江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)第一中學(xué) 潘月妹
涉及三角形面積的最值問(wèn)題,是解三角形問(wèn)題中的一類基本綜合應(yīng)用問(wèn)題.此類問(wèn)題巧妙融入解三角形問(wèn)題、最值應(yīng)用問(wèn)題等,交匯平面幾何、三角函數(shù)、函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識(shí),是新高考數(shù)學(xué)試卷中比較常見(jiàn)的一類綜合應(yīng)用性問(wèn)題,充分體現(xiàn)高考“在知識(shí)交匯處命題”的指導(dǎo)精神,倍受各方關(guān)注.
此題以三角形為幾何背景,結(jié)合平面向量的數(shù)量積、解三角形等知識(shí)來(lái)確定三角形面積的最值.題目簡(jiǎn)單明了,可以從問(wèn)題背景出發(fā),利用解三角形思維從平面幾何來(lái)直觀切入;也可以從平面向量知識(shí)出發(fā),利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算或?qū)?yīng)公式等思維視角來(lái)切入.視角不同,解題思路與過(guò)程以及涉及到的知識(shí)點(diǎn)也各不相同,各有各的精彩.
方法1:解三角形法.
利用基本不等式,可得
所以,當(dāng)a2=4,即a=2,b=c=2,亦即△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形時(shí),S2取得最大值3.
點(diǎn)評(píng):通過(guò)解三角形思維來(lái)解決三角形中的面積問(wèn)題,是解決此類問(wèn)題最常用的一種技巧方法.在具體解析過(guò)程中,綜合了平面向量的數(shù)量積、解三角形的余弦定理與三角形面積公式、三角公式、基本不等式以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等眾多知識(shí),實(shí)現(xiàn)多知識(shí)交匯與融合的完美統(tǒng)一.
方法2:平面幾何法.
圖1
如圖1所示,設(shè)h為BC邊上的高,對(duì)應(yīng)的垂足為點(diǎn)D.設(shè)|BD|=x,則|CD|=a-x.
結(jié)合勾股定理,有a2+b2+c2=a2+x2+h2+(a-x)2+h2=12.整理可得
x2-ax+a2+h2-6=0 ①
由于關(guān)于x的二次方程①有解,則
Δ=a2-4(a2+h2-6)≥0.
整理,可得3a2+4h2≤24.
點(diǎn)評(píng):根據(jù)條件,借助平面向量的數(shù)量積公式與余弦定理,得到三角形的三邊的平方和的值,巧妙構(gòu)建平面幾何圖形,利用三角形的直觀性,結(jié)合勾股定理的應(yīng)用,綜合二次方程有根的條件,并利用基本不等式來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.?dāng)?shù)形結(jié)合,直觀有效.
方法3:建系法.
圖2
所以,當(dāng)a2=4,即a=2,b=c=2,亦即△ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形時(shí),S2取得最大值3.
點(diǎn)評(píng):通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系,結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo),解決平面向量的數(shù)量積以及三角形的面積等相關(guān)問(wèn)題,也是解決解三角形問(wèn)題的一種基本技巧方法.通過(guò)配方處理,利用參數(shù)的取值限制并借助二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定最值,思路清晰,方法常規(guī),運(yùn)算量合適.
方法4:極化恒等式法.
點(diǎn)評(píng):利用平面向量中的極化恒等式將平面向量的數(shù)量積關(guān)系轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)的關(guān)系,為進(jìn)一步解三角形指明方向.利用平面向量的極化恒等式可以快速對(duì)平面向量的數(shù)量積進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了平面向量的幾何屬性,特別適合于以三角形為載體且含有線段中點(diǎn)的平面向量問(wèn)題.
方法5:外森比克不等式法.
探究:根據(jù)以上問(wèn)題中方法1(或其他方法)的解析過(guò)程,改變問(wèn)題條件的視角,從三角形三邊的平方和的值所提供的信息入手,進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)三角形面積的最值,從而得到以下對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題.
變式△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a2+b2+c2=12,則△ABC面積的最大值為( ).
解析:由a2+b2+c2=12,結(jié)合余弦定理可得bccosA+a2=6.
當(dāng)然,利用變式1中的條件,解決問(wèn)題的思路更加活躍,方法更多,這里就不多加敘述.
(1)面積應(yīng)用,最值綜合
借助三角形面積這一基本要素,可以巧妙利用三角形面積的夾角公式、高線公式、圓的半徑公式以及海倫公式等的應(yīng)用,合理構(gòu)建三角形中相關(guān)邊、角等元素之間的關(guān)系,巧妙滲入函數(shù)與方程、基本不等式、函數(shù)與方程、平面幾何等相關(guān)知識(shí),通過(guò)代數(shù)運(yùn)算、邏輯推理、幾何直觀等,實(shí)現(xiàn)最值的確定與求解.
(2)一題多解,一題多悟
結(jié)合實(shí)例,針對(duì)具體問(wèn)題從多個(gè)不同思維角度來(lái)切入與處理,巧妙把對(duì)應(yīng)問(wèn)題的底蘊(yùn)充分挖掘出來(lái),多角度出發(fā),多方法求解,從而真正體現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的融會(huì)貫通,展現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之間的交匯與融合,全面提升能力,拓展思維.巧妙借助一題多解,真正達(dá)到在學(xué)中“悟”、在“悟”中不斷提升解題技能,進(jìn)而達(dá)到一題多悟的良好效果.