方波驅(qū)動下雙氣泡的動力學(xué)行為*

王尋 黎奧 周敏 梁金福 張澤坤 吳偉

(1 上海電機學(xué)院凱撒斯勞滕智能制造學(xué)院上海 201306）

(2 中國科學(xué)院聲學(xué)研究所語言聲學(xué)與內(nèi)容理解重點實驗室北京 100190）

(3 西安工程大學(xué)理學(xué)院西安 710048）

(4 貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院貴陽 550025）

0 引言

超聲在液體中傳播時，會使得液體分子疏密程度發(fā)生變化。當(dāng)聲壓達到一定程度后，液體中氣核將成長為肉眼可見的氣泡，這種現(xiàn)象被稱為聲空化[1]。聲空化在乳化[2]、清洗[3]和催化[4]等領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用前景。在實際應(yīng)用時通常存在大量空化泡組成的空化泡群，雙氣泡動力學(xué)的相關(guān)研究有利于人們深入理解氣泡群中氣泡的相互作用[5]。因此，近年來雙氣泡動力學(xué)問題逐漸成為研究熱點。Ida[6]采用非線性雙氣泡模型研究氣泡的相互作用，發(fā)現(xiàn)氣泡輻射的聲波包含了正向和負向脈沖。一個氣泡的負向脈沖是由另一個氣泡收縮時產(chǎn)生的正向脈沖引起的。盧義剛等[7]通過數(shù)值計算研究了氣泡間距以及驅(qū)動超聲幅值和頻率對雙泡動力學(xué)的影響，并對比了雙頻與單頻驅(qū)動下氣泡半徑的變化規(guī)律。張鵬利等[8]通過數(shù)值計算研究了單頻聲波驅(qū)動下初始半徑、驅(qū)動聲壓幅值和頻率以及液體黏滯系數(shù)對雙空化泡膨脹比和潰滅時間的影響，研究表明增大一個空化泡的平衡半徑會抑制另一個空化泡的膨脹。王德鑫等[9]研究了雙氣泡內(nèi)部氣體為3種不同的惰性氣體情況下氣泡的脈動，探討了惰性氣體類型對氣泡回彈階段動力學(xué)行為的影響。李想等[10]推導(dǎo)出雙氣泡系統(tǒng)中氣泡的共振頻率，并研究了驅(qū)動聲波頻率、氣泡間距和聲波在驅(qū)動雙氣泡時的相位差對氣泡動力學(xué)的影響。研究表明當(dāng)氣泡半徑在線性變化的范圍內(nèi)時，單個氣泡的動力學(xué)頻譜數(shù)據(jù)包含了雙氣泡系統(tǒng)所有的頻譜信息。若出現(xiàn)非線性變化，則上述結(jié)論不成立。此外，該研究證實了氣泡間距對次Bjerknes力有非常顯著的影響。Zhang等[11]研究了雙頻聲波驅(qū)動下兩個氣泡間的次Bjerknes力，探討了多個參數(shù)對次Bjerknes力的影響。

本課題組此前的研究探討了超聲驅(qū)動下氣泡的非球形振動[12]以及氣泡相位對氣泡間次Bjerknes力的影響[13]。在這些報道中，驅(qū)動聲波均為正弦波。然而根據(jù)Sun等[14]的研究，方波可以使得氣泡在收縮時產(chǎn)生更高的溫度，可能有利于化學(xué)反應(yīng)的進行。王捷[15]的研究也表明，在驅(qū)動聲波幅度相同的情況下，方波能夠提供更大的功率，這使得氣泡能夠生長到更大的尺寸并發(fā)生更加劇烈的崩潰，其空化強度明顯較大，這對提高聲化學(xué)效應(yīng)有很大的幫助。但文獻[15]僅研究了單個氣泡的情況，在實際應(yīng)用時，存在氣泡間的相互影響。本文將對方波驅(qū)動下的雙氣泡脈動進行研究，探討氣泡平衡半徑和驅(qū)動聲壓幅值對雙氣泡組成的系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響，為后續(xù)的實驗研究和實際應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

1 雙氣泡動力學(xué)方程

對于雙氣泡系統(tǒng)，可使用Keller-Miskis方程描述氣泡的徑向振動[9]：

其中，Ri為氣泡半徑，c和ρ為液體中聲速和密度，L為兩個氣泡的間距，i為氣泡序號。ps,i可以表示為

其中，P0為環(huán)境壓強，μ和σ分別為液體的黏滯系數(shù)和表面張力系數(shù)，Pd為驅(qū)動聲壓。本文設(shè)定驅(qū)動聲波為方波，Pd可以表示為[14]

其中，Pus為聲波幅度，f為方波變化頻率，n越大則驅(qū)動聲波越接近標準方波。本文中設(shè)置n=109。在公式(2)中，Pg,i為第i個氣泡內(nèi)部的壓強，滿足[16]

其中，Ri0為第i個氣泡的平衡半徑，γ為氣泡內(nèi)氣體的多方指數(shù)，bi為第i個氣泡的范德瓦爾斯半徑。對于空氣，bi=Ri0/8.5。與氣泡中心距離為x處的輻射聲壓為[17]

在本文中與參考文獻[17]一致，設(shè)置x=10-3m。氣泡間的次Bjerknes力為[18]

其中，V1和V2為兩個氣泡的體積，er為徑向單位矢量，F(xiàn)B為正值時兩氣泡相互排斥，F(xiàn)B為負值時兩氣泡相互吸引。氣泡收縮時能夠達到的最高溫度和最大壓強分別為[19]

其中，T∞為液體溫度，Pv為飽和蒸汽壓，Rmax和Rmin為氣泡收縮前的最大半徑和收縮后達到的最小半徑。

2 數(shù)值計算與分析

2.1 與正弦波驅(qū)動下的氣泡脈動對比

采用四階Runge-Kutta方程數(shù)值求解等式(1)～(4)，即可得到兩個氣泡在脈動時半徑的演化，進而求出次Bjerknes力。求解時使用的參數(shù)如下：ρ=998.2 kg/m3，c=1481 m/s，P0=1.013×105Pa，γ=1.4，η=1.0×10-3Pa·s，σ=7.275×10-2N/m，f=2.0×104Hz，R10=5 μm，R20=2 μm，L=300 μm，Pus=1.3×105Pa。數(shù)值計算結(jié)果如圖1和圖2所示。為了對比，在圖1和圖2中也畫出了相同幅度的正弦波驅(qū)動下氣泡半徑及氣泡間次Bjerknes力的變化曲線。需要說明的是，公式(6)中計算FB時用的是時間平均值。本文與文獻[11]和文獻[20]一致，計算瞬時FB值。如果需要研究某一段時間范圍內(nèi)的平均次Bjerknes力，則對瞬時FB積分再求平均即可。

對比方波驅(qū)動和正弦波驅(qū)動下的氣泡半徑變化曲線(圖1)可以看出，當(dāng)驅(qū)動聲波幅度相同時，方波驅(qū)動下兩個氣泡最大半徑相對較大。這是因為在氣泡膨脹階段，方波能提供更大的負聲壓，使得氣泡半徑快速增大。這與文獻[21]中對單氣泡動力學(xué)的研究結(jié)果是一致的。在圖2中，方波驅(qū)動下氣泡間次Bjerknes力幅度相對較大，且主要為負值，即兩氣泡相互吸引(圖2(a))；正弦波驅(qū)動下次Bjerknes力幅度相對較小，在正負值之間交替變化(圖2(b))。

圖1 方波和正弦波驅(qū)動下氣泡的半徑變化Fig.1 Radii of bubbles under the driving of square wave and sine wave

圖2 方波和正弦波驅(qū)動下氣泡半徑及氣泡間次Bjerknes力的變化Fig.2 Secondary Bjerknes force of bubbles under square wave driving and sine wave driving

氣泡的聲化學(xué)效應(yīng)和氣泡收縮時的溫度和壓強有很大的關(guān)系，高溫和高壓的環(huán)境更有利于聲化學(xué)反應(yīng)的進行[22]。在求得不同時刻的氣泡半徑后，可根據(jù)公式(7)和公式(8)計算氣泡收縮時的最大溫度Tmax和最大壓強pmax。計算時依據(jù)文獻[23]，設(shè)置公式(8)中Pv=2338 Pa。設(shè)置驅(qū)動聲壓幅度Pus在0.2×105～1.0×105Pa之間變化，求出方波和正弦波驅(qū)動下兩氣泡的Tmax和pmax，如圖3所示。在驅(qū)動聲壓幅值(Pus)較低時，與正弦波驅(qū)動的情形相比，方波驅(qū)動為Tmax和pmax帶來的提升效果不明顯。但隨著Pus的增大，兩種波形驅(qū)動下兩氣泡的Tmax和pmax的差異越來越大。這表明當(dāng)驅(qū)動聲壓較高時，方波對聲化學(xué)反應(yīng)的提升效果更為明顯。需要指出的是，文獻[19]計算Tmax和pmax時采用的是絕熱模型，沒有考慮到傳熱引起的氣泡內(nèi)部溫度降低，所以計算得到的Tmax和pmax會比真實值高。然而在一定程度上仍足以說明使用方波比使用正弦波更有利于聲化學(xué)反應(yīng)的進行。

圖3 不同幅度聲壓驅(qū)動下兩氣泡內(nèi)部最高溫度和最大壓強Fig.3 Maximum pressure and temperature in bubbles with different driving amplitudes

2.2 驅(qū)動頻率對氣泡動力學(xué)的影響

保持其他參數(shù)不變，將公式(3)中驅(qū)動頻率f依次設(shè)置為25 kHz、30 kHz和35 kHz，進行數(shù)值計算，得到的雙氣泡半徑和氣泡間次Bjerknes力的變化曲線如圖4和圖5所示。由圖4可以看出，隨著驅(qū)動頻率的增加，氣泡能夠達到的最大半徑逐漸減小。這是由于頻率升高使得每個聲周期中負壓時間縮短，氣泡膨脹時間變短，氣泡來不及生長到更大的尺寸。另外，頻率的增加也會使得氣泡體積變化速率變小，氣泡間次Bjerknes力的幅度也會減小(圖5)。

圖4 不同驅(qū)動頻率時氣泡的半徑變化Fig.4 Bubble radii under different driving frequencies

圖5 不同驅(qū)動頻率時氣泡間次Bjerknes力Fig.5 Secondary Bjerknes force between bubbles under different driving frequencies

2.3 平衡半徑對氣泡動力學(xué)的影響

固定R10=5.0 μm，依次R20設(shè)置為3.5 μm、3.0 μm和2.5 μm，進行數(shù)值計算。得到的雙氣泡在崩潰時刻的輻射聲壓如圖6(a)所示。其中實線和虛線分別表示氣泡1和氣泡2的輻射聲壓?？梢钥闯?，隨著R20的減小，氣泡1和氣泡2的崩潰時刻均會提前，但由于氣泡2崩潰提前的時間量大于氣泡1，兩個氣泡崩潰時刻的時間間隔將會增加。另外，隨著R20的減小，兩個氣泡的輻射聲壓幅度也會增加。這表明增大雙氣泡平衡半徑的差異能夠增強氣泡崩潰的劇烈程度。圖6(b)為一個脈動周期中氣泡間次Bjerknes力隨時間的變化。由圖6(b)可以看出，隨著R20的減小，氣泡間次Bjerknes力也會減小，氣泡間相互吸引力減弱。

圖6 氣泡2的平衡半徑為不同值時氣泡的輻射聲壓和次Bjerknes力Fig.6 Radiation pressure and secondary Bjerknes force when the equilibrium radius of bubble 2 takes different values

2.4 驅(qū)動聲壓幅度對氣泡動力學(xué)的影響

驅(qū)動聲壓幅值也對雙氣泡動力學(xué)行為有很大的影響。設(shè)置R10=5.0 μm，R20=3.5 μm，令公式(3)中Pus分別為1.00×105Pa、1.05×105Pa、1.10×105Pa和1.15×105Pa，數(shù)值計算后得到雙氣泡半徑隨時間變化曲線如圖7所示。圖8展示了上述驅(qū)動聲壓下的氣泡的輻射聲波。在圖7和圖8中，當(dāng)t∈[0,25 μs)時，方波聲壓為負值，當(dāng)t∈[25 μs,50 μs]時，方波聲壓為正值。可以看出，隨著驅(qū)動聲壓的增大，兩個氣泡在膨脹時能達到的最大半徑都有所增加。這意味著使用大幅度方波驅(qū)動可以增大兩個氣泡崩潰的劇烈程度。從圖7(a)～圖7(d)，負聲壓階段氣泡的振蕩次數(shù)逐步減少。在圖7(a)和圖7(b)中，兩個氣泡幾乎同時崩潰。但在圖7(c)中，氣泡1的崩潰明顯發(fā)生了延遲，此時氣泡2比氣泡1更早崩潰。在圖7(d)中，氣泡1的崩潰被進一步延遲，而氣泡2的崩潰也有所延遲，兩個氣泡崩潰的時間差有所減小。

圖7 不同幅度的聲波驅(qū)動下氣泡的半徑Fig.7 Radii of bubbles under driving of different amplitudes

在圖8(a)和圖8(b)中，由于兩個氣泡的脈動均相對較弱，在正聲壓相回彈后的振蕩中的每一次收縮都會輻射一個小幅度的脈沖波，且氣泡1輻射聲波的聲壓幅度大于氣泡2。對比圖8(a)和圖8(b)，可以看出增大驅(qū)動聲波幅度會減弱氣泡1振蕩階段的輻射聲波，增強氣泡2振蕩階段的輻射聲波。在圖8(c)中只能明顯看到氣泡1的輻射聲波，這是因為當(dāng)Pus=1.10×105Pa時，氣泡1的崩潰比氣泡2劇烈很多，此時氣泡1輻射的聲壓幅值遠大于氣泡2。在圖8(d)中，氣泡1和氣泡2均發(fā)生快速收縮，在崩潰時均出現(xiàn)了顯著的輻射聲波，而振蕩階段的脈沖波則很難觀察到。

圖8 不同幅度的聲波驅(qū)動下氣泡的輻射聲壓Fig.8 Radiation pressures of bubbles under driving of different amplitudes

圖9(a)和圖9(b)展示了驅(qū)動聲壓幅度為1.00×105Pa和1.15×105Pa時氣泡間次Bjerknes力。當(dāng)驅(qū)動聲壓幅度為1.00×105Pa時，次Bjerknes力主要出現(xiàn)在正壓相時氣泡的振蕩階段。當(dāng)驅(qū)動聲壓幅度為1.15×105Pa時，次Bjerknes力主要出現(xiàn)在氣泡的快速收縮階段。后者的量級約為前者的104倍。

圖9 不同幅度的聲波驅(qū)動下氣泡間次Bjerknes力Fig.9 Secondary Bjerknes force between bubbles under driving of different amplitudes

3 結(jié)論

本文通過數(shù)值計算對方波驅(qū)動下的雙氣泡動力學(xué)問題進行了研究。研究發(fā)現(xiàn)，隨著驅(qū)動聲波頻率的提高，兩個氣泡能達到的最大半徑減小，氣泡間次Bjerknes力也會減小。增大雙氣泡平衡半徑的差距，會使得兩個氣泡崩潰時刻的時間間隔變長，收縮時輻射聲壓幅度增大，次Bjerknes力幅度減小。此外，本文也詳細討論了在逐步提高驅(qū)動聲壓幅值的過程中，氣泡脈動和輻射聲壓的變化。然而，在本文的研究中假定氣泡質(zhì)心靜止，并未考慮聲輻射力引起的氣泡平移，也沒有考慮氣泡存在包膜的情況；另外，本文也沒有研究氣泡的非球形形變及其內(nèi)部的聲化學(xué)反應(yīng)；將在未來的報道中對此進行深入討論。