關(guān)于隨機(jī)變量差的模函數(shù)分布

葉瑞松，李 泓，陳月明

（汕頭大學(xué)數(shù)學(xué)系，汕頭 廣東 515063）

0 引言

在隨機(jī)數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究中，隨機(jī)變量的函數(shù)的分布以及概率的計(jì)算是比較復(fù)雜的問(wèn)題.大多數(shù)學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)常常費(fèi)力而且學(xué)習(xí)效果不佳，這其中的客觀原因主要有兩個(gè)因素.一方面，兩個(gè)一維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布及其概率的計(jì)算過(guò)程常常涉及復(fù)雜的二重積分計(jì)算；另一方面，傳統(tǒng)教材上的演示例子大都脫離實(shí)際，與實(shí)際的工程問(wèn)題相離甚遠(yuǎn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程未能感受其實(shí)在的應(yīng)用背景和應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)上提不起興趣和動(dòng)力.作者多年從事圖像信息安全領(lǐng)域的研究，常常碰到一些涉及隨機(jī)變量的函數(shù)問(wèn)題，而文獻(xiàn)上對(duì)這些函數(shù)的理論研究欠缺，特別對(duì)連續(xù)型的數(shù)學(xué)問(wèn)題沒(méi)有系統(tǒng)的理論指導(dǎo).針對(duì)上述的研究和教學(xué)中碰到的問(wèn)題，本文將對(duì)兩個(gè)一維隨機(jī)變量差的模函數(shù)作系統(tǒng)的探討，分別計(jì)算了連續(xù)型的概率密度函數(shù)和離散型的分布律.

雖然很多大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教材上介紹了兩個(gè)隨機(jī)變量的和，積，商以及最大值、最小值這些函數(shù)的分布和概率計(jì)算，但是很多教材并未介紹兩個(gè)隨機(jī)變量的差這個(gè)函數(shù)，更未涉及到兩個(gè)隨機(jī)變量差的模函數(shù).兩個(gè)隨機(jī)變量的差函數(shù)可以變成兩個(gè)隨機(jī)變量的和函數(shù)來(lái)處理，轉(zhuǎn)了個(gè)彎，最終還是可以得到相應(yīng)的分布及概率[1-6].兩個(gè)隨機(jī)變量的差函數(shù)不是本文所要討論的函數(shù)，我們這里要研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量差的模函數(shù)的分布和概率計(jì)算問(wèn)題.這個(gè)模函數(shù)來(lái)源于信息科學(xué)中圖像信息安全研究中的加密算法的設(shè)計(jì)，有深刻的應(yīng)用背景[7-9].本文對(duì)其做比較系統(tǒng)的研究，有助于對(duì)加密算法設(shè)計(jì)中加密系統(tǒng)的兩個(gè)隨機(jī)變量差的模函數(shù)運(yùn)算的數(shù)學(xué)原理的理解和掌握.實(shí)際上，在工程應(yīng)用中碰到的隨機(jī)變量問(wèn)題均是離散型的，但是也有必要對(duì)其連續(xù)型的情況做理論上的探討，進(jìn)一步提升學(xué)生的理論素養(yǎng).論文從理論上得到了離散型和連續(xù)型兩種情況下的分布函數(shù)相關(guān)結(jié)果，介紹了這個(gè)函數(shù)在圖像處理領(lǐng)域的一個(gè)具體應(yīng)用，并用實(shí)例驗(yàn)證了相關(guān)的理論結(jié)果.

1 隨機(jī)變量差的模函數(shù)

我們將對(duì)隨機(jī)變量X，Y的類型做些限制后，分別得到在不同場(chǎng)合的兩個(gè)隨機(jī)變量之差的模函數(shù)的分布.模函數(shù)mod（s，t）是一個(gè)二元函數(shù)，當(dāng)兩個(gè)自變量均是整數(shù)時(shí)，模函數(shù)就是求余數(shù).當(dāng)兩個(gè)變量是一般的實(shí)數(shù)時(shí)，表示取模，返回余數(shù)，具體地講，就是將s寫(xiě)成t與一個(gè)整數(shù)k的乘積和一個(gè)落在[0，t)之間的余數(shù)之和的形式s＝kt＋r，那么mod（s，t）的函數(shù)值就是 r.

我們先假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，服從相同的均勻分布，X，Y～U（0，1）.求Z＝mod（X－Y，1）的概率密度函數(shù).下面給出兩種證明方法.一種是直接從概率的概念出發(fā)來(lái)證明，這對(duì)理解概率的基本概念是很有好處的，特別適合教學(xué).另一種是將隨機(jī)變量差看成隨機(jī)變量和來(lái)處理，再應(yīng)用隨機(jī)變量和函數(shù)的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)行證明.后一種方法更具有數(shù)學(xué)理論的傳承和系統(tǒng)性意義.

定理1假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，服從相同的均勻分布，X，Y～U（0，1）.則 Z＝mod（X－Y，1）服從均勻分布，即 Z～U[0，1).

證明1由于X，Y相互獨(dú)立，且服從相同的均勻分布U（0，1），其概率密度函數(shù)為

所以二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

而 Z＝mod（X－Y，1）的取值在[0，1)，假設(shè) Z 的分布函數(shù)為 F（z），則

1）對(duì)任意的z≥1，F(xiàn)（z）＝P(Z≤z}＝1.

2）對(duì)任意的z≤0，F(xiàn)（z）＝P(Z≤z}＝0.

3）對(duì)任意的0≤z＜1，由圖1知道

圖1 兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量差的模函數(shù)分布的計(jì)算示意圖

其中當(dāng)0≤z＜1時(shí)，分布函數(shù)的計(jì)算中涉及的區(qū)域Ω1，Ω2可以參看圖1.從計(jì)算所得知道 Z～U[0，1).

證明2 X，Y相互獨(dú)立，從而X，W＝－Y也相互獨(dú)立，從而Z＝mod（X－Y，1）可以看成Z＝mod（X＋W，1），此時(shí)W＝－Y～U（－1，0），因此問(wèn)題變成證明兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的模函數(shù)分布問(wèn)題，這問(wèn)題在文獻(xiàn)[9]的定理5已經(jīng)解決，所以轉(zhuǎn)了個(gè)彎，也獲得了證明.

將隨機(jī)變量離散化，得到兩個(gè)隨機(jī)變量差的模函數(shù)的離散型問(wèn)題，其結(jié)果可以用到數(shù)字圖像的加密領(lǐng)域中涉及兩幅圖像差的模函數(shù).一般來(lái)講，加密過(guò)程設(shè)計(jì)兩個(gè)隨機(jī)變量和的模函數(shù)，可以得到很好的加密性能.應(yīng)用服從均勻分布的密鑰流和服從一般分布的明文圖像作加法模運(yùn)算操作，可以實(shí)現(xiàn)密文圖像具有均勻分布的分布性能[7，9].那么解密過(guò)程將涉及兩個(gè)隨機(jī)變量差的模函數(shù).由于圖像數(shù)據(jù)可以看作隨機(jī)變量，其取值為m比特的整數(shù)數(shù)據(jù)，所以在應(yīng)用中，選取模為2的冪次數(shù)2m，其中m為某一個(gè)正整數(shù).一幅灰度數(shù)字圖像的亮度值可以用m比特的整數(shù)來(lái)表示，m比特的整數(shù)隨機(jī)變量總共可表示2m個(gè)不同的值{0，1，2，…，2m－1}，也就是說(shuō)，如果隨機(jī)變量X，Y表示m比特的圖像的亮度，其取值范圍就是{0，1，2，…，2m－1}.比如m＝8比特的數(shù)字圖像，有28＝256個(gè)不同灰度層次.

為了使得結(jié)論更具有一般性，我們可以假設(shè)灰度圖像具有L個(gè)灰度級(jí)，其灰度值取值為{0，1，2，…，L－1}，則可以得到關(guān)于離散隨機(jī)變量的定理2，這是定理1的離散型版本.

定理2假設(shè)離散型隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，服從相同的均勻分布：

則 Z＝mod（X－Y，L）的分布和 X，Y 的分布相同.

證 Z＝mod（X－Y，L）的取值范圍為{0，1，2，…，L－1}，所以要得到其分布律，只要計(jì)算0≤k≤L－1時(shí)，對(duì)應(yīng)的概率P(Z＝k}：

所以Z＝mod（X－Y，L）服從和X相同的分布.

定理2得到兩個(gè)一維相互獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)變量差的模函數(shù)的相關(guān)結(jié)論.在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，均勻分布一般對(duì)應(yīng)類似噪聲的信號(hào)、圖像信息.服從均勻分布的隨機(jī)變量所表示的圖像一般是一幅具有明確內(nèi)容的明文圖像經(jīng)過(guò)加密而得到的密文圖像.在應(yīng)用中，很自然會(huì)碰到一個(gè)問(wèn)題，就是一幅具有自然內(nèi)容的明文圖像的加密問(wèn)題，其中一種辦法就是改變圖像每個(gè)像素的亮度值，從而遮掩了自然圖像的內(nèi)容.密碼學(xué)要求密文圖像要接近均勻分布，越逼近均勻分布，加密性能越好.在這種應(yīng)用背景中，顯然明文圖像所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量不一定是均勻分布，所以有必要對(duì)兩個(gè)隨機(jī)變量之一不是均勻分布的差的模函數(shù)作理論上的探討.定理3中隨機(jī)變量X表示某一幅模擬圖像的連續(xù)型隨機(jī)變量，其灰度值的范圍已經(jīng)歸一化到單位區(qū)間[0，1)，所以其概率密度函數(shù)只是在[0，1)取值，而在[0，1)外的概率密度均為0.定理3同樣可以利用文獻(xiàn)[9]的定理5加以證明，但是為了有助于教學(xué)的深入淺出的目的，本文也列出定理3的證明，供參考.

定理3假設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，Y～U[0，1)，X的概率密度函數(shù)為

則 Z＝mod（X－Y，1）的分布也是 U[0，1).

證 Z的取值范圍為[0，1)，設(shè)Z的分布函數(shù)為F（z），則

（i）對(duì)任意的z≥1，F(xiàn)（z）＝P(Z≤z}＝1.

（ii）對(duì)任意的z＜0，F(xiàn)（z）＝P(Z≤z}＝0.

（iii）對(duì)任意的 0≤z＜1，

F（z）＝P(Z≤z}＝P{mod（X－Y，1）≤z}＝P{0≤X－Y≤z}＋P{X－Y＋1≤z，X≤Y}.由于（X，Y）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

和定理1一樣，計(jì)算當(dāng)0≤z＜1時(shí)的分布函數(shù)，可以參看圖1，但是這里的計(jì)算不能使用Ω1，Ω2的面積作為概率值，需要計(jì)算其累次積分.

所以和定理1結(jié)論一樣，Z～U[0，1).

同樣將定理3中的隨機(jī)變量離散化，應(yīng)用到數(shù)字圖像處理的領(lǐng)域中，也有相應(yīng)的離散型的定理4.

定理4假設(shè)離散型隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，Y服從離散均勻分布：

X的分布律為

則Z＝mod（X－Y，L）的分布和Y的分布相同，也是離散均勻分布.

證 Z＝mod（X－Y，L）的取值范圍為{0，1，2，…，L－1}，當(dāng) 0≤k≤L－1 時(shí)，

證明完畢.

本文作者在文獻(xiàn)[9]討論了一幅具有某種分布特性的明文圖像X和一幅服從均勻分布的密鑰流圖像Y進(jìn)行加法模運(yùn)算Z＝mod（X＋Y，L）后，將得到服從均勻分布的密文圖像Z.如果知道密文圖像Z和密鑰流圖像Y，如何唯一解密獲得明文圖像X？這就是解密過(guò)程，容易驗(yàn)證，在模L意義下，其對(duì)應(yīng)的減法模運(yùn)算X＝mod（Z－Y，L）可以實(shí)現(xiàn)可逆的解密.為什么兩個(gè)服從均勻分布的隨機(jī)變量Z，Y在做差后的模函數(shù)可以得到一個(gè)服從一般分布的隨機(jī)變量X？這個(gè)問(wèn)題好像和定理2的結(jié)論有矛盾之處.原因在哪里？我們有必要對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行更深入的研究.出現(xiàn)矛盾的根源在于加密算法的密文圖像Z實(shí)際上已經(jīng)和Y有關(guān)系了，Z，Y不再是相互獨(dú)立的均勻分布的隨機(jī)變量.所以解密中所用的逆運(yùn)算，即差的模函數(shù)mod（Z－Y，L）已經(jīng)不能滿足定理2的條件了，所以定理2的結(jié)論在解密中是不適用的.為了進(jìn)一步探討這個(gè)問(wèn)題，我們將不要求相互獨(dú)立這個(gè)條件，并得到下面的定理5.定理5回答了利用隨機(jī)變量和的模函數(shù)的加密運(yùn)算和解密運(yùn)算的可逆性問(wèn)題.

定理5假設(shè)離散型隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，X，Y服從分布如定理4所述，隨機(jī)變量 Z＝mod（X＋Y，L），則通過(guò)減法模運(yùn)算 X′＝mod（Z－Y，L）得到隨機(jī)變量 X′具有與 X相同的分布.

證明 顯然，現(xiàn)在Z，Y不再是相互獨(dú)立的均勻分布，所以定理2的結(jié)論不適用.我們采用條件分布來(lái)證明結(jié)果.X′＝mod（Z－Y，L）的取值范圍仍為{0，1，2，…，L－1}，則

所以定理結(jié)論成立.

2 應(yīng)用

數(shù)學(xué)上，灰度數(shù)字圖像可以用一個(gè)整數(shù)值二維矩陣A來(lái)表示.如果灰度圖像是L＝256個(gè)灰度級(jí)（即8比特）的灰度圖像，則A的元素的值屬于集合{0，1，…，255}.某個(gè)灰度圖像可以表達(dá)為一個(gè)隨機(jī)變量X生成的樣本，圖2（a）Lena圖像可以看成某個(gè)隨機(jī)變量的一個(gè)實(shí)現(xiàn)樣本，圖2（b）為其直方圖概率分布.如果Y是取值于{0，1，…，255}的離散均勻分布的隨機(jī)變量，則Y生成的一個(gè)二維矩陣樣本B將類似于一幅噪聲圖像，圖3（a）為一幅均勻分布的隨機(jī)變量生成的噪聲圖像，圖3（b）為其直方圖概率分布.兩幅圖像A，B之和的模函數(shù)C＝mod（A＋B，256），得到圖像矩陣C，如圖4（a）所示，圖4（b）為其對(duì)應(yīng)的直方圖概率分布.這個(gè)結(jié)果的圖像實(shí)際上可以看成隱藏著明文圖像Lena的信息的密文圖像，其分布也是離散均勻分布[9].我們用圖4（a）的密文圖像矩陣和圖3（a）的密鑰圖像矩陣之差的模函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)解密，可以無(wú)失真地還原原始的明文圖像圖2（a）：A0＝mod（C-B，256）.解密圖像及其直方圖概率分布如圖5所示.圖5（a）-（b）分別和圖2（a）-（b）對(duì)應(yīng)，是完全一樣的，這從數(shù)值實(shí)驗(yàn)上進(jìn)一步驗(yàn)證了定理5的理論結(jié)果.這個(gè)簡(jiǎn)單的加密算法和解密算法很容易用matlab實(shí)現(xiàn)，代碼如下，供參考.

圖2 明文圖像Lena及其直方圖

圖3 密鑰圖像及其直方圖

圖4 密文圖像及其直方圖

圖5 解密得到的明文圖像及其直方圖

3 結(jié)論

本文根據(jù)圖像信息安全領(lǐng)域中經(jīng)常碰到的兩幅圖像信息之差的模運(yùn)算的實(shí)際問(wèn)題，探討了兩個(gè)一維的相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X，Y之差的模函數(shù)Z＝mod（X－Y，L）的分布及其概率計(jì)算，證明了相關(guān)的理論結(jié)果，并提供一個(gè)具體的應(yīng)用例子.該函數(shù)的離散型情況具有很強(qiáng)的應(yīng)用背景，對(duì)該函數(shù)的介紹以及相關(guān)理論的證明可以促進(jìn)大學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握隨機(jī)變量的模函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，也為工程研究人員提供理論指導(dǎo).具體的信息安全的應(yīng)用例子必將進(jìn)一步提高理工科大學(xué)生學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)的興趣和動(dòng)力.本文結(jié)果可以說(shuō)是體現(xiàn)數(shù)學(xué)與信息學(xué)交叉融合的一個(gè)很好的例子，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.這也是一個(gè)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)和研究相互結(jié)合的典型例子，其中的理論部分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的概率理論之美，數(shù)值實(shí)驗(yàn)部分則體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)計(jì)算的實(shí)用典范.