jù)學(xué)生追蹤調(diào)研和后續(xù)工科專業(yè)課程授課教師的反饋可知，基于“學(xué)以致用”和“工程教育專業(yè)認(rèn)證”的概率系列課程教學(xué)設(shè)計改革對于學(xué)生的后續(xù)發(fā)展具有顯著的正向推動作用。

(三)教學(xué)成果——來自專家與同行的認(rèn)可

在學(xué)以致用和工程教育專業(yè)認(rèn)證思想的指導(dǎo)下，筆者獲得省部級教學(xué)競賽獎1次，發(fā)表教改論文2篇，指導(dǎo)創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)項目2項。相關(guān)教學(xué)設(shè)計改革思路得到了來自專家與同行的認(rèn)可，并積累了大量的教學(xué)成果。

其一，針對“一體”的教學(xué)設(shè)計和資源建設(shè)，筆者編著了《極簡概率論與數(shù)理統(tǒng)計》并配套系列教學(xué)微課程。這是一本很薄的雙色小冊子，通過跨章節(jié)思維導(dǎo)圖和典型題，展示了“概率論與數(shù)理統(tǒng)計”課程中的基礎(chǔ)知識與基本技能，幫助學(xué)生快速掌握課程核心內(nèi)容，降低學(xué)習(xí)門檻，建立學(xué)生學(xué)習(xí)的信心。

其二，針對“兩翼”的教學(xué)設(shè)計和資源建設(shè)，筆者整理了教學(xué)資源庫，主要包括三種形式：方便教師課堂教學(xué)使用的多媒體課件、方便學(xué)生課外使用的分級閱讀材料以及教學(xué)微視頻。

這些教學(xué)成果以模塊化的形式呈現(xiàn)，可以幫助授課教師靈活調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，也可以方便地持續(xù)改進(jìn)，具有很強(qiáng)的推廣價值。

六、工程教育專業(yè)認(rèn)證與課程思政

北京郵電大學(xué)概率系列課程2022年的教學(xué)大綱修訂除了增加了很多基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的要求之外，還強(qiáng)調(diào)課程應(yīng)堅持“立德樹人”的原則，充分發(fā)掘和運用課程蘊含的思想政治教育資源，把思想價值引領(lǐng)貫穿課程教學(xué)的全過程和各環(huán)節(jié)。

培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰培養(yǎng)人是教育的根本問題，立德樹人成效是檢驗學(xué)校一切工作的根本標(biāo)準(zhǔn)。2020年5月，《教育部關(guān)于印發(fā)〈高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要〉的通知》(教高〔2020〕3號)(以下簡稱《綱要》)指出，要堅持學(xué)生中心、產(chǎn)出導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)，不斷提升學(xué)生的課程學(xué)習(xí)體驗、學(xué)習(xí)效果，堅決防止“貼標(biāo)簽”“兩張皮”，這與工程教育專業(yè)認(rèn)證“以學(xué)生為中心、以產(chǎn)出為導(dǎo)向、持續(xù)改進(jìn)”的理念一致。

同時《綱要》指出，結(jié)合專業(yè)特點分類推進(jìn)課程思政建設(shè)。對于理學(xué)類專業(yè)課程：要在課程教學(xué)中把馬克思主義立場觀點方法的教育與科學(xué)精神的培養(yǎng)結(jié)合起來，提高學(xué)生正確認(rèn)識問題、分析問題和解決問題的能力；要注重科學(xué)思維方法的訓(xùn)練和科學(xué)倫理的教育，培養(yǎng)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感。這兩項內(nèi)容也與工程教育專業(yè)認(rèn)證的畢業(yè)要求高度契合。

可見，基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的教學(xué)改革與基于課程思政的教學(xué)改革[12]在很多方面具有一致性，兩者可以有機(jī)融合，共同指引課程教學(xué)改革的方向。

七、總 結(jié)

本文總結(jié)了筆者在北京郵電大學(xué)概率系列課程授課過程中的教學(xué)設(shè)計理論框架和實踐效果。以此為例，探討如何優(yōu)化數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程的教學(xué)設(shè)計，以便更好地配合相關(guān)工科專業(yè)教學(xué)改革和工程教育專業(yè)認(rèn)證，實現(xiàn)培養(yǎng)優(yōu)秀工程人才的目標(biāo)。通過文獻(xiàn)調(diào)研和相關(guān)院校經(jīng)驗分析發(fā)現(xiàn)，基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程教學(xué)內(nèi)容改革尚無公認(rèn)的最優(yōu)方案。本文創(chuàng)新性地提出了“一體兩翼”的改革思路，將教學(xué)內(nèi)容模塊化，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和專業(yè)發(fā)展需求靈活調(diào)整教學(xué)內(nèi)容。其中，“一體”指課程基礎(chǔ)知識與基本技能；“兩翼”指工程應(yīng)用案例和數(shù)學(xué)研究工具。本文還展示了基于上述理論框架的改革成果以及工程教育專業(yè)認(rèn)證與課程思政的高度契合性。筆者希望通過不斷推進(jìn)和深化教學(xué)改革、持續(xù)改進(jìn)、開拓進(jìn)取，為基于工程教育專業(yè)認(rèn)證的數(shù)學(xué)類公共基礎(chǔ)課程教學(xué)設(shè)計改革工作添磚加瓦。