從教材立意，走向深度學習
——挖掘導數(shù)概念的立意

江蘇省淮陰中學 胡桂東 陳伏香

江蘇省清浦中學 吳洪生

立足于教材立意，對教師認識理解數(shù)學具有啟發(fā)意義，才能充分發(fā)揮教材對數(shù)學教育的功能.在暴露思維的解題活動中，為讓復雜問題簡單、形象、生動，提升學生探究問題的能力，從而走向深度學習，教師要對教材進行精心創(chuàng)作，在幫助學生對數(shù)學概念的理解過程中為學生的深度學習提供廣闊的空間.

1 高中導數(shù)課程與教學現(xiàn)狀概述

高中“導數(shù)”內(nèi)容是建立在必修一“函數(shù)”基礎之上的選修課程.用高等代數(shù)的方法研究函數(shù)問題，是對初等函數(shù)問題研究的延續(xù)、內(nèi)容的擴充、方法的提升、思想的引領，是研究與完善函數(shù)問題的關鍵之舉.教材的立意格局是開闊和深邃的，教師應當從中可尋找到：是什么？為什么？怎么做？換言之，將“知識背景、章節(jié)理念、過程實踐、文化詮釋、主線梳理”等環(huán)節(jié)都貫穿于教材立意之中.

新課標教材中“導數(shù)”這一章的內(nèi)容在高中數(shù)學中的地位格外重要，函數(shù)圖象的切線成為命題的熱點，也是高中數(shù)學教學的難點.但是，“導數(shù)”課程教學的“尷尬”之處在于教師在教學這程中普遍重視刷題，用教輔資料取代教材，忽視教材立意與格局，違反教學規(guī)律，學生沒有知識基礎：(1)沒有學過極限直接學導數(shù)，本身給導數(shù)教學帶來的是一種不清不楚的知識環(huán)境；(2)高中數(shù)學對切線的概念并沒有詳細的說明(僅在《選修2-2》中有描述性介紹)；(3)導數(shù)中很多結論直接給出并要求學生學會運用，學生掌握的知識很脆弱.所以教學中絕大部分學生是“食之無肉，去之無味”，在綜合題中表現(xiàn)為理解能力不足，忽視教材教學導向功能，應當改變目前高中教材使用現(xiàn)狀，深入理解、領悟教材立意，正確認識教材的教學價值導向，筆者根據(jù)選修教材“導數(shù)”中對導數(shù)概念的理解，結合案例談談教材的立意.

2 教材的立意探索

2.1 建立理解目標

在課堂教學實踐中，教師為了凸顯教學內(nèi)容的重難點，往往以簡單的記憶、訓練來代替對數(shù)學問題的理解，一味地把教學的重心指向所謂的學習內(nèi)容的知識“核心”，學生在觀察、思考過程中，因為思維沒有深度參與，形成對所學數(shù)學知識概念的“概念表象”，阻礙了學生向學習目標深處追溯的意愿，降低了教學目標的達成度，使得“高效課堂”的背后埋藏著未被學生掌握的“核心知識”.

美國數(shù)學家哈爾莫斯提出過“問題是數(shù)學的心臟”的精辟論述，要聚焦解決什么問題，才能建立理解目標.在教材“導數(shù)”章引言的案例中，氣溫“陡增”的數(shù)學意義是什么？用怎樣的數(shù)學模型刻畫變量的快與慢？所以，如何建立平均變化率模型就是引領學生深度思考，探究問題本質的關鍵；建立平均變化率的模型，就是建立導數(shù)概念的理解目標.

2.2 建構理解系統(tǒng)

無論是立于一章的設計，還是立于一節(jié)課的設計，都應當考慮教學內(nèi)容和學生整體思維的過程，在知識構建、探究策略、反思總結、拓展升華等方面建構理解系統(tǒng).通過問題情境—問題提出—問題解決—學生活動(建立數(shù)學—運用數(shù)學—反思升華)這個過程提煉、建構理解系統(tǒng)，能夠讓學生全面掌握章節(jié)核心知識，這也是教學設計的主線.如何建構？可以結合教材的章引言、教材每節(jié)的標題、章節(jié)回顧、文化閱讀提煉關鍵的線索.建構導數(shù)概念的設計,如圖1所示.

圖1

2.3 明確理解主體

現(xiàn)代數(shù)學學習理論認為：數(shù)學學習是一個數(shù)學認知的過程.因此，要對數(shù)學知識形成過程中的內(nèi)部認知加以分析，數(shù)學思想的學習要經(jīng)歷感性到理性、從領會到形成、從鞏固到應用的發(fā)展過程.如何讓學生理解導數(shù)的概念便是該章節(jié)學習的關鍵，教材中對“陡峭程度”是這樣描述的：平均變化率是曲線陡峭程度的“數(shù)量化”，或者說，曲線陡峭程度是平均變化率的“可視化”，前者是“數(shù)”的表達，后者是“形”的立意.

數(shù)形結合思想學習的心理建構過程需要經(jīng)歷以下4個階段：

(1)辨認：通過初中的已知物理概念“平均變化率”的相關知識，確認數(shù)形結合思想內(nèi)在統(tǒng)一的兩個方面.

(2)分化：從函數(shù)曲線“增與減”的直觀代數(shù)化和“平均變化”到“瞬時變化”的幾何化對心理產(chǎn)生不同的刺激反應.

(3)交互：幾何問題代數(shù)化和代數(shù)問題幾何化以彼此對立的方式在心理上運行.

(4)內(nèi)化：數(shù)形結合思想，以一種綜合的心理圖式轉化為內(nèi)部觀念.

課堂實踐要以學生為教學主體.教師要引導學生在探索與創(chuàng)造的過程中培養(yǎng)認識、搜索與整理信息的能力，不能將自己的主觀經(jīng)驗直接灌輸給學生，知識傳播要符合學生的認知規(guī)律，要建構對理解的目標設計.因此教師必須足夠重視教材對概念的引導和啟發(fā).

2.4 發(fā)掘理解項目

奧蘇伯爾認為：學生的認知起點是學生學習是否成功的前提.教師在幫助學生對問題進行深入學習時，應著眼于學生思維的發(fā)展.在解決問題的過程中完成對數(shù)學學習的認識、對項目的理解，應注重學生認知的起點，重視認知過程的層次性；同時，在解決問題的過程中，使其自身不斷產(chǎn)生新的問題，促進學生對原來問題進一步的認識，隨著新問題的提出使其自身思維進一步發(fā)展.

圖2

教材中，利用割線逼近切線的方法，通過圖示的動態(tài)模擬方式建構導數(shù)概念的初步感性認識，挖掘導數(shù)概念的內(nèi)涵進行深度學習.結合教材圖示(如圖2)，嘗試解讀.

5.1.2.2 應根據(jù)經(jīng)營食品的特性及風險等級確定檢測項目、檢測頻率。蔬菜應在每次收貨時抽樣檢測農(nóng)藥殘留；豬、牛羊肉應確保每周抽樣檢測3次或以上瘦肉精。

2.4.1 割線斜率的動態(tài)變化與切線靜態(tài)斜率之間建立的等量與不等量關系的內(nèi)涵

圖3

2.4.2 割線斜率的動態(tài)變化揭示直線與靜態(tài)函數(shù)曲線之間位置的內(nèi)在聯(lián)系

例2設k，b∈R，若不等式kx+b≥lnx對任意實數(shù)x∈(0,+∞)恒成立，求k+b的最小值.

圖4

圖5

思路點撥：過點(0,b)分別作f(x),g(x)的切線，使直線y=kx+b在兩切線之間.如圖5.

例4已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實數(shù)，且為常數(shù)).若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

思路點撥：不等式(x-1)f(x)≥0恒成立可等價于x≥1時，(x+1)lnx≥a(x-1)恒成立；0

簡解：根據(jù)數(shù)形結合法可求出實數(shù)a的取值范圍(0,2].

通過幾個案例分析，了解了切線與函數(shù)圖象的位置關系，題目的立意幾乎都源自導數(shù)的概念.數(shù)學解題是一種思維活動，教師要摒棄繁雜套路的解題教學，回歸教材關注數(shù)學問題的本質.

2.5 梳理理解成果

圖6

將對教材的研究融入課堂實踐，在概念教學中尋找新的生長點，立足于教材結合學生的認知規(guī)律，設計教學是學生走向深度學習的前提，也是問題設計的思想源泉.挖掘教材內(nèi)涵，發(fā)揮教材教學功能，讓教學回歸良性的教育生態(tài).