Lp()上關于熱核的廣義面積積分算子研究

李志強,馬柏林

(1.浙江師范大學 數學與計算機科學學院，浙江金華 321004；2.嘉興學院 數據科學學院，浙江嘉興 314001)

0 引言

其中Da為分數階導數，f(ζ)為解析函數.一個經典的結果是，對a>0，面積積分算子在Hp()(0

這個算子成為歐氏空間上研究乘子和函數空間的基本工具.

當a=0時，結論不成立.為解決這種問題,文獻[3]引入廣義面積積分算子

S(I)={z∈:|z|>1-|I|,z/|z|∈I}滿足

2008年,文獻[5]得出結論: 0

受到上述工作的啟發(fā)，我們考慮關于熱函數的廣義面積積分算子

下面，我們研究這個算子的(p,q)型有界性與測度μ的滿足條件.

我們引入一些符號.C是正常數，若不特意說明，則取值不一定相同.定義非負函數F,G等價(F≈G):CF≤G≤CF.對于n中的方體Q在中的Carleson型方陣定義為

其中l(wèi)(Q)為方體Q的邊長.n中的球B=B(x0,r)對應中的Carleson型方陣定義為

μ(T(Q))≤C|Q|s.

本文得到的主要結果如下：

主要結論的證明將于后面給出.

1 預備定理

I(x,t)={y∈n:(x,t)∈Γ(y)}.

(1)

為了證明本文的主要結果還需要下面的重要引理.

引理1:當g≥0,g∈Lp(n),1≤p≤∞，有

(2)

(3)

則式(2)可替換為

只需要證明

由式(1)可知

證畢.

下面引入關于函數f與熱核卷積的非切向極大函數，定義為

證明:對于任意的s>0，令Ω={x∈n:F*(x)>s}.

顯然，Ω是一個開集.

記Qk是集合Ω的Whitney分解的小方體，l(Qk)為方體Qk邊長，k=1,2,3，….對于每一個x∈Ω，令r(x)=dist(x,Ωc).則對于z∈Qk,有

B(z,r(z))?12Bk.

故有

(4)

(x,t)∈T(B(x,r(x))).

因此,有

(5)

結合式(4)和式(5)，可得

證畢.

(6)

證明:我們斷言式(6)等價于

(7)

其中G(x,t)=|F(x,t)|q,G*是G(x,t)的非切向極大函數.由式(6),有

顯然，式(6)與式(7)等價.

應用Minkowski不等式，得

整理后,式(7)得證.

2 主要結果的證明

2.1 定理1的證明

因為

我們得到N(f)被f的Hardy極大函數控制，結合Hardy極大函數是強(p,p)型，有

C‖M(f)‖Lp≤C‖f‖Lp.

f(x)=χ2B(x).

則

對于(x,t)∈T(B)，由于

則有

因此，可有

2.2 定理 2的證明

先考慮必要性.設Sμ是強(p,q)型有界的，即

(8)

因此,有

運用Jensen不等式，可得

我們有

由于(x,t)∈T(B)，易知I(x,t)?2B.通過式(1),有

整理可得

利用對偶性，只需證明對g∈Lq′()，有

(9)

改變積分順序,有

通過式(1)可知

C‖T*g(y)·N(f)(y)‖Lr.

‖T*g‖Lq′‖N(f)‖Lp

顯然，N(f)可以被它的Hardy極大函數所控制，再利用Hardy極大函數的強(p,p)型有界性，得

‖N(f)‖LP≤C‖M(f)‖LP≤C‖f‖Lp.

再利用引理1 ，有

則

整理得出式(9)成立，于是得到Sμ的強(p,q)型有界性，定理2得證.