活用圖示巧解高中數學向量題目

◇樂山師范學院電子與材料工程學院 陳利群

高中數學中有不少題目是與向量相關聯的，有的計算量較大，稍有不慎容易出現錯誤。如果能夠深諳向量知識的精髓、靈活使用圖示法可以巧妙地進行解答，較之于公式計算法，顯得更加直觀且簡單。

向量是既有大小又有方向的，通常用一條有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指表示向量的方向。眾所周知，向量的加減運算法則有三個，分別為：①三角形定則；②平行四邊形定則；③坐標系解法。

三角形定則：三角形定則主要是將各個向量依次按照首尾順序相互連接，最后得到的結果為第一向量的起點指向最后一個向量的終點，這種解法稱之為三角形定則。

平行四邊形定則：平行四邊形定則則是選擇以向量的兩個邊作為平行四邊形的兩條相鄰邊，而相加的結果就是作為公共起點的那條對角線。同時，平行四邊形定則還能解決向量的減法。例如，，相當于對的反向量作平行四邊形相加運算，最終由減向量的終點指向被減向量的終點。而這個平行四邊形定則只是可以用來做兩個非零非共線向量的加減運算。

坐標系解法：坐標系的加減法要從定義的原點作為向量起點，每個向量用坐標表示為（x,y）的形式。那么，與相加為，相減為。簡單來講的話向量的加減就是將向量對應分量的加減，和物理解題中的正交分解比較相似。

以上就是關于向量的加減法的運算法則，三種法則在同時做運算的時候是有自己算法的，所以這就要求學生們在學習向量加減法的時候要注意一點—就是要注意它們之間的運算法則，通過正常的學習來熟練使用上述三種解法。在使用的時候也要注意不能混淆，學生們要求掌握的是必須熟練運用三種法則然后挑選最適合題目的法則來進行解答，不能隨便選擇，而是要選擇最合適的，才是最簡便的。

1 深刻理解向量合成的規(guī)律

根據平行四邊形或三角形法則，我們都知道向量與向量之和，當同向（夾角0°）時最大，反向（夾角180°）時最小，當夾角介于（0°-180°）時，向量和也處于最大值、最小值之間。某些與向量之和相關的題目可以靈活使用這一特性，獲得快速、簡便作答的效果。

在《5年高考3年模擬》中，記載2011上海春季高考一選擇題目。

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件

書中給出的參考答案為：B.充分性顯然不成立，下面證明必要性。

以上參考答案具有一定的計算量，且分析并不是十分清晰明了。從該題目的題干條件看，不外乎涉及到兩個知識考點。其一，充分條件、必要條件的概念理解。如果P能推出Q，P是Q的充分條件，Q就是P的必要條件。因此當則互為充要條件；如果滿足（是）而不滿足（非），則的充分不必要條件，同理則的必要不充分條件。其二，向量的方向性和大小的問題。兩個向量要相等，它們的兩個要素“方向”和“大小”都相等。

圖1

這種解題思路明顯比參考答案的使用坐標系解法更直觀、簡便并且?guī)缀醪恍枰嬎恪Ｖ灰獙W生能深刻領會向量的合成規(guī)律，很容易想到需要關注一下向量的角度問題，向量相等須兩個要素均相同才行，于是便能想到著眼于觀察方向，易得出兩向量方向是一致的，大小一個是“1”、一個是“3”，從而獲得該題的快速解答方向，草稿上只需勾勒簡單圖示便可作答。

2 深刻理解向量與三角函數的關系

圖2

此類題目只要學生掌握了向量的大小和角度方向與x、y坐標值之間的轉化關系，直接根據題意列式作答即可。

3 深挖向量與其他知識點之間的內在聯系

中學數學中，向量還可以跟別的知識點聯合起來考量學生的綜合分析能力。

上述思路是逆向思維想到面積的計算需要對應角度的正弦值，然后思考如何從已知條件獲得這個角度，聯想向量數量積的兩個公式中其中之一涉及到夾角的余弦值，故而對原式進行移項、兩側平方便可將解題思路打通，得出最后結果了。

圖3

4 結束語

關于高中數學向量題目的解答思路，始終是要把握住向量知識的基本要領。首先，向量是具備“大小”和“方向”兩個要素的基本含義是什么？兩種表達形式“大小+角度”、“坐標（X，Y）”之間的相互轉換方法是怎樣的？坐標表達法與三角函數之間的密切聯系是否能聯系圖示快速完成？其次，有沒有掌握向量加減運算法則的靈活選取及運用？向量的數量積計算里，兩個公式使用要領的把握是否到位？然后，能否注意到和其他章節(jié)知識的關聯性，根據題干條件逆向思考大腦中有關知識點，從而快速找尋出正確的解題思路。尤其碰到從未曾做過的題型時，如果是一個基礎知識體系掌握完備的學生，以前通過刷題是在不斷訓練其邏輯思維性的過程，也是在不斷地強化學生大腦中各個知識點之間的內在聯系的過程，所以他們可以通過已經建立起的強有力的邏輯思維性展開有效的分析和思考，最終能獨立找尋出正確的解題思路。相反，對于只專注于單純刷題并不注重加強基礎知識的扎實訓練的學生，恐怕只能完成見過的題型，而無法通過自己的邏輯思維做到獨立分析作答那些從未見過的問題。

因此，很多時候學生想通過刷題來提高分數，而忽視對基本知識點概念、特性的深刻理解是事倍功半的做法。其實，唯有對知識點全方面基礎掌握，遇到各種題目才能靈活運用所學快速且正確解答問題。