帶投資的超額損失再保與障礙分紅最優(yōu)化

孫宗岐，楊鵬，吳靜，楊陽

1）西京學(xué)院醫(yī)學(xué)院，陜西西安 710123；2）西安財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，陜西西安 710100；3）西京學(xué)院理學(xué)院，陜西西安 710123

再保險策略作為一種轉(zhuǎn)移保險公司索賠風(fēng)險，提高保險公司對股東或被保險人分紅能力的重要風(fēng)險控制指標，在精算領(lǐng)域具有十分重要的研究價值．一般的再保險策略分為比例再保險和超額損失再保險兩類．ASMUSSEN等［1］證明在帶漂移的擴散模型中，超額損失再保險策略優(yōu)于比例再保險策略；XU等［2］也證明在擴散風(fēng)險模型下，期望值保費原理的超額損失再保策略較比例再保策略更優(yōu)．

分紅策略作為鼓勵股東融資、激發(fā)被保險人投保熱情的重要風(fēng)險控制手段，是保險公司實務(wù)管理的重要抓手，也是精算領(lǐng)域的熱門研究問題．基本的分紅策略分為障礙分紅和閾值分紅，其共同點是財富超過分紅界后才進行分紅；區(qū)別在于閾值分紅是有界速率的分紅，而障礙分紅是無界速率的分紅．近年來，以最大化累積分紅折現(xiàn)的期望函數(shù)為準則的研究成果日漸豐富，其中以最優(yōu)障礙分紅策略的研究最多［3-8］．

在考慮超額損失再保策略下的保險公司最優(yōu)障礙分紅的研究方面，YAN等［9］在對稱風(fēng)險信息下考慮帶交易成本、殘值及注資的最優(yōu)障礙分紅和超額損失再保問題；CHENG等［10］在再保保費非便宜的假設(shè)下，討論擴散模型下的相同問題．但以上研究均未考慮保險盈余已經(jīng)普遍投資于資本市場的現(xiàn)實，雖然已有考慮帶風(fēng)險資本投資的最優(yōu)再保-障礙分紅問題的相關(guān)報道［11-15］，但鑒于超額損失再保在數(shù)理計算中的復(fù)雜性，這些研究僅考慮了較為容易計算的比例再保問題，對于帶投資的最優(yōu)超額損失再保-障礙分紅問題的研究鮮有報道．同時，保險實務(wù)中的任何保險賠付都有上限，一般研究中對賠付額分布的長尾假設(shè)也過于理想，考慮截尾分布才更能刻畫賠付額的實際情況．市場摩擦的存在和破產(chǎn)清算時殘值的分紅也是保險實務(wù)的現(xiàn)實情形．

本研究考慮摩擦市場中帶風(fēng)險投資和終端殘值的保險公司超額損失再保與障礙分紅最優(yōu)化問題，假設(shè)賠付額服從截尾分布，保險公司的盈余過程用擴散近似過程描述，通過使用隨機最優(yōu)控制原理及微積分方法求解最優(yōu)超額損失再保策略、最優(yōu)投資策略與最優(yōu)障礙分紅函數(shù)．

1 模型建立

本研究假設(shè)的隨機過程和隨機變量都定義在完備概率空間(Ω，F(xiàn)t，P)上，產(chǎn)生的σ-域流{Ft：t＞0}完備且右連續(xù)．允許連續(xù)交易且資產(chǎn)可任意分割，有摩擦、自融資且無套利．

經(jīng)典的Cramer-Ludberg盈余為

其中，x0為保險公司的初始盈余；c為保費率；Yi為第i次索賠時的索賠額，且E[Yi]＞0，是參數(shù)為λ的Poisson過程，表示到時刻t為止索賠發(fā)生的次數(shù)．保險公司按超額損失再保策略進行部分索賠風(fēng)險的轉(zhuǎn)移，即保險公司的實際賠付額為（∧表示兩者取其小），其余的索賠部分轉(zhuǎn)移至再保險公司賠付．設(shè)賠付額的分布函數(shù)為F(x)，定義為保險公司的最大賠付額度．賠付額的一階矩二階矩按期望值原理的保費率c=(1+θ)λE[Yi]，其中，θ是保費的安全負載系數(shù)．假設(shè)再保險的保費率為再保保費的安全負載系數(shù)為η(η≥θ)，于是盈余過程R(t)=x+ct-(1+此時，R(t)可以近似為擴散過程

保險公司在破產(chǎn)前將部分盈余b(x)投資于價格p(t)滿 足的 風(fēng) 險 資 產(chǎn)（如股票），其中，也是一維標準布朗運動；相互獨立．則財富過程滿足

其中，Lt表示保險公司按照障礙分紅策略在t時刻所得的累計紅利．整理得保險公司的財富過程滿足

稱V(x)為最優(yōu)分紅函數(shù)．假設(shè)V(x)是二次連續(xù)可微的函數(shù)，且V＇(x)＞0、V″(x)＜0．由隨機最優(yōu)控制原理［16］，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為如下Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程

設(shè)x1=inf[x≥0|V＇(x)≤β1]為障礙分紅的邊界，即財富超過x1的部分被全部進行分紅．

2 模型求解

為計算方便，假設(shè)θ=1、λ=1．當0≤x＜x1時，則HJB方程為

設(shè)最優(yōu)策略為π*，為簡化符號，以下取．由極值的必要條件可得

當a*(x)∈[0，M]時，將上述結(jié)果與V″(x)=一并代入式（3）有

兩端關(guān)于x求導(dǎo)，并將代入，有

解之得

引理1設(shè)a*(x)是［0，+∞）上的連續(xù)可微函數(shù)，若a*(x)是 方 程（2）的 解，且a*(0)=0，則，且?x＞0，都有a*(x)＞0．

【證】運用洛必達法則并結(jié)合a*(x)是［0，+∞）上連續(xù)可微的函數(shù)，易證Hamilton-Jacobi-Bellman方程

成立．

由此可知，存在ε＞0，當x∈(0，ε)時，有a*＇(x)＞0．設(shè)I(y)=2δy2+2μ(y)y-σ2(y)，則I(y)是［0，+∞）上連續(xù)函數(shù)，且I(0)=0，I＇(y)=4δy+2μ(y)，I″(y)=4δ+2-F(y)．顯 然 當y＞0時，有I＇(y)＞0，I″(y)＞0．所以，I(y)是［0，+∞）上單調(diào)遞增的連續(xù)凸函數(shù)．設(shè)u0=inf[x≥0|a*＇(x)=0]，下證u0=0．

假設(shè)u0≠0，由式（4）可知，a*＇(u0)=0蘊含著I(a*(u0))=0，由函數(shù)I(y)的性質(zhì)可知必有a*(u0)=0．又因a*(x)在[0，u0]上可微，所以a*(x)在[0，u0]亦連續(xù)，據(jù)微分中值定理可知，存在z∈(0，u0)，使得a*＇(z)=0，這顯然與u0的定義矛盾，即當x＞0時，a*＇(x)≠0．故?x＞0，有a*＇(x)＞0．又由于a*(0)=0，所以，當x＞0時，a*(x)＞0．

令G(y)=+∞)，則當y＞0時，G＇(y)＞0，且當x＞0時，最優(yōu)超額損失再保策略與最優(yōu)投資策略為

由于當x＞0時a*＇(x)＞0，且a*(0)=0，則存在xM∈［0，+∞），使得a*(xM)=M．

命題1若x≥xM，則a*(x)≥M．

【證】假設(shè)存在使得設(shè)，則 結(jié) 合M的 定 義 可 知又 由a*(x)的 連 續(xù) 性，有且有a*(x)＜M．因 為 當y＞0時，G＇(y)＞0，所以G(y)是(0，+∞)上單調(diào)遞增函數(shù)．進而對有G(a*(x))-G(M)=x-這與x的取法顯然矛盾，故原命題成立．

根據(jù)問題的實際意義，當xM≤x＜x1時，取a*(x)=M，并在此條件下求解HJB方程的解．對于在[0，+∞)上二次連續(xù)可微的函數(shù)V(x)，將a*(x)=M代入

有

解該微分方程得

以下求解微分方程解中的任意常數(shù)k3和k4．由V＇(x1)=β1和V″(x1)=0可 得，

當x≥x1時，V(x)=x-x1+V(x1)，故再 由V(xM-0)=V(xM+0)、V＇(xM-0)=V＇(xM+0)有

解之得

由V(0)=P可知k2=P．HJB方程（2）的解為

以下求解最優(yōu)分紅界．

引理2設(shè)

x1∈[xM，∞)，則存在唯一的使

【證】由于d1＜0＜d2，不難判斷-∞．因為

又因為

所以，f(xM)≥P．

因為

又因為d1＜0＜d2，且進而所以f＇(x1)＜0．故存在唯使得

定理1設(shè)如上文，則HJB方程（2）的解

在[0，+∞)上二次連續(xù)可微的凹函數(shù)．

【證】因為k1＞0、k2＞0、k3＜0＜k4，所以當0≤x＜xM時，當時，進而當時，有而時，有V″(x)=0，所以V(x)是在［0，+∞）上二次連續(xù)可微的凹函數(shù)．

結(jié)語

本研究將賠付額由長尾分布的假設(shè)修正為有賠付上限的截尾分布，并考慮較難進行數(shù)理推導(dǎo)的超額損失再保險策略下的保險公司最優(yōu)障礙分紅問題，以及保險公司破產(chǎn)清算時的終端殘值、風(fēng)險資本投資行為和分紅時市場摩擦等條件．在便宜再保保費的特殊情形下，運用隨機最優(yōu)控制原理將保險公司的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為HJB方程，通過數(shù)理推導(dǎo)和證明，得到最優(yōu)超額損失再保險策略、最優(yōu)投資策略、最優(yōu)障礙分紅界限及最優(yōu)分紅函數(shù)．

本研究還存在一定不足，如實際保險實務(wù)中再保保費并不是便宜的；尚未通過具體的截尾分布對本研究結(jié)論進行數(shù)值分析；閾值分紅作為一種更加保守分紅，帶投資的最優(yōu)超額損失-閾值分紅問題仍有待討論．這些問題是下一步研究的重點．