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    Banach空間上的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理的新證法

    2022-11-22 02:28:12裴明鶴
    關(guān)鍵詞:有界證法不動(dòng)點(diǎn)

    裴明鶴

    (北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 吉林 132013)

    眾所周知,Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理是非常著名的不動(dòng)點(diǎn)定理,它們?cè)诔N⒎址匠毯推⒎址匠痰母鞣N定解問(wèn)題以及積分方程的可解性問(wèn)題中有著非常廣泛的應(yīng)用.因此,受到微分方程學(xué)者的廣泛關(guān)注.證明Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的方法一般有3種:第一種如文獻(xiàn)[1],首先用有限秩算子(Schauder投影)逼近全連續(xù)算子,然后利用Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)得到;第二種如文獻(xiàn)[2],先證明Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理,然后利用全連續(xù)算子延拓定理來(lái)得到;第三種如文獻(xiàn)[3],先利用Dugundji延拓定理來(lái)得到閉凸集的收縮核性質(zhì),然后利用Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)得到.縱觀上述Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理的證明,不論哪種證法,事先都需要做一些較繁瑣的準(zhǔn)備工作.本文給出Banach空間上的Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理的新的比較簡(jiǎn)潔的獨(dú)立的證法.本文的證法主要基于全連續(xù)算子的延拓定理連同Leray-Schauder度理論.

    首先,為敘述方便引入一些記號(hào),并簡(jiǎn)要介紹全連續(xù)算子的延拓定理連同Leray-Schauder度理論中一些熟知的結(jié)果.

    degLS(Φ,Ω,0)=degLS(Φ,Ω1,0).

    有了以上準(zhǔn)備,茲可以證明Banach空間上的Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理.首先,利用全連續(xù)算子延拓定理連同Leray-Schauder度的小擾動(dòng)原理給出Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理的新證明.

    定理1(Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)D是實(shí)Banach空間E中的有界凸閉集,T:D→D是全連續(xù)算子,則T在D上至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

    (1)

    (2)

    又因?yàn)镈是有界集,所以存在以原點(diǎn)為心、以r>0為半徑的開(kāi)球B(0,r)?E,使得D?B(0,r).記Ω=B(0,r).則由式(2)可得

    注2在Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理中,關(guān)于空間E的條件可減弱為:E是實(shí)線性賦范空間.此時(shí),代替全連續(xù)算子延拓定理,利用Dugundji延拓定理即可證明,詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3].

    其次,利用全連續(xù)算子延拓定理連同Leray-Schauder度的切除性和邊界值性質(zhì),給出Rothe不動(dòng)點(diǎn)定理的新證明.

    (3)

    (4)

    于是,由引理4可得

    (5)

    又由式(4)及Ω的選取知

    于是,由引理2可得

    此式連同式(5)隱含

    更進(jìn)一步,由式(3)和引理5,得到

    注3定理1不能用定理2的證明方法來(lái)證明,這是因?yàn)樵谝话愕腂anach空間中的有界凸閉集D不一定有內(nèi)點(diǎn),從而即使T在D的邊界上無(wú)不動(dòng)點(diǎn),但degLS(I-T,intD,0)仍可能無(wú)定義.

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