管道有源噪聲控制中壁面分布次級(jí)聲源的空間分布優(yōu)化

羅平展 張芳杰 徐健 李曉東?

(1 中國(guó)科學(xué)院噪聲與振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(聲學(xué)研究所)北京 100190）

(2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)北京 100049）

0 引言

有源噪聲控制技術(shù)已成功應(yīng)用于管道中的低頻噪聲控制。相比于控制管道中的平面波，高階模式聲波的控制要求更高，是有源控制的難點(diǎn)問(wèn)題[1]。由于控制高階模式聲波需要多個(gè)換能器，其中一個(gè)難點(diǎn)是設(shè)計(jì)次級(jí)聲源和誤差傳聲器等換能器在管道中的空間布放。已有文獻(xiàn)對(duì)控制管道中的高階模式聲波進(jìn)行了一些探索，但是換能器的最優(yōu)空間分布尚未得到闡明[2-3]?？紤]到實(shí)際應(yīng)用中諸如風(fēng)洞和地鐵等大型通風(fēng)管道，為了保障暢通，要求換能器分布在管道側(cè)壁[4-5]。因此，本文主要研究次級(jí)聲源在被約束于管道壁面條件下的空間分布優(yōu)化問(wèn)題。

管道中次級(jí)聲源常被布放于管道截面。由于高階模式主要由管道截面特性所決定，當(dāng)次級(jí)聲源合理分布在截面時(shí)，能有效控制各高階模式聲波。理論上使用N個(gè)次級(jí)聲源最多可以控制前N個(gè)模式聲波，即工作頻率上限逼近第N+1階模式聲波的截止頻率[2]。已有的研究工作表明，次級(jí)聲源布放在管道截面時(shí)能夠有效控制工作頻率范圍內(nèi)的高階模式聲波，阻礙其通過(guò)截面?zhèn)鞑ブ凉艿老掠危瑥亩玫絻?yōu)異的全局控制效果[3,6-7]。這種位于截面的布放方式應(yīng)用廣泛，對(duì)于在管道和腔體等出口處抑制噪聲輻射同樣有效[8]。因此，將次級(jí)聲源布放在管道截面上成為有源噪聲控制中的常見(jiàn)方案。

然而在部分應(yīng)用中，由于實(shí)際條件限制使得次級(jí)聲源被約束在管道壁面。此時(shí)噪聲控制效果相比于次級(jí)聲源位于管道截面時(shí)通常有所劣化，表現(xiàn)出降噪量下降且工作頻率范圍顯著低于理論最優(yōu)值等現(xiàn)象，更加凸顯了優(yōu)化設(shè)計(jì)管道壁面上次級(jí)聲源空間分布的重要性[9]。已有研究工作針對(duì)壁面分布次級(jí)聲源的空間分布優(yōu)化問(wèn)題的研究尚不充分。Stell等[2]指出次級(jí)聲源的布放應(yīng)當(dāng)避開(kāi)高階模式聲波的節(jié)線，以保證次級(jí)聲源能較好地激勵(lì)高階模式聲波。Zander等[10]針對(duì)2個(gè)次級(jí)聲源的簡(jiǎn)單情形討論了軸向間距的選擇。Laugesen[11]考慮到在剛性壁假設(shè)下所有高階模式聲波在管道角落都能取到最大值，建議將次級(jí)聲源布放在管道角落處以提高控制效率。在仿真實(shí)驗(yàn)中他還發(fā)現(xiàn)將次級(jí)聲源沿管道軸向展開(kāi)，可以增加系統(tǒng)控制的魯棒性。Zhang等[12]對(duì)比了次級(jí)聲源與誤差傳聲器的徑向分布，發(fā)現(xiàn)當(dāng)次級(jí)聲源和誤差傳聲器的數(shù)量較少時(shí)，在相對(duì)的平行壁面上布放它們可以更好地控制高階模式聲波。但是這些研究工作由于缺乏詳細(xì)的理論分析，沒(méi)有得到系統(tǒng)性的完整結(jié)論，難以成為次級(jí)聲源空間分布優(yōu)化設(shè)計(jì)的具體指導(dǎo)準(zhǔn)則。迄今為止，次級(jí)聲源被約束在管道壁面時(shí)對(duì)于控制高階模式聲波的局限性，以及優(yōu)化設(shè)計(jì)次級(jí)聲源空間分布的原理和方法均未得到清晰徹底的解釋。

針對(duì)管道中高階模式聲波的有源控制問(wèn)題，本文研究了次級(jí)聲源在管道壁面的空間分布優(yōu)化問(wèn)題。本文首先介紹了管道中次級(jí)聲源激勵(lì)高階模式聲波的理論模型；然后顯式推導(dǎo)了次級(jí)聲源空間分布對(duì)控制性能的影響，分析了次級(jí)聲源空間分布的優(yōu)化準(zhǔn)則；最后在最優(yōu)控制策略下，通過(guò)數(shù)值仿真，驗(yàn)證了次級(jí)聲源空間分布優(yōu)化準(zhǔn)則的有效性。

1 理論模型

1.1 管道中次級(jí)聲源激勵(lì)高階模式聲波建模

不失一般性，假設(shè)一無(wú)限長(zhǎng)剛性壁面的矩形管道，其截面為S=Lx×Ly。次級(jí)聲源被約束在管道壁面，如圖1所示。建立直角坐標(biāo)系，約定z軸方向?yàn)楣艿垒S向，xy方向?yàn)楣艿乐芟?。將次?jí)聲源根據(jù)其振速分布建模為W(r′)，其中r′=(x′,y′,z′)表示聲源位置。矩形管道中的格林函數(shù)為G(r|r′)，其中r=(x,y,z)表示觀測(cè)點(diǎn)位置。為了表述簡(jiǎn)便，在下文的推導(dǎo)中省去時(shí)間項(xiàng)eiωt。

圖1 壁面分布次級(jí)聲源示意圖Fig.1 The sketch of the boundary-located secondary sources

管道中次級(jí)聲源所激勵(lì)聲場(chǎng)聲壓根據(jù)格林函數(shù)可以表示成[13]

其中，ω為激勵(lì)頻率，ρ0為空氣密度，格林函數(shù)G(r|r′)可以表示為

其中，φn表示管道的高階模式聲波。對(duì)于四周為剛性壁面的矩形管道，φn滿足

對(duì)應(yīng)的歸一化系數(shù)為

第n階模式聲波的波數(shù)k在各方向上的分量可以分別表示為

下文開(kāi)始討論壁面分布次級(jí)聲源的空間分布對(duì)控制管道高階模式聲波的影響。假設(shè)次級(jí)聲源的分布范圍限于0≤z≤Lz范圍內(nèi)的4個(gè)壁面。構(gòu)造次級(jí)聲源分布Wm(r′)滿足

其中，δ()表示狄拉克函數(shù)的定義與式(4)中相同，即等于第m階模式聲波各方向上的波數(shù)。顯而易見(jiàn)，Wm(r′)代表了在管道壁面上空間頻率與第m階模式聲波的頻率相同的4個(gè)面聲源分別是這4個(gè)面聲源的強(qiáng)度。根據(jù)傅里葉變換的原理，壁面上任意有限的次級(jí)聲源的空間分布均能表示成不同Wm(r′)的疊加[14]。因此，通過(guò)研究Wm(r′)代表的次級(jí)聲源分布對(duì)高階模式聲波的激勵(lì)機(jī)制，可以推演得到任意有限分布的次級(jí)聲源對(duì)高階模式聲波的激勵(lì)。

不失一般性，只考慮向管道下游傳播的高階模式聲波，管道內(nèi)的聲場(chǎng)可以分解成模式聲波疊加的形式[13]，即

次級(jí)聲源Wm(r′)在管道中所激勵(lì)的高階模式聲波，可以通過(guò)將式(6)代入式(1)中得到，對(duì)比式(7)，得到Wm(r′)所激勵(lì)的各階模式聲波的系數(shù)為

式(8)中包含了x、y和z三個(gè)方向的積分，彼此獨(dú)立，分別計(jì)算如下。

首先，次級(jí)聲源在x方向空間分布對(duì)于激勵(lì)高階模式聲波的貢獻(xiàn)可以寫(xiě)成

其中，δmn為克羅內(nèi)克函數(shù)，它的值僅當(dāng)m=n為1，其他時(shí)候均為0。式(9)中x方向的積分表明，在x方向按分布的次級(jí)聲源，只激勵(lì)mx相關(guān)的高階模式聲波，不會(huì)對(duì)其他模式聲波產(chǎn)生影響。同時(shí)，管道中x方向上兩個(gè)相對(duì)的平行墻面上次級(jí)聲源的貢獻(xiàn)分別為X1和X-1。可以令，則對(duì)于my為奇數(shù)的模式聲波，X1和X-1反向，X為0，此時(shí)只激勵(lì)my為偶數(shù)的模式聲波；同理，可以令，此時(shí)只激勵(lì)my為奇數(shù)的模式聲波。這可以解釋為，兩個(gè)沿x方向沿伸的平行墻面等同于y方向的兩點(diǎn)空間采樣，可以控制my相關(guān)的兩個(gè)模態(tài)，使得根據(jù)my的奇偶性可以區(qū)分和獨(dú)立控制相關(guān)模式聲波。

同理可得次級(jí)聲源在y方向的空間分布對(duì)于激勵(lì)高階模式聲波的貢獻(xiàn)為

式(10)中y方向的積分表明，在y方向按kmy分布的次級(jí)聲源，只激勵(lì)my相關(guān)的高階模式聲波，不會(huì)對(duì)其他模式聲波產(chǎn)生影響。同時(shí)，可以通過(guò)選擇amx和a′mx的符號(hào)來(lái)決定Y1和Y-1的值，以選擇性的激勵(lì)mx相關(guān)的奇數(shù)階或偶數(shù)階模式聲波。

最后，次級(jí)聲源在z方向的空間分布對(duì)于激勵(lì)高階模式聲波的貢獻(xiàn)可以寫(xiě)成

其中，sinc(x)=sinx/x。式(11)表明壁面分布次級(jí)聲源無(wú)法對(duì)z方向上的模式聲波進(jìn)行嚴(yán)格的獨(dú)立控制，必然會(huì)激勵(lì)各種高階模式聲波，這是壁面分布次級(jí)聲源控制高階模式聲波局限性的體現(xiàn)。但是應(yīng)注意到，式(11)中關(guān)于Lz/2只有一個(gè)線性項(xiàng)，其他均為隨Lz的震蕩衰減的sinc函數(shù)。因此，當(dāng)Lz增大時(shí)，線性項(xiàng)增大從而顯著大于其他sinc函數(shù)，使得在z方向上按照kmz分布的次級(jí)聲源在軸向的尺寸Lz較大時(shí)能顯著激勵(lì)z方向上波數(shù)為kmz的模式聲波。進(jìn)一步考慮到，當(dāng)x＞π時(shí)，有sinc(x)?1，因此一般要求壁面分布次級(jí)聲源的軸向尺寸Lz＞2π/min(knz-kmz)，其中min()表示在各種nz和mz的組合中選擇波數(shù)差的最小值。

將式(9)、式(10)和式(11)代入式(8)，得到壁面分布次級(jí)聲源激勵(lì)的高階模式聲波可以寫(xiě)成

式(12)表明，壁面分布次級(jí)聲源在x方向和y方向，即在管道周向的空間分布對(duì)激勵(lì)高階模式聲波的貢獻(xiàn)會(huì)直接線性相加，再與z方向即管道軸向上空間分布的貢獻(xiàn)相乘，共同激勵(lì)高階模式聲波。當(dāng)次級(jí)聲源在管道壁面上按照Wm(r′)分布時(shí)，主要激勵(lì)第m階模式聲波；同理，第m階模式聲波也主要由Wm(r′)分布的次級(jí)聲源激勵(lì)。次級(jí)聲源的空間分布頻率和激勵(lì)高級(jí)模式聲波存在對(duì)應(yīng)關(guān)系，是對(duì)高階模式獨(dú)立控制的理論依據(jù)。為了形象展示壁面分布次級(jí)聲源在各方向上的空間分布對(duì)于控制高階模式聲波的貢獻(xiàn)，圖2給出了X、Y和Z對(duì)激勵(lì)第m階(mx,my)模式聲波的貢獻(xiàn)示意圖，其中第m階模式聲波的幅度被歸一化到1以方便比較。圖2表明，壁面分布次級(jí)聲源的空間分布對(duì)其控制性能非常重要。當(dāng)次級(jí)聲源在合理優(yōu)化空間分布后能近似獨(dú)立地控制管道中各高階模式聲波，從而實(shí)現(xiàn)較好的控制效果；但是若未被合理的布放，在激勵(lì)目標(biāo)模式聲波時(shí)也將同時(shí)激勵(lì)其他模式聲波，無(wú)法實(shí)現(xiàn)獨(dú)立激勵(lì)各高階模式聲波，從而喪失對(duì)高階模式的控制效果。

圖2 壁面分布次級(jí)聲源Wm(r′)激勵(lì)(mx,my)模式聲波的示意圖Fig.2 Illustration of the mechanism of generating the(mx,my)mode by boundary-located secondary sources Wm(r′)

1.2 點(diǎn)聲源控制策略

在實(shí)際應(yīng)用中，常以揚(yáng)聲器作為有源控制系統(tǒng)的次級(jí)聲源。由于其尺寸相對(duì)聲波波長(zhǎng)較小，此時(shí)次級(jí)聲源應(yīng)被建模成點(diǎn)聲源。點(diǎn)聲源可以看作聲源連續(xù)分布W(r′)的空間采樣，因此在滿足采樣定律的條件下前文所得關(guān)于次級(jí)聲源空間分布的結(jié)論同樣適用。次級(jí)聲源最優(yōu)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度可以通過(guò)以最小化管道中聲能流為目標(biāo)的全局控制策略得到。本小節(jié)介紹控制策略的推導(dǎo)，以便后文對(duì)比次級(jí)聲源空間分布對(duì)控制效果的影響。

為了表述方便，定義管道中的N個(gè)傳播模式聲波為a=[a1,a2,···,aN]T，M個(gè)次級(jí)點(diǎn)聲源的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度為q=[q1,q2,···,qM]T，對(duì)應(yīng)的空間位置為對(duì)式(8)在上述位置進(jìn)行空間采樣，受激模式聲波與次級(jí)聲源的關(guān)系可以用矩陣的形式來(lái)表示：

定義N×M維阻抗矩陣Ω(r′)，其各元素為

根據(jù)式(14)的定義，將式(13)重寫(xiě)為

下面討論以最小化管道中聲能流為目標(biāo)的全局控制策略以及次級(jí)聲源最優(yōu)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的求解[3]。管道中聲能流可以表示為

其中，Re()表示取復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分，Uz(r)是聲場(chǎng)在z方向上的粒子振速，*表示共軛。注意只有傳播模式聲波能傳遞聲能流。

定義一個(gè)N×N的對(duì)角矩陣，表示為

因此，式(16)中的聲能流可以寫(xiě)成

選用下標(biāo)p和s分別表示與初級(jí)聲源和次級(jí)聲源相關(guān)的參量。初級(jí)聲源的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度、阻抗矩陣和激勵(lì)的模式聲波分別記作qp、Ωp和ap；同理，次級(jí)聲源的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度、阻抗矩陣和激勵(lì)的模式聲波分別記作qs、Ωs和αs。選擇代價(jià)函數(shù)J為管道中初級(jí)聲源和次級(jí)聲源共同激勵(lì)的總聲能流與表示次級(jí)聲源強(qiáng)度的懲罰項(xiàng)之和[2]，寫(xiě)成

其中，β為正實(shí)數(shù)，用來(lái)限制次級(jí)聲源的驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度大小[15]。取代價(jià)函數(shù)J對(duì)qs的導(dǎo)數(shù)為零，可得最優(yōu)次級(jí)聲源驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度qopt為

2 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

下文通過(guò)數(shù)值仿真對(duì)比壁面分布次級(jí)聲源在前文所述控制策略下的各種空間分布對(duì)高階模式控制效果的影響，以驗(yàn)證本文所提出的理論模型和結(jié)論的有效性。

仿真實(shí)驗(yàn)中無(wú)限長(zhǎng)矩形管道的截面積設(shè)為4.0 m×3.0 m(Lx×Ly)。管道中初級(jí)聲場(chǎng)由布放在(0.0,0.0,-10.0)m處的點(diǎn)聲源所激勵(lì)，仿真中聲波的頻率范圍設(shè)為30～210 Hz。在這個(gè)頻率范圍內(nèi)，最多存在18個(gè)傳播模式聲波，對(duì)應(yīng)的截止頻率為fn=c/2[(nx/Lx)2+(ny/Ly)2]1/2。它們的階數(shù)和截止頻率的具體取值如表1所示。

表1 管道中各階模式聲波的截止頻率Table 1 The higher-order modes in the duct and the corresponding cut-on frequencies

對(duì)于前18階模式聲波，其階數(shù)滿足nx≤4和ny≤3，即在x方向上不超過(guò)5個(gè)模式聲波，在y方向上不超過(guò)4個(gè)模式聲波。因此根據(jù)采樣定律，在x方向上和y方向上分別需要5個(gè)和4個(gè)次級(jí)聲源。在z方向上對(duì)于可能的多層分布次級(jí)聲源，其層間距和軸向尺寸分別記為ΔLz和Lz。為了方便比較，壁面分布次級(jí)聲源在各方向上都服從均勻分布。仿真中β始終設(shè)為矩陣最大特征值的1/1000以保證矩陣求逆魯棒性。為了與前文所述最小化管道聲能流的控制策略一致，本文采用管道中殘余的聲能流作為控制效果的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，并將得到的聲能流做歸一化處理，其中0 dB對(duì)應(yīng)1.0×10-12W。

圖3給出了x和y方向上壁面分布次級(jí)聲源的空間分布示意圖和相應(yīng)的控制效果。其中，空間分布(1)～(4)分別對(duì)應(yīng)前文中的X1、X、Y1和Y，即圖2(a)～圖2(d)。圖3所示的結(jié)果表明，在低頻段高階模式聲波數(shù)目相對(duì)較少時(shí)，各種空間分布的次級(jí)聲源均能取得較好的控制效果。這是因?yàn)樵谶@些頻率范圍內(nèi)壁面分布次級(jí)聲源對(duì)所有高階模式聲波均能實(shí)現(xiàn)獨(dú)立控制，從而取得了接近最優(yōu)的控制效果。但是，圖3所示的壁面分布次級(jí)聲源對(duì)高階模式控制效果存在明顯的工作頻率上限。例如，對(duì)于圖3中的次級(jí)聲源空間分布(1)，其工作頻率上限為56.7 Hz，對(duì)應(yīng)第3階(0,1)模式聲波的截止頻率。這是因?yàn)楫?dāng)頻率低于56.7 Hz時(shí)，管道中僅有第1階(0,0)和第2階(1,0)模式聲波?？臻g分布(1)為一個(gè)x方向上的線陣，可以獨(dú)立控制不同nx的模式聲波。當(dāng)頻率高于56.7 Hz時(shí)管道中出現(xiàn)了第3階(0,1)模式聲波，而空間分布(1)所示的次級(jí)聲源無(wú)法獨(dú)立控制(0,0)和(0,1)兩個(gè)nx=0的簡(jiǎn)并模式，導(dǎo)致控制效果顯著下降。而對(duì)于空間分布(2)，通過(guò)增加了一個(gè)x方向上的線陣，使得其可以獨(dú)立控制ny相關(guān)的兩個(gè)模式，因此可以同時(shí)控制(0,0)和(0,1)模式聲波，相應(yīng)的工作頻率上限為(0,2)模式聲波的截止頻率113.3 Hz。此時(shí)空間分布(2)對(duì)應(yīng)的次級(jí)聲源無(wú)法同時(shí)獨(dú)立控制(0,0)、(0,1)和(0,2)這3個(gè)nx=0的簡(jiǎn)并模式。同理可以解釋空間分布(3)的工作頻率上限為42.5 Hz是因?yàn)闊o(wú)法獨(dú)立控制(0,0)和(1,0)模式，而空間分布(4)的工作頻率上限為85.0 Hz是因?yàn)闊o(wú)法獨(dú)立控制(0,0)、(1,0)和(2,0)三個(gè)簡(jiǎn)并模式。

圖3 壁面分布次級(jí)聲源的空間分布與對(duì)應(yīng)的噪聲控制效果Fig.3 The spatial distribution and the corresponding control performances of the boundary-located secondary sources

圖4給出了管道中單層和多層壁面分布次級(jí)聲源的空間分布示意圖和相應(yīng)的控制效果。其中，空間分布(1)和空間分布(2)分別對(duì)應(yīng)前文的X+Y和(X+Y)·Z，即對(duì)應(yīng)了圖2(e)和圖2(f)。通過(guò)將x方向上和y方向上組合起來(lái)的單層壁面分布次級(jí)聲源，對(duì)高階模式聲波的控制效果更好。此時(shí)，其工作頻率的上限提升至141.7 Hz，對(duì)應(yīng)第11階(2,2)模式聲波的截止頻率，因?yàn)?2,2)模式聲波在x和y方向上均有3個(gè)簡(jiǎn)并模式而單層壁面分布次級(jí)聲源無(wú)法同時(shí)控制這些簡(jiǎn)并模式。通過(guò)在z方向增加一層次級(jí)聲源，構(gòu)成軸向間距ΔLz=1 m的雙層分布，相比于單層分布的次級(jí)聲源能夠在高于141.7 Hz以上的頻段取得20 dB以上的降噪量提升。該結(jié)果表明，次級(jí)聲源沿著管道軸向分布時(shí)能更好地控制高階模式聲波，在頻率相對(duì)較高和高階模式聲波數(shù)目較多時(shí)對(duì)于控制效果的改進(jìn)更為明顯。

圖4 壁面分布次級(jí)聲源的空間分布與對(duì)應(yīng)的噪聲控制效果Fig.4 The spatial distribution and the corresponding control performances of the boundary-located secondary sources

進(jìn)一步研究壁面分布次級(jí)聲源的數(shù)量和間距對(duì)高階模式聲波控制效果的影響。首先討論次級(jí)聲源在管道周向上數(shù)目的影響。圖5中展示了管道周向上6個(gè)、14個(gè)和22個(gè)壁面分布單層次級(jí)聲源以及對(duì)應(yīng)的控制效果。相比于周向上14個(gè)次級(jí)聲源，周向上僅有6個(gè)次級(jí)聲源時(shí)其工作頻率上限降至113.3 Hz，對(duì)應(yīng)著(0,2)模式聲波的截止頻率。這是因?yàn)榇藭r(shí)次級(jí)聲源在y方向上僅有2個(gè)次級(jí)聲源，根據(jù)空間采樣定律只能獨(dú)立控制ny=0和ny=1兩類(lèi)模式聲波，當(dāng)頻率超過(guò)113.3 Hz后(0,2)模式聲波開(kāi)始在管道傳播時(shí)，壁面分布次級(jí)聲源將失去控制效果。但是，次級(jí)聲源在管道周向上的數(shù)目增加至22個(gè)并沒(méi)有提升控制效果。根據(jù)采樣定律這是因?yàn)?2個(gè)次級(jí)聲源屬于過(guò)采樣，不能改善控制效果。

圖5 壁面分布次級(jí)聲源的周向上次級(jí)聲源數(shù)量對(duì)控制效果的影響Fig.5 The influence of the number of the single-layer boundary-located secondary sources in the circumferential direction on the control performance

接下來(lái)研究次級(jí)聲源在管道軸向上的數(shù)目和間距的影響。將壁面分布次級(jí)聲源在周向上固定分布為14個(gè)，即按照?qǐng)D5(a)中空間分布(1)，層間距固定為ΔLz=1 m，軸向上不同層數(shù)的次級(jí)聲源對(duì)高階模式的控制效果如圖6所示。圖6中14×2表示在管道周向上有14個(gè)次級(jí)聲源，在軸向上共有2層，其余表述以此類(lèi)推。圖6的結(jié)果表明，通過(guò)增加壁面分布次級(jí)聲源在管道軸向上的層數(shù)，擴(kuò)大次級(jí)聲源在管道軸向上的分布范圍，能進(jìn)一步提高控制效果，尤其在相對(duì)高頻段，高階模式聲波數(shù)目較多時(shí)控制效果提升更為明顯。當(dāng)次級(jí)聲源的層數(shù)超過(guò)6層時(shí)，即軸向尺寸Lz超過(guò)5 m，壁面分布次級(jí)聲源對(duì)高階模式聲波的控制效果達(dá)到接近最優(yōu)，實(shí)現(xiàn)近60 dB的降噪量。

圖6 軸向上不同層數(shù)的壁面分布次級(jí)聲源對(duì)高階模式控制效果Fig.6 The control performances achieved by different layers of boundary-located secondary sources

最后討論壁面分布次級(jí)聲源的軸向間距對(duì)控制效果的影響。本文提出的理論模型表明次級(jí)聲源分布的軸向尺寸較大時(shí)有利于對(duì)控制高階高階模式，因此通過(guò)使用雙層分布次級(jí)聲源并增加層間距也能起到增大軸向尺寸的效果。壁面分布的14×2雙層次級(jí)聲源不同軸向間距對(duì)高階模式聲波的控制效果如圖7所示。圖7的結(jié)果表明，采樣壁面分布雙層次級(jí)聲源并適當(dāng)增大軸向間距同樣能夠獲得較好的控制效果，尤其在相對(duì)中高頻段增大軸向間距可以顯著提高控制效果。但應(yīng)該注意到在軸向間距很大時(shí)可能在部分頻段出現(xiàn)降噪量下降的現(xiàn)象，例如對(duì)于軸向間距ΔLz=5 m相對(duì)于ΔLz=2 m在140 Hz左右對(duì)高階模式的控制效果反而出現(xiàn)了惡化。這主要是軸向間距過(guò)大導(dǎo)致在軸向上不滿足采樣定律，使得控制效果惡化。盡管如此，總體來(lái)看采用壁面分布雙層次級(jí)聲源并適當(dāng)增大軸向?qū)娱g距，能夠以相對(duì)較少的次級(jí)聲源實(shí)現(xiàn)對(duì)高階模式聲波的控制。

圖7 壁面分布雙層次級(jí)聲源的不同軸向間距對(duì)高階模式聲波的控制效果Fig.7 The control performances achieved by different axial spacings of the boundary-located double-layer secondary sources

本節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)M了理論模型中所述幾種典型的壁面分布次級(jí)聲源的控制性能。仿真結(jié)果顯示，壁面分布次級(jí)聲源控制高階模式聲波的工作頻率范圍明顯受限于次級(jí)聲源的空間分布。其中，僅沿x方向分布的次級(jí)聲源，其工作頻率上限不超過(guò)(0,2)模式聲波的截止頻率；僅沿y方向分布的次級(jí)聲源，其工作頻率不超過(guò)(2,0)模式聲波的截止頻率；同時(shí)沿x和y方向分布的次級(jí)聲源的工作頻率上限則可以提高至(2,2)模式聲波的截止頻率。根據(jù)理論模型推理可得，這是因?yàn)榇渭?jí)聲源沿x和y方向的空間分布對(duì)高階模式聲波的貢獻(xiàn)只能控制mx和my相關(guān)的高階模式，且由于對(duì)于矩形管道在x和y方向只有兩面墻，使得在x和y方向最多控制兩個(gè)不同的高階模式。此時(shí)，在更高頻率段次級(jí)聲源對(duì)高階模式的控制性能主要取決于其軸向分布范圍。當(dāng)次級(jí)聲源在管道軸向上范圍較大時(shí)，能顯著提高對(duì)高階模式聲波的控制效果。

在理論模型中通過(guò)將次級(jí)聲源的分布離散化，根據(jù)采樣定律也能得到次級(jí)聲源在各方向上的數(shù)量和間距對(duì)控制效果的影響。壁面分布次級(jí)聲源在管道周向上的數(shù)目及間距需要滿足采樣定律，但更多的次級(jí)聲源會(huì)導(dǎo)致過(guò)采樣，對(duì)提升控制效果沒(méi)有幫助。在管道軸向上，盡管壁面分布次級(jí)聲源在軸向間距過(guò)大時(shí)可能造成控制性能下降，但由于增大了軸向分布范圍因此整體上依然能提高控制性能。

3 結(jié)論

針對(duì)管道有源噪聲控制中的壁面分布次級(jí)聲源空間分布優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題，本文提出了壁面分布次級(jí)聲源獨(dú)立控制高階模式聲波的理論模型，顯式推導(dǎo)了次級(jí)聲源的空間分布對(duì)于控制高階模式聲波的貢獻(xiàn)，分別指出次級(jí)聲源在管道周向和軸向空間分布的優(yōu)化準(zhǔn)則；然后通過(guò)將次級(jí)聲源空間分布離散化介紹了點(diǎn)聲源控制策略，并根據(jù)采樣定律分析了次級(jí)聲源的數(shù)目和間距對(duì)于控制效果的影響。通過(guò)對(duì)比多種次級(jí)聲源空間分布以及對(duì)應(yīng)的控制性能，其結(jié)果表明為了優(yōu)化壁面分布次級(jí)聲源的空間分布，需要在管道周向所有壁面布放足夠數(shù)量的次級(jí)聲源以滿足采樣定律，同時(shí)在軸向上增大間距來(lái)獲得較大的分布范圍。