金屬橡膠非對稱遲滯回線動(dòng)力學(xué)建模研究

曹鳳利，宋彬，王懷光，劉金華

（陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū),石家莊 050003）

0 引言

金屬橡膠是由細(xì)金屬絲經(jīng)過纏繞、編織、成型、熱處理等工藝制備而成的多孔材料。制備成型的金屬橡膠構(gòu)件可替代傳統(tǒng)的橡膠減震元件，解決其存在的不耐高低溫、真空中易揮發(fā)、減震頻帶窄、承載能力低等問題。金屬橡膠適用于國防工業(yè)、航空航天、交通運(yùn)輸、石油化工等多種場合的苛刻環(huán)境，是一種應(yīng)用范圍廣、特性優(yōu)良的多功能減震材料[1-2]。

金屬橡膠在變形時(shí)，其內(nèi)部勾連交錯(cuò)在一起的金屬絲會產(chǎn)生變形和滑移，變形形成彈性力，而滑移摩擦形成阻尼力，兩種力相互作用即表現(xiàn)為宏觀上金屬橡膠的彈性恢復(fù)力。金屬橡膠恢復(fù)力的特性與構(gòu)件成型工藝、加載方式、金屬絲材質(zhì)、金屬絲物理參數(shù)等因素密切相關(guān)[3]。在外激勵(lì)的作用下，金屬橡膠恢復(fù)力曲線（遲滯回線）與位移變形一般為非對稱關(guān)系，工程上為了簡化計(jì)算，可將其近似按對稱曲線處理，但在非對稱性較強(qiáng)時(shí)，這種近似的對稱處理已不適于金屬橡膠非線性動(dòng)力學(xué)特性的描述[4]。目前，用于描述金屬橡膠對稱遲滯回線的數(shù)學(xué)模型主要包括雙折線模型、跡法模型和混合阻尼模型等[5]，而非對稱遲滯回線為特殊形態(tài)的非線性曲線，數(shù)學(xué)建模難度大，分析困難，因此相關(guān)的研究較少[6]。

本文在參考前期鋼絲繩研究成果的基礎(chǔ)上，探索并提出了一種描述金屬橡膠非對稱遲滯回線的數(shù)學(xué)模型。該模型較好地反映了遲滯回線的非對稱性，為金屬橡膠非線性動(dòng)力學(xué)特性分析提供了新的方法。

1 金屬橡膠非對稱遲滯模型的建立

1.1 鋼絲繩非對稱遲滯模型

Y. Q. Ni[7]對鋼絲繩的遲滯特性進(jìn)行了深入研究，提出了非對稱遲滯模型，即：

由于模型（4）中包含結(jié)構(gòu)復(fù)雜的非線性微分方程，加大了其分析難度。為此，吳善躍等[7]對該模型進(jìn)行改進(jìn)，將時(shí)間參數(shù)去掉，增加了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，從而簡化該模型。吳向榮等[8]又進(jìn)一步將z（t）項(xiàng)由混合阻尼因子代替，簡化為另一種形式的模型。

鑒于金屬橡膠與鋼絲繩在阻尼產(chǎn)生的機(jī)理上具有一定相似性，故以吳善躍、吳向榮等的研究成果為基礎(chǔ)，結(jié)合金屬橡膠構(gòu)件的特性對該模型開展進(jìn)一步的應(yīng)用研究。

1.2 改進(jìn)的金屬橡膠非對稱遲滯模型

由于z（t）+F1a（t）項(xiàng)是奇函數(shù)，表示關(guān)于原點(diǎn)對稱的遲滯曲線，因此該式可用金屬橡膠對稱遲滯模型代替。目前，跡法模型是金屬橡膠對稱遲滯模型中應(yīng)用較廣的一種[5]，它采用多項(xiàng)式函數(shù)擬合金屬橡膠恢復(fù)力曲線，并通過參數(shù)識別確定各項(xiàng)參數(shù)?；謴?fù)力曲線分為上下兩支，其上支曲線多項(xiàng)式函數(shù)表示為

而下半支曲線由位移的反對稱關(guān)系確定為

式中：k1、k3和k5分別為線性、三次和五次剛度系數(shù)；c和α分別為阻尼系數(shù)和成分因子。

由于遲滯曲線不一定在中心坐標(biāo)原點(diǎn)，因此引入?yún)?shù)a，由式（10）得

式中，a、b為模型參數(shù)。

式（11）即為金屬橡膠非對稱遲滯模型。

2 金屬橡膠非對稱遲滯模型參數(shù)的識別

2.1 參數(shù)a、b的識別

金屬橡膠典型的非對稱遲滯回線如圖1 所示。由于非對稱模型式（11）中包含指數(shù)項(xiàng)，識別難度大，常規(guī)參數(shù)識別方法存在求解失敗的情況，因此參數(shù)a、b的識別采用參數(shù)分離識別的方法，具體參見文獻(xiàn)[7]。

圖1 金屬橡膠非對稱遲滯回線

2.2 參數(shù)k1、k3和k3的識別

對經(jīng)分離變換后的數(shù)據(jù)（xi＇，F(xiàn)i＇）進(jìn)行最小二乘五次多項(xiàng)式擬合，得到冪函數(shù)多項(xiàng)式：

式中，k0、k1、k2、k3、k4、k5為多項(xiàng)式系數(shù)，而奇數(shù)項(xiàng)即為彈性恢復(fù)力的剛度系數(shù)。

2.3 參數(shù)c和α的識別

用已識別出的k1、k3、k5及數(shù)據(jù)xi＇，即可重構(gòu)非線性彈性恢復(fù)力Fk＇（xi＇）為

由式（14）和式（8），采用一般參數(shù)識別方法即可識別出系數(shù)c和α，識別分解后的遲滯回線如圖2所示。

圖2 遲滯回線的分解

3 金屬橡膠動(dòng)態(tài)試驗(yàn)及模型驗(yàn)證

3.1 金屬橡膠試驗(yàn)系統(tǒng)

測試試驗(yàn)系統(tǒng)（長春試驗(yàn)機(jī)廠）包括試驗(yàn)機(jī)（PLS-20）和采集系統(tǒng)（DH5936）兩部分，可實(shí)現(xiàn)最大載荷為20 kN、最高頻率為40 Hz的動(dòng)態(tài)位移（±50 mm）加載試驗(yàn)。

試驗(yàn)金屬橡膠構(gòu)件為圓盤形，采用奧氏體不銹鋼絲（材質(zhì)：0Cr18Ni9Ti，直徑：0.3 mm，密度：7.9 g/cm3，彈性模量：198 GPa）制備而成，如圖3（a）所示。

試驗(yàn)夾具結(jié)構(gòu)形式如圖3（b）所示，主要由托盤（夾具固定端）、墊片、壓板、固定螺栓、螺母、拉桿（振動(dòng)輸入端）組成。金屬橡膠構(gòu)件位于托盤和壓板之間，試驗(yàn)時(shí)的動(dòng)態(tài)力由拉桿引入，帶動(dòng)金屬橡膠構(gòu)件產(chǎn)生結(jié)構(gòu)變形。

圖3 金屬橡膠構(gòu)件及夾具

3.2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所建模型及參數(shù)識別方法的有效性，對圓盤形金屬橡膠構(gòu)件進(jìn)行頻率為5 Hz，預(yù)載分別為0.1、0.3、0.9、0.6 mm，振幅分別為2.0、4.1、4.8、5.1 mm的動(dòng)態(tài)恒位移正弦加載。

為判定金屬橡膠遲滯回線的非對稱性，引入非對稱因子λ，即

式中，F(xiàn)A、FB為位移幅值時(shí)的恢復(fù)力。

對不同振幅最大位移處的恢復(fù)力值進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)式（15）得到振幅為2.0、4.1、4.8、5.1 mm時(shí)構(gòu)件的非對稱因子分別為0.0336、0.0527、0.3378 和0.1516，可見上述恢復(fù)力曲線均為非對稱曲線。

從試驗(yàn)中提取采樣信號xi和Fi，利用編制的參數(shù)識別程序進(jìn)行參數(shù)識別，結(jié)果如表1所示。得到的金屬橡膠遲滯回線的理論預(yù)測曲線與試驗(yàn)曲線的對比如圖4所示。

表1 模型的參數(shù)識別結(jié)果

通過參數(shù)擬合，得到各振幅時(shí)金屬橡膠構(gòu)件的非對稱動(dòng)力學(xué)模型，由圖4可以看出不同非對稱因子下的模型理論預(yù)測結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較好的一致性，基本反映了非對稱遲滯回線的特性，表明本文所提出的理論模型是可靠的，能夠滿足工程應(yīng)用的要求。

圖4 模型預(yù)測與試驗(yàn)結(jié)果對比

4 結(jié)論

針對金屬橡膠遲滯回線的非對稱特性，在分析鋼絲繩非對稱遲滯模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合用來表示對稱遲滯回線的跡法模型，建立了一種新的用于描述金屬橡膠非對稱遲滯回線的數(shù)學(xué)模型。采用參數(shù)分解和最小二乘法對具有不同非對稱因子λ的圓盤形金屬橡膠構(gòu)件的非對稱遲滯回線進(jìn)行參數(shù)識別，由參數(shù)識別結(jié)果得到理論模型，將理論曲線與試驗(yàn)曲線對比，發(fā)現(xiàn)兩者吻合較好，反映了遲滯回線的非對稱特性，證實(shí)了模型具有一定的可靠性。該模型的提出為金屬橡膠非線性遲滯特性的動(dòng)力學(xué)分析提供了新方法，對指導(dǎo)金屬橡膠的產(chǎn)品設(shè)計(jì)具有重要的價(jià)值。