關(guān)于亞純函數(shù)微分多項式唯一性問題

劉登峰,潘 飚

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建 福州 350117)

1 引言

本文中的亞純函數(shù)均指復(fù)平面上的亞純函數(shù).設(shè)f是非常數(shù)亞純函數(shù),采用亞純函數(shù)唯一性理論中的一些基本記號和結(jié)論[1-2],如T(r,f),N(r,f),N(r,f),m(r,f)等.令S(r,f)表示任意滿足S(r,f)=o{T(r,f)}(r→+∞,r∈/E)的量,其中E是一個有窮線性測度的集合,S(r,f)每次出現(xiàn)時E可能不相同.若對亞純函數(shù)a,有T(r,a)=S(r,f),則稱a為f的一個小函數(shù).表示f的零點的計數(shù)函數(shù),其中當(dāng)f的零點重數(shù)m≤k時,計m次;當(dāng)m＞k時,計k次.表示f-a的零點重數(shù)m≤k的計數(shù)函數(shù),表示f-a的零點重數(shù)m≥k的計數(shù)函數(shù).

下面我們介紹由Lahiri I[3-4]引進的權(quán)分擔(dān)記號.

定義1.1設(shè)f,g是兩個非常數(shù)亞純函數(shù),a∈C∪{∞},k為一正整數(shù)或∞.Ek(a,f)表示f-a的所有零點,若零點重數(shù)m≤k時,計m次;若m＞k時,計k+1次.若Ek(a,f)=Ek(a,g),則稱f和g以權(quán)k分擔(dān)a.

這里記f和g分擔(dān)(a,k)表示f和g以權(quán)k分擔(dān)a.顯然若f和g分擔(dān)(a,k),那么對任意的p(0≤p＜k),p為整數(shù),都有f和g分擔(dān)(a,p),同時,當(dāng)且僅當(dāng)f和g分擔(dān)(a,0)(或(a,∞))時,f和g分擔(dān)aIM(或aCM).

設(shè)S是一個復(fù)數(shù)集合,f和g是兩個非常數(shù)亞純函數(shù),定義

若Ef(S,k)=Eg(S,k),則稱f和g以權(quán)k分擔(dān)集合S,若Ef(S,∞)=Eg(S,∞),則稱S為f和g的CM公共值集;若Ef(S,0)=Eg(S,0),則稱S為f和g的IM公共值集.顯然.

在亞純函數(shù)值分布理論中,一個著名的問題是1959年由Hayman W K[5]提出的,即設(shè)f是復(fù)平面上超越亞純函數(shù),n為正整數(shù),則fnf′取可能為零以外的任意復(fù)數(shù)無窮多次.上述問題直到1995年才被陳懷惠和方明亮[6],Zalcman L[7]分別證得.針對上述著名的Hayman問題,楊重駿與華歆厚[8]研究了微分單項式的唯一性并獲得了下述定理.

定理1.1[8]設(shè)f,g是兩個非常數(shù)整函數(shù)(亞純函數(shù)),n＞6(n＞11)是正整數(shù),若fnf′與gng′分擔(dān)1 CM,則或者f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數(shù),且滿足(c1c2)n+1c2=-1,或者f(z)≡tg(z)且滿足tn+1=1.

近20年來,許多復(fù)分析學(xué)者對微分多項式的唯一性問題開始了廣泛的研究并獲得了豐富的成果,詳見文獻[9–13].注意到,,進而方明亮[9]考慮了定理1.1中k階導(dǎo)數(shù)的情形并獲得了下述結(jié)果.

定理1.2[9]設(shè)f,g是兩個非常數(shù)整函數(shù),n,k均為正整數(shù)且滿足n＞2k+4,若(fn)(k)與(gn)(k)分擔(dān)1 CM,則或者f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數(shù),且滿足(-1)k(c1c2)n(nc)2k=1,或者f(z)≡tg(z)且滿足tn=1.

定理1.3[9]設(shè)f,g是兩個非常數(shù)整函數(shù),n,k均為正整數(shù)且滿足n＞2k+8,若(fn(f-1))(k)與(gn(g-1))(k)分擔(dān)1 CM,則f(z)≡g(z).

2008年,張曉宇等人[10]進一步將定理1.3中的(fn(f-1))(k)推廣到(fnP(f))(k),其中P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0為m次非零多項式,得到了如下結(jié)果.

定理1.4[10]設(shè)f,g是兩個非常數(shù)整函數(shù),n,k,m均為正整數(shù)且滿足n＞3m+2k+5,P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0或P(z)≡c0,其中a0/0,a1,···,am-1,am0,c00為常數(shù),若(fn(P(f)))(k)與(gn(P(g)))(k)分擔(dān)1 CM,則

(I)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0,則下述情況之一成立:

(I.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數(shù)且滿足td=1,d=GCD(n+m,···,n+mi,···,n),且存在一個i∈{0,1,···,m},使得am-i0;

(I.ii)R(f,g)≡0,其中

(II)若P(z)≡c0,則下述情況之一成立:

(II.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數(shù)且滿足tn=1;

近年來,一些學(xué)者考慮了上述微分多項式中當(dāng)分擔(dān)值a替換為集合S時,其中S={a∈C:as=1},是否還能獲得上述定理中f與g類似的關(guān)系.2018年,An V H等人[11]考慮了(fn)(k)與(gn)(k)CM分擔(dān)S的情況,得到了下述結(jié)果.

定理1.5[11]設(shè)f,g是非常數(shù)亞純函數(shù),n,k,s均為正整數(shù)且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若E(fn)(k)(S,∞)=E(gn)(k)(S,∞),則下述情況之一成立:

(i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數(shù)且滿足tns=1,t∈C;

(ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數(shù),且滿足(-1)ks(c1c2)ns(nc)2ks=1.

2020年,Chao M等人[12]考慮了(fn)(k)與(gn)(k)IM分擔(dān)集合S與權(quán)1分擔(dān)集合S的情況,得到了下述定理.

定理1.6[12]設(shè)f,g是非常數(shù)亞純函數(shù),n,k,s均為正整數(shù)且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若,則定理1.5的結(jié)論成立.

定理1.7[12]設(shè)f,g是非常數(shù)亞純函數(shù),n,k,s均為正整數(shù)且滿足,s≥2,S={a∈C:as=1},若E(fn)(k)(S,0)=E(gn)(k)(S,0),則定理1.5的結(jié)論成立.

為了尋求這個方向上更多的結(jié)果,本文結(jié)合多項式加權(quán)和的概念進一步探討將定理1.5,定理1.6以及定理1.7中(fn)(k)替換為(fn(P(f))(k)時的情形,為了方便本文的敘述,我們引入下述定義.

定義1.2設(shè)P(z)=amzm+···+a1z+a0為m次非零多項式,其中v(1≤v≤m)個不同的零點分別記為d1,d2,···,dv,相對應(yīng)的零點重數(shù)分別記為p1,p2,···,pv且滿足p1≤p2≤···≤pv.令

當(dāng)t為P(z)重數(shù)不超過k的零點個數(shù)(不計重數(shù))時,則

且由定義可知0≤γ≤m.特別地,當(dāng)時有γ=0.

結(jié)合加權(quán)和的定義,本文得到了下述定理,定理中的P(z)相關(guān)符號與定義1.2中的符號含義一致,下文中不再一一敘述.

定理1.8設(shè)f,g是非常數(shù)亞純函數(shù),n,k,s均為正整數(shù),s≥2,P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0或P(z)≡c0,其中a0/0,a1,···,am-1,am/0,c0/0為常數(shù),P(z)中相關(guān)符號如定義1.2所設(shè),S={a∈C:as=1},若E(fnP(f))(k)(S,k)=E(gnP(g))(k)(S,k),則

(I)當(dāng)k=0時,

(I.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則下述情況之一成立:

(I.i.i)f(z)≡tg(z),其中t為常數(shù)且滿足tsd=1,d=GCD(n+m,···,n+m-i,···,n);

(I.i.ii)R(f,g)≡0,其中

(I.i.iii)(fnP(f))(k)(gnP(g))(k)≡h,其中hs=1.

(I.ii)若P(z)≡c0且滿足,則下述情況之一成立:

(I.ii.i)f(z)≡tg(z),其中t為非零常數(shù)且滿足tns=1;

(I.ii.ii)f=c1ecz,g=c2e-cz,其中c1,c2,c是非零常數(shù)且滿足

(II)當(dāng)k=1時,

(II.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則(I.i)的結(jié)論成立;

(II.ii)若P(z)≡c0且滿足,則(I.ii)的結(jié)論成立.(III)當(dāng)k≥2時,

(III.i)若P(z)=amzm+am-1zm-1+···+a1z+a0且滿足,則(I.i)的結(jié)論成立;

(III.ii)若P(z)≡c0且滿足,則(I.ii)的結(jié)論成立.

備注1.1特別地,當(dāng)P(z)≡c0時,由定理1.8可得到定理1.5–1.7,因此定理1.8推廣了定理1.5–1.7.

2 相關(guān)引理

3 定理的證明